Ch10广义积分 计划课时:8时 P44-61 2005.03.13. Ch10广义积分(8时) 问题的提出:广义积分亦称为 Cauch- riemann积分,或C-R积分 §L.无穷限广义积分: 1.概念和几何意义 定义F(A)=,∫/=F(+)-Fa 几何意义 例1(1)讨论积分 d x 的敛散性 1+x I+x (2)计算积分 x2+2x+5 例2讨论以下积分的敛散性 (1) 2 x(In x) 例3讨论积分∫ cos xd的敛散性 2.无穷积分的性质: (1)f(x)在区间[a,+∞)上可积,k- Const,则函数kf(x)在区 间[a,+∞)上可积,且J6(xk=kjf(x)d
Ch 10 广义积分 计划课时： 8 时 P 44—61 2005．03．13. Ch 10 广义积分（8 时 ） 问题的提出: 广义积分亦称为 Cauchy—Riemann 积分,或 C—R 积分. §1. 无穷限广义积分: 1． 概念和几何意义： 定义 ， . ∫ = A a AF )( ∫ +∞ −+∞= a aFFf )()( 几何意义: 例 1 ⑴ 讨论积分 ∫ +∞ + 0 2 1 x dx , ∫ ∞− + 0 2 1 x dx , ∫ +∞ ∞− + 2 1 x dx 的敛散性 . ⑵ 计算积分 ∫ +∞ ++ 0 2 xx 52 dx . 例 2 讨论以下积分的敛散性 : ⑴ ∫ +∞ 1 p x dx ; ⑵ ∫ +∞ 2 )(ln p xx dx . 例 3 讨论积分 的敛散性 . ∫ +∞ a cos xdx 2. 无穷积分的性质: ⑴ xf )( 在区间 a + ∞ ) , [ 上可积 , — Const , 则函数k 在区 间 上可积 , 且 . k xf )( a ∞+ ) , [ ∫ +∞ = a )( kdxxkf ∫ +∞ a )( dxxf
(2)f(x)和g(x)在区间[a,+∞)上可积 f(x)±g(x)在区 间[a,+∞)上可积,且「(±g)=∫/±∫g (3)无穷积分收敛的 Cauchy准则:(翻译F(A)→>B,A→+∞.) Th积分∫f(x)d女收敛 e VE>0, 3A, VA A">A,=f(r)dxa,f(x)和g(x)在区间[a,A]上可积.则 g0,f≥0,limy=c.则 i>0<c<+∞,→「f与「g共敛散
⑵ xf )( 和 xg )( 在区间 a + ∞ ) , [ 上可积 , ⇒ xf )( ± xg )( 在区 间 a ∞+ ) , [ 上可积 , 且 . ∫ +∞ =± a gf )( ∫ +∞ ± a f ∫ +∞ a g ⑶ 无穷积分收敛的 Cauchy 准则: ( 翻译 → ABAF +∞→ . ,)( ) Th 积分 收敛 ∫ +∞ a )( dxxf ε ∀∃>∀⇔ ′′′ ⇒> , 和 在区间 a xf )( xg )( Aa ] , [ 上可积. 则 0 , 0 , c g f x = +∞→lim . 则 ⅰ> 0 < < c + ∞ , ⇒ 与 共敛散 : ∫ +∞ a f ∫ +∞ a g 101
0 g0)设对任何A>a,f(x)∈C[a,4],0≤f(x)≤一且p>1, j+∞:若f()2且p≤,=jr=+ Cauchy判敛法的极限形式:设f(x)是在任何有限区间[a,A]上可积 的正值函数.且limx"f(x)=A.则 p>1,0≤A0);i (3)其他判敛法: Abel判敛法:若∫(x)在区间[a,+∞)上可积,g(x)单调有界,则 积分f(x)g(x)dx收敛 Dirichlet判法:设F(A)=∫在区间[a,+∞)上有界,g(x)在 a,+)上单调,且当x→+时,g(x)→0.则积分厂fx)g(x)d 收敛
ⅱ> c = 0, ⇒ c = ∞+ , ⇒ ∫ +∞ a g = + ∞ 时, ∫ +∞ a f = + ∞ . ( 证 ) ⑵ Cauchy 判敛法: ( 以 ∫ +∞ 1 p x dx 为比较对象, 即取 xg )( = p x 1 .以下 a > 0 ) 设对任何 A > a , xf )( ∈ AaC ],[ , 0 ≤ xf )( ≤ p x 1 且 p > 1, ⇒ ∫ p > ≤ λ p ≤ ⅱ> ∫ +∞ − > 0 α );0( , α dxex x ∫ +∞ 0 +5 2 . 1 dx x x ⑶ 其他判敛法: Abel 判敛法: 若 在区间 xf )( a + ∞ ) , [ 上可积 , 单调有界 , 则 积分 收敛. xg )( ∫ +∞ a )()( dxxgxf Dirichlet 判敛法: 设 在区间 ∫ = A a )( fAF a + ∞ ) , [ 上有界 ， 在 上单调，且当 xg )( a ∞+ ) , [ x +∞→ 时， . 则积分 收敛. xg )( → 0 ∫ +∞ a )()( dxxgxf 102
sInx 例6讨论无穷积分 x与 COS x dx(p>0)的敛散性 例7证明下列无穷积分收敛,且为条件收敛 sInx 2 dx 「cosx2ah xsin x dx 例8(乘积不可积的例)设f(x) SIn x x∈[1,+∞).由例 的结果积分(x)收敛,但积分了/((k=了mx却发 散.(参阅例6) ExP55-56 §2.无界函数的广义积分: 先介绍函数的瑕点 1.瑕积分的定义:以点b为瑕点给出定义.然后就点a为瑕点、点 c∈(a,b)为瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明 d x 例9判断积分 的敛散性 例10讨论瑕积分(q>0)的敛散性,并讨论积分 的敛散性 2.瑕积分与无穷积分的关系:设函数∫(x)连续,b为瑕点.有 f(x)dx dt,把瑕积分化成了无穷积分 1)d 设a>0,有|g(x)dt Idt 7P,把无穷积分化
