山东科技大学2005-2006学年第二学期 《矢量分析与场论》重修考试试卷参考答案 、计算题(每题6分,共12分) 1、解:r(r)= a costI+ b cost j- c sint 2、解:切向矢量7x=(asin2,2ncos2,-asin0x=(a,0,-)……4分 对应单位矢量°=(∞0,0,-2) 分 、计算题(每题6分,共12分) 解jq+9=+g+)==-1249++c 6分 2,解:4O=1+3)-,2+2…3分 10i 6分 三、计算题(本题共16分) 1、解:令=C,则 =C,将点M(1,1,2)代入,可得C=5 4分 2、解:矢量场的矢量线所应满足的微分方程为_,公……6分 所求等值面方程为x2+y2=5z… (x+y)z dx dy 可得y=C1x,将M(2,1,1)代入,解得C=………6分 dx dy ,可得x+y=lnz+C2,将M(2,1,1)代入, x y (x+y)z
山东科技大学 2005—2006 学年第 二 学期 《矢量分析与场论》重修考试试卷 参考答案 一、计算题（每题 6 分，共 12 分） 1、解： r t a t i b t j c t k ( ) cos cos sin =+− ………………………………6 分 2、解：切向矢量 4 4 2 ( sin 2 , 2 cos 2 , sin ) ( , 0, ) t t 2 l a t a t a t a = = = − = − ………4 分 对应单位矢量 6 3 ( , 0, ) 3 3 o l = − ………………………………………………6 分 二、 计算题（每题 6 分，共 12 分） 1、解： 2 2 2 2 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( 1) 2 2 2 e d e d e u du e C + = + + = = − + + …………………………………………………6 分 2、解： 2 2 2 2 2 3 0 0 0 0 ( ) (1 3 ) 2 2 t A t dt i t dt j t dt k dt = + − + ……………………3 分 = − + 10 8 i j k ………………………………………………6 分 三、计算题（本题共 16 分） 1、 解：令 u C= ，则 2 2 x y C z + = ，将点 M(1,1, 2) 代入，可得 C = 5 ， …………………………………………………………4 分 所求等值面方程为 2 2 x y z + = 5 …………………………………………6 分 2、 解：矢量场的矢量线所应满足的微分方程为 ( ) dx dy dz x y x y z = = + ……………4 分 由 dx dy x y = 可得 1 y C x = ，将 M(2,1,1) 代入，解得 1 1 2 C = ……………6 分 由 ( ) dx dy dz x y x y z = = + ，可得 2 x y z C + = + ln ，将 M(2,1,1) 代入
解得C2=3……… 所求矢量线方程为 10分 x+y=ln乙+3 四、计算题(本题共20分) (1)-』(z-)h+川(x-a)+z(y-x)d …4分 (2)diva o (x(z-y))+。(y(x-z)+(x(y-x)) (z-y)+(x-z)+(y-x)=0 因div4=0,故A为管形场 (3)矢量的方向余弦为coa=,c0sB=:,c0sy ·2分 3 H1M=(R,-Q)cosa+(P-R1)c0sB+(Qx-P) costa………4分 I(z+y)cos a+(x+z)cos B+(+z)cos yM". …6分 2 219 5x-+4×-+3X-= 8分 五、计算题(本题14分) 解: grad u j+k=y2+(2x+z3)j+3 4分 ax ay az grad M=i-3j-3k 6分 又在方向的单位矢量为/2 分 于是有 au a M=grady u M=Grad uIIM 2 lx2+(-3)×2+(-3)×( 14分
解得 2 C = 3……………………………………………………8 分 所求矢量线方程为 1 2 ln 3 y x x y z = + = + ……………………………………………10 分 四、计算题（本题共 20 分） （1） ( ) ( ) ( ) S = − + − + − x z y dydz y x z dzdx z y x dxdy ……………………4 分 （2） divA x z y y x z z y x ( ( )) ( ( )) ( ( )) x y z = − + − + − = − + − + − = ( ) ( ) ( ) 0 z y x z y x ……………………………………6 分 因 divA = 0，故 A 为管形场. ……………………………………………………8 分 （3）矢量 n 的方向余弦为 1 2 2 cos ,cos ,cos 3 3 3 = = = ，……………………2 分 [( )cos ( )cos ( )cos ] n M y z z x x y M = − + − + − R Q P R Q P ………………4 分 [( )cos ( )cos ( )cos ]M = + + + + + z y x z y z ………………………6 分 1 2 2 19 5 4 3 3 3 3 3 = + + = ………………………………………………8 分 五、计算题（本题 14 分） 解： 2 3 2 (2 ) 3 u u u grad u i j k y i xy z j yz k x y z → = + + = + + + ………………4 分 3 3 M grad u i j k → = − − ………………………………………………………6 分 又在 l 方向的单位矢量为 2 2 1 3 3 3 o l i j k = + − ……………………………………8 分 于是有 [ ]o M M M l u grad u grad u l l → → = = 2 2 1 1 1 ( 3) ( 3) ( ) 3 3 3 3 = + − + − − = − ……………………………14 分
六、解答题(本题共16分) 1、解:r=y2d+z2x2h+x2yhk 2、证明:由A的雅可比矩阵2xz2-siny2x2z可得 4xyz 2x 2 y rot A=(2 x xz)i +(4xyz-4xyzj+(2xa-2xz)k=0 故A为有势场…… 分 又由n=」0+yd+2xyzh 8分 =sin+x yz 10分 故势函数的全体为v=-+C=-siny-x2yz2+C (本题也可用不定积分法求势函数) 七、证明题(本题10分) 证明:在高斯公式中A·=V,Ad中,取A=uVv,可得 (uvv)ds=[lv(uvv)di (Vu. Vv+uAv)di 10分
六、解答题（本题共 16 分） 1、 解： 2 2 2 2 2 2 l = + + y z dx z x dy x y dz …………………………………………4 分 2、 证明：由 A 的雅可比矩阵 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 sin 2 4 2 2 yz xz xyz xz y x z xyz x z x y − 可得 2 2 2 2 rot A x z x z i xyz xyz j xz xz k (2 2 ) (4 4 ) (2 2 ) 0 → = − + − + − = …………4 分 故 A 为有势场 ……………………………………………………………………6 分 又由 2 0 0 0 0 cos 2 x y z u dx ydy x yzdz = + + …………………………………………8 分 2 2 = + sin y x yz ………………………………………………………………10 分 故势函数的全体为 2 2 v u C y x yz C = − + = − − + sin ……………………………12 分 （本题也可用不定积分法求势函数） 七、证明题（本题 10 分） 证明：在高斯公式 S A dS AdV = 中，取 A u v = , 可得 ( ) ( ) ( ) S u v dS u v dV u v u v dV = = + ……………………10 分