第三节分部积分法 基本内容 小结 三、思考题
生一、基本内容 问题∫xex=? 解决思路利用两个函数乘积的求导法则 设函数=l(x)和=W(x)具有连续导数, 工工工 (uv=uv+uv, ur=(uv)-u'v, uv'dx=uv-lu'vd,udv=uv-vdu 分部积分公式 王页下
问题 x e d x = ? x 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u = u( x) 和v = v( x) 具有连续导数, (uv) = uv + uv , uv (uv) − uv, = uv dx uv u vdx, = − udv uv vdu. = − 分部积分公式 一、基本内容
例1求积分[ xcos xdx. 解(一)令u=cosx,xdlx=dx2=dv 2 主j 2 2 xcos xdx -cOSX sin xdx 2 显然,u,v选择不当,积分更难进行 解(二)令u=x, cos xdx= d sinx=h x cos xdx=xdsin x=xsinx-Isinxdx =sinx +cosx+C 上页
例1 求积分 cos . x xdx 解（一） 令 u=cos x, xdx = d x = d v 2 2 1 x cos xdx = + xdx x x x sin 2 cos 2 2 2 显然， u,v 选择不当，积分更难进行. 解（二） 令 u= x, cos xdx = d sin x = dv x cos xdx = x d sin x = x sin x − sin xdx = xsin x +cos x +C
例2求积分∫x2ex 解L=x e= de= dv 9 xe dx=xe-2 xe dx 王1《再次使用分部积分法)=x,c=h =x2e2-2(xe-e)+C 总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幕函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函 数为a,使其降幂一次(假定幂指数是正整数) 上页
例2 求积分 . 2 x e d x x 解 , 2 u = x e d x d e d v, x x = = x e d x 2 x = x e − x e d x x x 2 2 2( ) . 2 x e xe e C x x x = − − + （再次使用分部积分法） u= x, e dx dv x = 总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 u , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
王例3求积分∫ rarctan xdx. 2 x2x2 解令u= arctan x,xlx=d=h 2 2 x arctan xdr=arctan x 2 d(arctan x) 2 x21 =— arctan x 2 21+x 2 工工工 =arctanx-(1- Dax 2 2 1+x2 arctan x-(x-arctan x)+ce 2 2 上页
例3 求积分 arctan . x xdx 解 令 u = arctan x, dv x xdx = d = 2 2 x arctan xdx (arctan ) 2 arctan 2 2 2 d x x x x = − d x x x x x 2 2 2 1 1 2 arctan 2 + = − d x x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 2 2 + = − − ( arctan ) . 2 1 arctan 2 2 x x x C x = − − +
士 例4求积分∫xmxb 解=lnx,x3bx=d=lv, 1-41 x In xdx=x Inx-xdx x+C 16 中总结L若被积函数是幂函数和对数函数或幂 9 数或反三角函数为 上页
例4 求积分 ln . 3 x xdx 解 u = ln x, , 4 4 3 d v x x d x = d = x ln xdx 3 = x x − x d x 4 3 4 1 ln 4 1 . 1 6 1 ln 4 1 4 4 = x x − x + C 总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂 函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函 数或反三角函数为 u
例5求积分∫sim(mx)dx 解jsm(mx)x= e sin(n x')-∫xdim(mx) xsin(n x)-xcos (n x). dx x sin(n x)=xcos(n x)+xdlcos(n x)I x[sin(n x)-cos(n x)1-sin(n x)dx ∴「sin(nx)dx=|sin(nx)-cos(nx)+C 2 上页
例5 求积分 sin(ln ) . x d x 解 sin(ln x)d x = x sin(ln x) − x d[sin(ln x)] = − d x x x x x x 1 sin(ln ) cos(ln ) = x sin(ln x) − x cos(ln x) + x d[cos(ln x)] = x[sin(ln x) − cos(ln x)] − sin(ln x)d x sin(ln x)d x [sin(ln ) cos(ln )] . 2 x x C x = − +
例6求积分∫ e sin xdx 解∫ e sin rax= sin xde e sinx-e d(sin x) e sin x-le cos xdx=e sinx-Icosxde e sin x(e cosx-e d cos x) =eimx-cosx)-∫ x e sinar 注意循环形式 x e sin xdx=(sin x-cos x)+C. 2 上页
例6 求积分 sin . e xdx x 解 e xdx x sin = x sin xde = e sin x − e d (sin x) x x = e x − e xdx x x sin cos = − x x e sin x cos xde = e sin x − (e cos x − e d cos x) x x x = e x − x − e xdx x x (sin cos ) sin e xdx x sin (sin cos ) . 2 x x C e x = − + 注意循环形式
x arctan x 例7求积分 x。 1+x 解(1+x2 )=1 2 arctan x 1+x2d arctan xd√1+x 2 =√1+x2 arctan x-|√1+x2 d (arctan x) =1+x2 arctan-∫1+x2 dr 1+x 上页
例7 求积分 + . 1 arctan 2 d x x x x 解 ( ) , 1 1 2 2 x x x + = + + d x x x x 2 1 arctan = + 2 arctan x d 1 x 1 arctan 1 (arctan ) 2 2 x x x d x = + − + d x x x x x 2 2 2 1 1 1 arctan 1 + = + − +
1 =√1+x2 arctan x d 2 令x=tant -dx 1+x 2 a sec tdt=sec tdt 1+ tan t In(sec t+ tant)+C=In(x+v1+x2)+C rarctan x 2 2 1+x arctan x-In(x+v1+x)+C 上页
d x x x x + = + − 2 2 1 1 1 arctan 令 x = tant dx x + 2 1 1 + = tdt t 2 2 sec 1 tan 1 = sec tdt = ln(sec t + tan t) + C = ln( x + 1 + x ) + C 2 + d x x x x 2 1 arctan 1 x arctan x 2 = + ln( 1 ) . 2 − x + + x + C