SF0l(数) Ch0数学分析课程简介 Ch1实数集与函数 计划课时:Ch02时 Ch14时 2004.09.3
S F 01 ( 数 ) C h0 数学分析课程简介 C h 1 实数集与函数 计划课时： Ch 0 2 时 Ch 1 4 时 P 1—9 2004．09．3
Ch0数学分析课程简介(2时) 数学分析( mathematical analysis)简介 背景:从切线、面积、计算sin32°、实数定义等问题引入 2.极限( limit)—变量数学的基本运算: 3.数学分析的基本内容:数学分析以极限为基本思想和基本运算研究实变实值 函数.主要研究微分( differential)和积分( integration两种特殊的极限运算利用这两种运算 从微观和宏观两个方面研究函数,并依据这些运算引进并研究一些非初等函数数学分析 基本上是连续函数的微积分理论 微积运算是高等数学的基本运算 数学分析与微积分( calculus)的区别 数学分析的形成过程: 1.孕育于古希腊时期:在我国,很早就有极限思想.纪元前三世纪, Archimedes 就有了积分思想 2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期是微积分思想的发展、成果的积累时期: 3.十七世纪下半叶到十九时纪上半叶—徽积分的创建时期:参阅《数学分 析选讲》讲稿(1997.8.10.)第三讲P72 4.十九时纪上半叶到二十时纪上半叶分析学理论的完善和重建时期:参阅 《数学分析选讲》讲稿第三讲P72-75
Ch 0 数学分析课程简介 ( 2 时 ) 一. 数学分析(mathematical analysis)简介: 1. 背景: 从切线、面积、计算 、实数定义等问题引入. D 32sin 2. 极限 ( limit ) —— 变量数学的基本运算： 3. 数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究实变实值 函数. 主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算 从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析 基本上是连续函数的微积分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus)的区别. . 二． 数学分析的形成过程： 1． 孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes 就有了积分思想. 2. 十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期: 3． 十七世纪下半叶到十九时纪上半叶 —— 微积分的创建时期: 参阅《数学分 析选讲》讲稿(1997.8.10.)第三讲 P72. 4． 十九时纪上半叶到二十时纪上半叶 —— 分析学理论的完善和重建时期：参阅 《数学分析选讲》讲稿第三讲 P72—75. 1
三.数学分析课的特点 逻辑性很强,很细致,很深刻;先难后易,是说开头三章有一定的难度,倘能努力学 懂前三章(或前三章的80%),后面的学习就会容易一些;只要在课堂上专心听讲,一般 是可以听得懂的,但即便能听懂,习题还是难以顺利完成.这是因为数学分析技巧性很 强,只了解基本的理论和方法,不辅以相应的技巧,是很难顺利应用理论和方法的.论证训 练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一,也是最难的内容之一.一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来,似乎是更难的一件事.因此, 理解证明的思维方式,学习基本的证明方法,掌握叙述和书写证明的一般语言和格式,是 数学分析教学贯穿始终的一项任务 有鉴于此,建议的学习方法是:预习,课堂上认真听讲,必须记笔记,但要注意以听 为主,力争在课堂上能听懂七、八成.课后不要急于完成作业,先认真整理笔记,补充 课堂讲授中太简或跳过的推导,阅读教科书,学习证明或推导的叙述和书写.基本掌握了 课堂教学内容后,再去做作业.在学习中,要养成多想问题的习惯 四.课堂讲授方法 1.关于教材:没有严格意义上的教科书.这是大学与中学教学不同的地方,本课 程主要从以下教科书中取材 ]华东师范大学数学系编,《数学分析》第三版,高等教育出版社,2001 [2]陈传璋等,《数学分析》,高等教育出版社,1978 ③3]吴良森等,《数学分析习题精解》,科学出版社,2002 [4]费定晖等编演,吉米多维奇《数学分析习题集》题解,山东科学技术出版社,1999 []常庚哲等,《数学分析》,江苏教育出版社,1998