例 6 讨论无穷积分 ∫ +∞ 1 sin dx x x p 与 ∫ +∞ 1 cos dx x x p p > ) 0 ( 的敛散性. 例 7 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 : , , . ∫ +∞ 1 2 sin dxx ∫ +∞ 1 2 cos dxx ∫ +∞ 1 4 sin dxxx 例 8 ( 乘积不可积的例 ) 设 xf )( x sin x = , x ∈ + ∞ ) , 1 [ . 由例 6 的结果,积分 ∫ 收敛 . 但积分 +∞ 1 )( dxxf ∫ +∞ 1 )()( dxxfxf ∫ +∞ = 1 2 sin dx x x 却发 散.( 参阅例 6 ) Ex P55—56 . §2. 无界函数的广义积分: 先介绍函数的瑕点. 1. 瑕积分的定义: 以点 b 为瑕点给出定义. 然后就点 为瑕点、点 为瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明. a ∈ bac ),( 例 9 判断积分 ∫ − 1 0 2 1 x dx 的敛散性 . 例 10 讨论瑕积分 ∫ > 1 0 q ) 0 ( x dx q 的敛散性,并讨论积分 ∫ +∞ 0 p x dx 的敛散性. 2. 瑕积分与无穷积分的关系: 设函数 xf )( 连续 , b 为瑕点. 有 ∫ ∫ ∞+ − − = ⎟⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ===== − b a ab xb t dt t t dxxf bf 1 2 1 11 )( , 把瑕积分化成了无穷积分; 设 a > 0 , 有 ∫ ∫∫ ∞+ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −==== a a a x t t dt t g t dt t dxxg g 0 1 1 0 2 2 1 1 1 )( ，把无穷积分化 103
成了瑕积分可见,瑕积分与无穷积分可以互化,因此,它们有平行 的理论和结果 例11证明瑕积分sin-ax当a<2时收敛 证」===J2t,由例6,该积分当a<2时收敛 3.瑕积分判敢法: Th(比较原则) 系1( Cauchy判别法) 系2( Cauchy判别法的极限形式) 例12判别下列瑕积分的敛散性 1nxdx,(注意被积函数非正).②A 例13讨论非正常积分 1+、的敛散性 三.CR积分与R积分的差异 1.f(x)∈R[a,b],→在[a,b上∫(x)=0(1);但f(x)在区间 [a,+∞)上可积,≠∫(x)在区间[a,+∞)上有界.例如函数 x=n f(x)= 0,x≥1但x≠n 2.∫(x)∈R[a,b],→f(x)l∈R[ab],但反之不确.R积分是绝对型积 分.|f(x)在区间[a,+∞)上可积,→f(x)在区间[a,+∞)上 可积,但反之不确.C一R积分是非绝对型积分
成了瑕积分.可见 , 瑕积分与无穷积分可以互化 . 因此 , 它们有平行 的理论和结果 . 例 11 证明瑕积分 ∫ 1 0 1 sin 1 dx x x α 当α < 2 时收敛. 证 ∫∫ ∞+ − = ==== 1 2 1 1 0 sin dt t t t x α , 由例 6 , 该积分当α < 2 时收敛. 3． 瑕积分判敛法: Th ( 比较原则 ) . 系 1 ( Cauchy 判别法 ). 系 2 ( Cauchy 判别法的极限形式 ). 例 12 判别下列瑕积分的敛散性 : ⑴ ∫ 1 0 , ln dx x x ( 注意被积函数非正 ). ⑵ ∫ 2 1 ln dx x x . 例 13 讨论非正常积分 ∫ +∞ − + 0 1 1 dx x xα 的敛散性. 三. C—R 积分与 R 积分的差异: 1. xf )( ∈ R ba ],[ , ⇒ 在 ba ],[ 上 xf )( = )1(0 ; 但 在区间 上可积 , xf )( a ∞+ ) , [ ⇒/ xf )( 在区间 a + ∞ ) , [ 上有界 . 例如函数 ⎩ ⎨ ⎧ ≠≥ = = . 1 , 0 , , )( nxx nxn xf 但 2. R ,⇒| |∈R ,但反之不确. R 积分是绝对型积 分. | |在区间 xf )( ∈ ba ],[ xf )( ba ],[ xf )( [ a , + ∞ ) 上可积 ,⇒ xf )( 在区间 a + ∞ ) , [ 上 可积 ,但反之不确. C—R 积分是非绝对型积分. 104
3.f(x),g(x)∈R[a,b],→f(x)g(x)∈R[a,b;但f(x)和 g(x)在区间[a,+∞)上可积,f(x)g(x)在区间[a,+∞)上 可积.可见,∫(x)在区间[a,+∞)上可积 f2(x)在区间 [a,+∞)上可积. ExP611-9
3. xf )( , xg )( ∈ R ba ],[ , ⇒ xf )( xg )( ∈ R ; 但 和 在区间 ba ],[ xf )( xg )( a + ∞ ) , [ 上可积 , ⇒/ xf )( xg )( 在区间 a + ∞ ) , [ 上 可积 . 可见 , xf )( 在区间 a + ∞ ) , [ 上可积 , ⇒/ 在区间 上可积. )( 2 xf a ∞+ ) , [ Ex P61 1―9. 105