第六节平均值 函数的平均值 二、均方根 三、小结思考题
、函数的平均值 实例:用某班所有学生的考试成绩的算术平均 值来描述这个班的成绩的概貌 y1+J2+ 算术平均值公式 n 只适用于有限个数值 问题:求气温在一昼夜间的平均温度. 入手点:连续函数f(x)在区间a,b上上的平均值 牛讨论思想:分割、求和、取极限 上页
实例：用某班所有学生的考试成绩的算术平均 值来描述这个班的成绩的概貌. n y y y y + + n = 1 2 算术平均值公式 只适用于有限个数值 问题：求气温在一昼夜间的平均温度. 入手点：连续函数 f ( x ) 在区间 ] 上的平均值. [a,b 讨论思想：分割、求和、取极限. 一、函数的平均值
(1)分割:把区间a,b分成等分 a=xo<x, <x<.<x,<xm,=b 每个小区间的长度△x b-a (2)求和:设各分点处的函数值为ya,yV1,y2,…,yn 函数f(x)在区间{a,b让的平均值近似为 Jo+y+y2+¨yn-1 n (3)取极限:每个小区间的长度趋于零 王页下
（1）分割： 把区间[a,b]分成n 等分 , 0 1 2 1 a x x x x x b = n− n = 每个小区间的长度 ; n b a x − = 设各分点处的函数值为 n y , y , y , , y 0 1 2 函数 f ( x ) 在区间 [a,b] 上的平均值近似为 ; 0 1 2 1 n y y y y + + + n− 每个小区间的长度趋于零. （2）求和： （3）取极限：
上函数f(x)在区间a,b让的平均值为 y+y1+y2+…y y=lim n→0 ∵J=lim y+y1+ 121n-1,b-a n→0 b=a =△x m∑yAx f(x1)△x b-a△x→0 b-a△x→0 ∑ f∫(x)dy 几何平均值公式 b 区间长度 =(b-a)y=(b-a)f() 上页 圆
lim , 0 1 2 1 n y y y y y n n − → + + + = 函数 f ( x ) 在区间 [a,b] 上的平均值为 n b a b a y y y y y n n − − + + + = − → 0 1 2 1 lim = x = − → − = n i i x y x b a 1 1 0 lim 1 lim ( ) , 1 1 1 0= − → − = n i i x f x x b a − = b a f x d x b a y ( ) 1 几何平均值公式 区间长度 = (b − a) y = (b − a) f ( )
例1计算纯电阻电路中正弦交流电= l sin ot在 个周期上的功率的平均值(简称平均功率) 解设电阻为R,则电路中的电压为 u=iR=Rinat 功率P=Li= I Rsin2ot, 一个周期区间/、3N 2丌 平均功率p=[" I sin2ott 2兀J0 上页
例 1 计算纯电阻电路中正弦交流电i I t = m sin 在 一个周期上的功率的平均值（简称平均功率）. 解 设电阻为 R ， 则电路中的电压为 u = iR I Rsin t, = m 功率 p = ui sin , 2 2 I R t = m 一个周期区间 ], 2 [0, 平均功率 p I R tdt m 2 2 2 0 sin 1 2 =
2 IR.27 P= 2兀J0 l Rsin ott= nt sinad(at) 2丌J0 I R °(1-c0os2otd(at) 4丌0 2兀 InR「sin2or1°r2R Ot一 2兀= TR 兀 2 0 4兀 2 (Um=Imr) 2 结论:纯电阻电路中正弦交流电的平均功率 等于电流、电压的峰值的乘积的二分之 上页
p I R tdt m 2 2 2 0 sin 1 2 = sin ( ) 2 2 0 2 2 td t I m R = (1 cos 2 ) ( ) 4 2 0 2 t d t I m R = − 2 0 2 2 sin2 4 = − t t I m R 2 4 2 = I m R 2 2 I m R = . 2 m U m I = (U I R) m = m 结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率 等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一．
庄二、均方根 通常交流电器上标明的功率就是平均 王功率交流电器上标明的电流值都是一种 特定的平均值,习惯上称为有效值 中周期性非恒定电流(如正弦交流电 的有效值规定如下:当(t)在它的一个周 期内在负载电阻上消耗的平均功率 庄等于取固定值,的恒定电流在上氵 王率时,称这个值的有肖耗的功 上页
通常交流电器上标明的功率就是平均 功率．交流电器上标明的电流值都是一种 特定的平均值，习惯上称为有效值． 周期性非恒定电流i （如正弦交流电） 的有效值规定如下：当i(t) 在它的一个周 期T 内在负载电阻R 上消耗的平均功率， 等于取固定值I 的恒定电流在R 上消耗的功 率时，称这个值I 为i(t) 的有效值. 二、均方根
有效值计算公式的推导 固定值为的恒定电流在上消耗的功率为R, 电流()在上消耗的功率为(t)R 牛它在0T上的平均功率为门()Rh, 工工工 按定义有PR=rn2()Rd, 0 i2(t)dt即I i(t)du T 上页
固定值为I 的恒定电流在R 上消耗的功率为I R 2 , 电流i(t)在R 上消耗的功率为i (t)R 2 , 它在[0,T]上的平均功率为 ( ) , 1 0 2 T i t Rdt T ( ) , 1 0 2 2 = T i t Rdt T 按定义有 I R = T i t d t T I 0 2 2 ( ) 1 ( ) . 1 0 2 = T i t dt T I 有效值计算公式的推导 即
士 中正弦交流电(t)= I sin ot的有效值 1=1 2 I sin tdt (at) sin 2ot t一 4兀 2 2 0 结论:正弦交流电的有效值等于电流的峰值的 2 b 函数f(x)在[4,b上的均方根 nb-aja f(dx 上页
正弦交流电i t I t ( ) = m sin 的有效值 I I tdt m 2 0 2 2 sin 1 2 = ( ) 2 2 0 2 2 sin td t I m = 2 0 2 2 sin 2 4 = − t t I m . 2 m I = 结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的 2 1 ( ) . 1 2 − b a f x d x b a 函数 f (x)在[a,b]上的均方根
生三、小结 b 函数的平均值y=620(x) 函数的有效值 b ∫(x)dx. b-aja (理解平均功率、电流的有效值等概念) 上页
函数的平均值 函数的有效值 ( ) ; 1 − = b a f x dx b a y ( ) . 1 2 − b a f x d x b a （理解平均功率、电流的有效值等概念） 三、小结