三. 数学分析课的特点: 逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头三章有一定的难度, 倘能努力学 懂前三章(或前三章的 0 0 80 ), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般 是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很 强,只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训 练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是 数学分析教学贯穿始终的一项任务. 有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听 为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充 课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了 课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯. 四. 课堂讲授方法: 1. 关于教材: 没有严格意义上的教科书. 这是大学与中学教学不同的地方, 本课 程主要从以下教科书中取材: [1] 华东师范大学数学系编，《数学分析》第三版，高等教育出版社，2001； [2] 陈传璋等，《数学分析》，高等教育出版社，1978； [3] 吴良森等，《数学分析习题精解》，科学出版社，2002； [4] 费定晖等编演，吉米多维奇《数学分析习题集》题解，山东科学技术出版社，1999； [5] 常庚哲等，《数学分析》，江苏教育出版社，1998； 2
本课程主要在[叮]、[3]、[4中取材.在讲授中,有时会指出所讲内容的出处本课程 为适应课时少和学分制的要求,只介绍数学分析最基本的内容.因此删去了[1]中相当一 部分内容,且不囿于[的逻辑系统和章节设置.相应的内容作为选修课将在学完数学分 析课之后开设.因此,课堂笔记就显得十分重要 2.内容多,课时紧:大学课堂教学与中学不同的是,这里每次课介绍的内容很 多,因此,内容重复的次数少,讲课只注重思想性与基本思路,具体内容或推导,特别是 l类型或较简的推理论证及推导计算,可能讲得很简,留给课后的学习任务一般很重 3.讲解的重点:概念的意义与理解,几何直观,理论的体系,定理的意义、条 件、结论.定理证明的分析与思路,具有代表性的证明方法,解题的方法与技巧.某些 精细概念之间的本质差别.在第一、二章教学中,可能会写出某些定理证明,以后一般 不会做特别具体的证明叙述[中叙述性的或简单应用性的内容多留为自学阅读 五.要求、辅导及考试: 1.学习方法:尽快适应大学的学习方法,尽快进入角色.课堂上以听为主,但要 做课堂笔记.课后一定要认真复习消化,补充笔记.一般课堂教学与课外复习的时间比 例应为1:3(国外这个比例通常是1:4.参《西北师大报》№191,20009.30第二版 本科节段如何培养高素质创新人材一伯利克大学的启示.注:伯利克大学乃美国 加州大学伯利克分校) 对将来可能从事数学教学工作的师范大学本科生来说,课堂听讲的内容应该更为丰 富:要认真评价教师的课堂教学,把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验.这对
本课程主要在[1]、[3]、[4]中取材. 在讲授中, 有时会指出所讲内容的出处. 本课程 为适应课时少和学分制的要求，只介绍数学分析最基本的内容. 因此删去了[1]中相当一 部分内容，且不囿于[1]的逻辑系统和章节设置. 相应的内容作为选修课将在学完数学分 析课之后开设. 因此, 课堂笔记就显得十分重要 2. 内容多, 课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是, 这里每次课介绍的内容很 多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是 同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重. 3. 讲解的重点: 概念的意义与理解, 几何直观, 理论的体系, 定理的意义、条 件、结论. 定理证明的分析与思路, 具有代表性的证明方法, 解题的方法与技巧. 某些 精细概念之间的本质差别. 在第一、二章教学中, 可能会写出某些定理证明, 以后一般 不会做特别具体的证明叙述. [1]中叙述性的或简单应用性的内容多留为自学阅读. 五. 要求、辅导及考试： 1. 学习方法: 尽快适应大学的学习方法, 尽快进入角色. 课堂上以听为主, 但要 做课堂笔记. 课后一定要认真复习消化, 补充笔记. 一般课堂教学与课外复习的时间比 例应为1 : 3 ( 国外这个比例通常是 1 : 4 . 参《西北师大报》№191，2000.9.30.第二版: 本科节段如何培养高素质创新人材 —— 伯利克大学的启示. 注: 伯利克大学乃美国 加州大学伯利克分校.) 对将来可能从事数学教学工作的师范大学本科生来说, 课堂听讲的内容应该更为丰 富: 要认真评价教师的课堂教学, 把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验. 这对 3
