第三章微分学的应用一 应用的理纶基础 中值定理 二、函的性态
第三章 微分学的应用 一、应用的理论基础 -----中值定理 二、函数的性态
第一节中值定 Roll中值定理 二、 Lagrange中值定理 三、CmCl中值定醒 四、Tglo中值定醒 五、小结
第一节 中值定理 一、Rolle 中值定理 二、Lagrange中值定理 三、Cauchy中值定理 四、Taylor中值定理 五、小结
几何事实 B A 0a b 在连续可导曲线弧AB上至少有一点C, 在该点处的切线与弦AB平行的
几何事实: . , 在该点处的切线与弦 平行的 在连续可导曲线弧 上至少有一点 AB AB C A o x y b B a .D .C 1 2 .M
几何事实: C y=f(x) 在连续可导曲线弧AB上至少有一点C, 在该点处的切线是水平的
几何事实: a 1 2 b x y o y = f (x) . , 在该点处的切线是水平的 在连续可导曲线弧AB上至少有一点C C
物理事实:斜上抛物体的运动 y=K B 在连续可导曲线弧AB上至少有一点C, 在该点处的切线是水平的
物理事实: 斜上抛物体的运动 . , 在该点处的切线是水平的 在连续可导曲线弧AB上至少有一点C 1 C a b x y o y = f (x) A B
罗尔(Role)定理 Rl定理如果函数fx)具有 (1).在闭区间a,b上连续; (2)在开区间(a,b)上可导; (3)区间端点处的函数值相对,即f(a)=f(b) 则至少一点ξ∈(a,b),使得(2)=0 例如,f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1) 在-1,3上连续,在(-1,3)上可导,且f(-1)=f(3)=0 f(x)=2(x-1),取号=1,(1∈(-1,3)f'(2)=0
一、罗尔(Rolle)定理 Rolle定理 如果函数 f(x) 具有 (1). 在闭区间[a,b]上连续； (2). 在开区间(a,b)上可导； 则 至少一点 (a,b), 使得 f ( ) = 0. 例如, ( ) 2 3 2 f x = x − x − = (x − 3)(x + 1). 在(−1,3)上可导, 且 f (−1) = f (3) = 0, 取 = 1, (1(−1,3)) f () = 0. f (x) = 2(x −1), (3). 区间端点处的函数值相对,即f (a) = f (b). 在[−1,3]上连续
证∵f(x)在{a,b连续,必有最大值M和最小值m 1(1)若M=m.则f(x)=M 由此得f'(x)=0.V2∈(a,b),都有∫(2)=0 (2)若M≠m.∵f(a)=f(b), ∴最值不可能同时在端点取得 设M≠f(a) 则在(a,b)内至少存在一点使f(4)=M f(号+Δx)≤f(5),∴f(2+△x)-f(2)≤0
证 (1) 若 M = m. f (x) 在[a,b]连续, 必有最大值 M 和最小值 m. 则 f (x) = M. 由此得 f (x) = 0. (a,b), 都有 f () = 0. (2) 若 M m. f (a) = f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a), 则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) = M. f ( + x) f (), f ( + x) − f () 0
若Ax>0,则有(5+A0)-()≤0 若Ax<0.,则有/(5+A)-/()20 △ ∴∫(2)=lim f(号+△x)-f(5) ≥0: △x→)-0 △v f(5)=limf(+△x)-f(2) ≤0;∵f′(ξ)存在, △x→)+0 △ ∴∫(号)=∫(2)∴只有f'(2)=0
若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →− − x f x f f x 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →+ + x f x f f x f ()存在, () = (). − + f f 只有 f () = 0
J 九何解释: C y=f(x) 在曲线弧AB上至少有 点C,在该点处的切线是 水平的 物理解释: 变速直线运动在 折返点处瞬时速③ 度等于零
几何解释: a 1 2 b x y o y = f (x) . , 水平的 点 在该点处的切线是 在曲线弧 上至少有一 C AB C 物理解释: 变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零
注意:(1).若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立,是一个充分条件; (2)条件(3)保证了最值在区间内取得。 例如,y=xx∈|2,2 在|2,2上除f(0)不存在外满足罗尔定理 的其它两个条件,但在区间[-2,2内找不到 点能使∫(x)=0 又例如, ∫1-x,x∈(0,1 0,x=0 不满足条件(1) =x,x∈01l不满足条件(3)
注意: (1). 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立，是一个充分条件； (2). 条件(3)保证了最值在区间内取得。 例如, y = x , x[−2,2]; , [ 2,2] (0) , 的其它两个条件 在 − 上除 f 不存在外 满足罗尔定理 ( ) 0. [ 2 2] = − 一点能使 f x 但在区间 ， 内找不到 ; 0, 0 1 , (0,1] = − = x x x y y = x, x[0,1]. 又例如, 不满足条件(1) 不满足条件(3)