未来的教学工作是很有用的 2.作业:作业以[]的练习题中大部分习题和4中的计算题为主要内容大体上 每两周收一次作业,一次收清.每次重点检查作业总数的三分之一.作业的收交和完成情 况有一个较详细的登记,缺交作业将直接影响学期总评成绩. 作业要按数学排版格式书写恭整 要求活页作业,最好用西北师大稿纸.要有作业封面,尺寸为195×27.5cm 作业布置方式:[1jP…,[4P 3.辅导:大体每周一次,第一学期要求辅导时不缺席 4.考试:按学分制的要求,只以最基本的内容进行考试,大体上考课堂教学和 所布置作业的内容,包括[和4中的典型例题 考试题为标准化试题 Ch1实数集与函数(4时) §1实数集与不等式(2时) 实数集R:回顾中学中关于实数集的定义.实数集及其几何表示 1.四则运算封闭性 2.三歧性(即有序性) 3. Archimedes性:Va,b∈R,b>a>0,彐n∈N,na>b 4.稠密性:有理数和无理数的稠密性,给出稠密性的定义 5.有理数的可列性:介绍可列个可列集的并集是可列集 6.两实数相等的充要条件:a=b,sVE>0,|a-b|<6
未来的教学工作是很有用的. 2. 作业: 作业以[1]的练习题中大部分习题和[4]中的计算题为主要内容. 大体上 每两周收一次作业, 一次收清. 每次重点检查作业总数的三分之一. 作业的收交和完成情 况有一个较详细的登记, 缺交作业将直接影响学期总评成绩. 作业要按数学排版格式书写恭整. 要求活页作业, 最好用西北师大稿纸. 要有作业封面, 尺寸为 × 5.275.19 cm. 作业布置方式: [1]P…, [4]P… 3. 辅导: 大体每周一次, 第一学期要求辅导时不缺席. 4. 考试: 按学分制的要求, 只以最基本的内容进行考试, 大体上考课堂教学和 所布置作业的内容, 包括[1]和[4]中的典型例题. 考试题为标准化试题. Ch 1 实数集与函数 ( 4 时 ) § 1 实数集与不等式 （2 时） 一． 实数集R ：回顾中学中关于实数集的定义. 实数集及其几何表示. 1. 四则运算封闭性: 2. 三歧性( 即有序性 ): 3. Archimedes 性: ∀ ∈ R >> ∃nabba ∈ N ∋ > bna . , ,0 ,, 4. 稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义. 5. 有理数的可列性: 介绍可列个可列集的并集是可列集. 6. 两实数相等的充要条件: ba ε ba ∀⇔= ε. ,0 , 4
7.区间和邻域: 二.几个重要不等式: L.绝对值不等式定义|a=max{-a,a} 2.三角不等式:采用[]P2的证明(Th121.)利用式-|a‖bb≤a‖b| 有|a2-2|a‖b|+|b|2≤a2+2ab+b2≤|a+2|ab|+|b2,→ (a|-|b1)2≤(a+b)2≤(a|+1b1)2,→|a|-|b|-a+b|s|a|+|bl 3.其他不等式 )a2+b2≥2abl|sinx|sl sinxslx (2)均值不等式:对Va1,a2,…,an∈R+,记 a1+a,+…+a M(a1)= (算术平均值) G(a1)={a12…an= (几何平均值) H(a1) (调和平均值) 1111 有平均值不等式 H(a1)≤G(a1)≤M(a1),等号当且仅当a1=a2=…=an时成立 (3) Bernoulli不等式(在中学已用数学归纳法证明过) vx>-1,有不等式(1+x)”≥1+nx 当x>-1且x≠0,n∈N且n≥2时,有严格不等式(1+x)”>1+nx (现采用《数学教学研究》1991.№1马德尧文“均值不等式妙用两则”中的证明)
7. 区间和邻域: 二. 几个重要不等式: 1. 绝对值不等式: 定义 a {−= aa }. , max 2. 三角不等式 : 采用[1] P 21 的证明 ( Th1.2.1. ): 利用式 − ≤≤ baabba |||||||| , 有 , 2 22 2 2 2 ++≤++≤+− bbaabababbaa ||||||2|| 2||||||2|| ⇒ () |||| ( 2 ba ≤− 2 2 +≤+ baba ) |||| () ， ⇒ +≤+≤− bababa |||| || |||| . 3. 其他不等式: ⑴ ,2 22 ≥+ abba x ≤ .1 sin ≤ xx . sin ⑵ 均值不等式: 对∀ 21 " aaa n ∈ R+ ,,,, 记 , 1 )( 1 21 ∑= = +++ = n i i n i a n n aaa aM " (算术平均值) )( , 1 1 21 n n i i n i n aaaaaG ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = ∏= " (几何平均值) . 111 1 111 )( 21 1 1 ∑∑= = == +++ = n i i n n i i i a n aaa an n aH " (调和平均值) 有平均值不等式: ),( )( )( i ≤ i ≤ aMaGaH i 等号当且仅当 = 21 = " = aaa n 时成立. ⑶ Bernoulli 不等式: ( 在中学已用数学归纳法证明过 ) x −>∀ ,1 有不等式 +≥+ nnxx ∈ N. ,1)1( n 当 x −> 1 且 x ≠ 0 , n∈N 且 时 n ≥ 2 , 有严格不等式 nxx .1)1( n +>+ (现采用《数学教学研究》1991. № 1 马德尧文 “均值不等式妙用两则”中的证明) 5
证由1+x>0且1+x≠0,→(1+x)"+n-1=(1+x)+1+1+…+1> >n(1+x)”=n(1+x).→(1+x)>1+mx (4)利用二项展开式得到的不等式:对Vh>0,由二项展开式 (1+h)"=1+mh+ n(n-1),2(n-1(n-2) h3+…+h 有 (1+h)">上式右端任何一项 三.有界数集与无界数集 1.有界数集:定义(上、下有界,有界),闭区间、(a,b)(a,b为有限数)、邻域 等都是有界数集,集合E=y=sinx,x∈(-∞,+m)也是有界数集 2.无界数集:定义,(-∞,+∞),(-∞,0),(0,+∞)等都是无界数集, 集合E={y|y=,x∈(0,1)}也是无界数集 ExP9-101,3,4,5,7 §2初等函数(2时) 函数 1.映射与函数:映射,单射,满射,双射(一一对应),逆映射等 2.定义域:定义域和存在域 3.函数的表示法 4.反函数 对应,反函数存在定理
证 由 x >+ 01 且 " 111)1(1)1( ,01 >+++++=−++⇒≠+ n n x xnx xnxn ).1( )1( n n +=+> nxx .1)1( n +>+⇒ ⑷ 利用二项展开式得到的不等式: 对∀h > ,0 由二项展开式 , !3 )2)(1( !2 )1( 1)1( n 2 3 n hh nnn h nn nhh ++ − − + − ++=+ " 有 >+ 上式右端任何一项. n h)1( 三. 有界数集与无界数集: 1. 有界数集: 定义(上、下有界, 有界)， 闭区间、 为有限数） ,( ),( baba 、邻域 等都是有界数集， 集合 { } xxyyE ∞+∞−∈== ) , ( ,sin 也是有界数集. 2. 无界数集: 定义, − ∞ ∞+ − ∞ + ∞ ) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , ( 等都是无界数集, 集合 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∈== ) 1 , 0 ( , 1 x x yyE 也是无界数集. Ex P 9 — 10 1，3，4，5，7 . § 2 初等函数 ( 2 时 ) 一. 函数: 1. 映射与函数: 映射 , 单射 , 满射, 双射(一 一对应), 逆映射等. 2. 定义域: 定义域和存在域. 3. 函数的表示法: 4. 反函数: 一 一 对应, 反函数存在定理. 6
x,x∈[0,且x≠1,m=1,2 例1f( 函数∫(x)在区间[0,1]上是否单调?是否为一一对应?是否存在反函数? 5.函数的代数运算 二.分段函数:以函数f(x)={2,x=1,和g(x)= x,| 为例 介绍概念 例2[1P16E9简介,留给学生阅读 x≤1 例3f(x) 求f(0),f(1),f(2) x≥10 例4设f(x)= 1(x+5 求f(5) (答案为8) x<10 三.函数的复合: 例5y=f(n)=√a,u=g(x)=1-x2.求(fgx)=/g(x)并求 定义域 例6(1)f(1-x)= 1,f(x) x+-|=x+ 则∫(x)=( 1, [4]P407E6 四.初等函数:
例1 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ==− ∈ =≠ = . , 2 , 1 , 1 , 1 , , 2 , 1 , 1 ] 1 , 0 [ , )( " " n n x n n n xx x xf 且 函数 在区间 上是否单调 xf )( ] 1 , 0 [ ? 是否为一 一 对应 ? 是否存在反函数 ? 5. 函数的代数运算: 二. 分段函数: 以函数 和 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = ≤− = 1 , ,1 ,2 )( 2 xx xx xg 为例 介绍概念. 例2 [1]P16 E9 简介 , 留给学生阅读 . 例 3 求 ⎩ ⎨ ⎧ >− ≤ = .1 ,1 ,1 , )( xx xx xf fff ).2( ),1( ),0( 例 4 设 求 (答案为 8) ⎩ [ ] ⎨ ⎧ + < − ≥ = .10 ,)5( ,10 ,3 )( xxff x x xf f ).5( 三. 函数的复合: 例 5 .1)( ,)( 2 −==== xxguuufy 求 ( D ) = [ xgfxgf )()( ] 并求 定义域. 例 6 ⑴ )1( )( ,1 __________ ._____ 2 ++=− xfxxxf = ⑵ . 11 2 2 x x x xf ⎟ +=⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 则 xf = ) ( )( A. , B. C. D. 2 x ,1 2 x + ,2 2 x − .2 2 x + [4]P407 E62. 四. 初等函数: 7
1.基本初等函数: 2.初等函数: 3.初等函数的几个特例:设函数f(x)和g(x)都是初等函数,则 )|/(x)是初等函数,因为|/(x)|=(x) (2)Φ(x)=max{(x),(x)}和叭x)=min(x),g(x)都是初等函数, 因为d(x)=max(x),g(x)2=[(x)+g(x)+/(x)-8(x d(x)=min((x),g(x)}=[(x)+g(x)-/(x)-g(x 3)幂指函数(f(x)((x)>0)是初等函数,因为 U(x)) f(x)(),g(x)Inf(x) 五.有界函数:有界函数概念 例7验证函数f(?x+3 在R内有界 解法一由2x2+32=(2x)+()22x、3=26当x≠0时有 If(x) 53=,s8=5=s3 32√6 x26 f(O)|=0≤3 对x∈R,总有|(x)|≤3,即f(x)在R内有界 解法二令y=2,,→关于x的二次方程2yx2-5x+3y=0有实数根 52-24y2≥0,→ <<4. 解法三令x=1=g1,t∈ 对应x∈(-∞,+∞).于是
1. 基本初等函数: 2. 初等函数: 3. 初等函数的几个特例: 设函数 和 都是初等函数 xf )( xg )( , 则 ⑴ xf )( 是初等函数, 因为 ( ) .)( )( 2 = xfxf ⑵ Φ = { xgxfx )( , )(max)( } 和 φ = { xgxfx )( , )(min)( }都是初等函数, 因为 =Φ { xgxfx )( , )(max)( } [ ] )()()()( 2 1 −++= xgxfxgxf , φ = { xgxfx )( , )(min)( } [ ] )()()()( 2 1 −−+= xgxfxgxf . ⑶ 幂指函数 ( ) ( 0)( )( )( xfxf > xg )是初等函数,因为 ( ) ( ) )( . )( )(ln )(ln)( )( xg xf xfxg exf e xg = = 五. 有界函数: 有界函数概念. 例 7 验证函数 32 5 )( 2 + = x x xf 在 R 内有界. 解法一 由 ,62322)3()2(32 2 2 2 x x x =⋅≥+=+ x 当 时 x ≠ 0 ,有 .3 62 5 62 5 32 5 32 5 )( 2 2 ≤=≤ + = + = x x x x x x xf f ≤= 30 )0( , ∴ 对 ∀x ∈ R, 总有 xf ≤ ,3 )( 即 在xf )( R 内有界. 解法二 令 , 32 5 2 ⇒ + = x x y 关于 x 的二次方程 0352 有实数根. 2 yxyx =+− 2 2 ∴ −=Δ 245 y .2 ,4 24 25 ,0 2 y y ≤⇒≤≤⇒≥ 解法三 令 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = −∈ 2 , 2 , 2 3 ππ ttgtx 对应 x ∈ − ∞ + ∞ ). , ( 于是 8
f(x)= 2x2+3 3v2 tg2t 6 cost sec2( -igt 5in2,→f(x) 12,6 SIn 21 s-5 关于奇偶函数、周期函数和单调函数,参阅[]P22-25,[4P19—24 六.几个特殊函数: 例8符号函数sgnx 例9整数部分函数y=[x]并求[2.71826],[x],[-x] 例10非负小数部分函数y=(x)并求(17993)和(-48.75) 例11 Dirichlet函数D(x)和 Rieman函数R(x). Dirichlet函数和 Rieman函数 的周期性 23-24全部。 [4]P34-3650,54,55,56,67,68,71,81
. 62 5 2sin 62 5 )( ,2sin 62 5 sec 1 cos sin 6 5 2 1 3 3 5 3 2 3 2 2 3 5 32 5 )( 2 2 2 2 = ⇒ = ≤ = = + = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + = xft t t t t ttg tgt tgt tgt x x xf 关于奇偶函数、周期函数和单调函数，参阅[1]P22—25，[4]P19—24. 六. 几个特殊函数: 例 8 符号函数sgn x . 例 9 整数部分函数 = xy ].[ 并求 π −π ] [ ], [ ], 71826.2 [ . 例 10 非负小数部分函数 = xy )( . 并求 和) 993.17 ( − ) 75.48 ( . 例 11 Dirichlet 函数 和 Riemann 函数 . Dirichlet 函数和 Riemann 函数 的周期性. xD )( xR )( Ex P 23 — 24 全部 。 [4]P34—36 50，54，55，56，67，68，71，81. 9
