2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 基础部分 第一课微积分 第9章常微分方程()基本概念一阶可解方程、高阶可降价方程 微分方程的基本概念 一阶可积类型微分方程的求解 高阶可降阶类型方程的求解 应用问题举例综合例题 91微分方程的基本概念 9.1.1引言与实例 什么是微分方程 包含未知函数的导数或微分的方程式就称为微分方程 微分方程是用函数与导数的关系式来表达(一类)函数的一种方法。 微分方程的基本问题:方程类型与求解方法,解的定性研究,列方程 9.1.2微分方程其及其分类: 常微分方程和偏微分方程 ●微分方程的阶:方程中出现的最高阶导数的阶数称为这个微分方程的阶 H阶常微分方程的一般形式为 x,y, dx dx 线性与非线性方程 如果在上述方程中,函数∫关于未知函数y及其各阶导数 dy dy d -y 都是一次整式则称这个方程是线性微分方程,否则称为 dx d X ax 非线性微分方程.n阶线性常微分方程的一般形式为 +an-i(x)i++a,(x)'+ao(x)y=f(x) dx 其中a1(x),(=0.1,n-1),f(x)是已知函数 9.1.3“解”的概念 满足微分方程的函数,称为该方程的解。即将此函数代入方程,使其成为恒等式 或更细致一点,如果函数y=y(x)在区间上具有阶导数且将其代入某n 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 基础部分 第一课 微积分 第 9 章 常微分方程 (一) 基本概念 一阶可解方程、高阶可降价方程 微分方程的基本概念 一阶可积类型微分方程的求解 高阶可降阶类型方程的求解 应用问题举例 综合例题 9.1 微分方程的基本概念 9.1.1 引言与实例 z 什么是微分方程？ 包含未知函数的导数或微分的方程式就称为微分方程. 微分方程是用函数与导数的关系式来表达(一类)函数的一种方法。 z 微分方程的基本问题:方程类型与求解方法，解的定性研究，列方程 9.1.2 微分方程其及其分类： z 常微分方程和偏微分方程 z 微分方程的阶: 方程中出现的最高阶导数的阶数称为这个微分方程的阶. n阶常微分方程的一般形式为 ( ) ( , , , ,..., ) 1 1 2 2 − − = n n n dx d y dx d y dx dy y f x y z 线性与非线性方程 如 果 在 上 述 方 程 中 , 函 数 f 关于未 知函数 y 及其各 阶 导 数 1 1 2 2 , ,..., − − n n dx d y d x d y dx dy 都是一次整式,则称这个方程是线性微分方程, 否则称为 非 线性微 分方程. n 阶 线 性常微 分方程 的一般 形式为 ( ) ... ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 a x y f x dx dy a x dx d y a x dx d y n n n n n + + + = − − − + 其中a (x), (i 0,1,...,n 1), f (x) i = − 是已知函数. 9.1.3 “解”的概念 满足微分方程的函数，称为该方程的解。即将此函数代入方程，使其成为恒等式。 或更细致一点，如果函数 y = y(x)在区间I 上具有 n阶导数, 且将其代入某n 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 1 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 阶微分方程之后,使之成为恒等式则称函数y=y(x)是方程在区/上的一个解 ●通解(一般解)与定解条件 微分方程的解中都包含了若干任意常数.一般情况下,在阶徽分方程的解中含有n 任常数C1,C22Cn,也就是说,n阶微分方程的解的表达式为 x 这种包含了个任常数称为微分方程的通解(一般解) 个微分方程虽然可以有无穷多个解,若从中确一个所需要的解则需要对微分方程附 加某些条件,即所谓定解条件.适合定解条件的解称为微分方程的特解 对于H阶微分方程,为了从通解中找到所需要的解,需要附加n个初始值条件,即 =f(r,y =0 y(xo =y 这样的定解条件称为初值条件,上述问题就称为初值问题 例91设p(在(,+)连续且不恒等于零y1(x),y2(x)是微分方 程y+p(x)y=0的两个不同特解则下列结论中错误的是(C (4)y2(x=常数中y1(x)≠0 y1(x) (B)C(y1-y2)构成方程的通解 (C)y1-y2=常数 (D)2y1(x)-5y2(x)是该微分方程的一个特解. 解:首先在p()不恒等于零的条件下,微分方程y+p(x)y=0没有非零常 数解如果y1(x),y2(x)是两个不同的解那么y1-y2也是这个方程的解, 从而y1-y2不能等于非零常数 导数运算是线性运算,从解的概念可知,(A),(B)是成立的,同理,(D)也 是成立。 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 阶微分方程之后, 使之成为恒等式, 则称函数 y = y(x)是方程在区 I 上的一个解 z 通解（一般解）与定解条件 微分方程的解中都包含了若干任意常数. 一般情况下, 在n阶微分方程的解中含有n 任常数 c c c , 也就是说, 阶微分方程的解的表达式为 n , ,..., 1 2 n ( , , ,..., ) y = f x c1 c2 cn ， 这种包含了n个任常数 称为微分方程的通解（一般解）. 一个微分方程虽然可以有无穷多个解, 若从中确一个所需要的解.则需要对微分方程附 加某些条件,即所谓定解条件. 适合定解条件的解称为微分方程的特解. 对于 n 阶微分方程,为了从通解中找到所需要的解,需要附加n 个初始值条件, 即 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ′ = ′ = = = − − − − 1 0 0 x 1 0 0 0 0 1 1 , , , ( , , ,..., ) 0 n n n n n y x y y x y y y dx d y dx dy y f x y L 这样的定解条件称为初值条件,上述问题就称为初值问题. 例 9.1 设 p(x) 在(−∞,+∞)连续且不恒等于零, ( ) , ( ) 1 2 y x y x 是微分方 程 y ′ + p(x) y = 0的两个不同特解,则下列结论中错误的是( C )。 ≡ 常数 ( ) ( ) ( ) 1 2 y x y x A (其中 y1(x) ≠ 0)。 (B) C( y1 − y2 ) 构成方程的通解。 − = 常数。 1 2 (C) y y ( ) 2 ( ) 5 ( ) 1 2 D y x − y x 是该微分方程的一个特解。 解: 首先,在 p(x) 不恒等于零的条件下, 微分方程 y ′ + p(x) y = 0没有非零常 数解，如果 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 是两个不同的解,那么 1 2 y − y 也是这个方程的解, 从而 1 2 y − y 不能等于非零常数. 导数运算是线性运算，从解的概念可知，，(A), (B)是成立的。同理，（ ）也 是成立。 D 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 2 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 t xy 例92试研究 之解所确定函数y=y(x)的增减区闻,极 0)=0 值点及凸凹区间 y=xx+y 0,Jfx≥0 10)=01y<0x< jy个x20m(x)=yO)=0 y,∥x<0y(x)≥0,Wx∈R y"=x2+y2+x(2x+y) 3x2+y2+xy+x2y3≥0 y=y(x)是下凸的函数 92一阶可积类型 9.2.1分离变量法 形如 f(x)g(y),或者 f(x)dhx=g(y)dy的方程称为变量分离方程 解法:分离变量后,两边积分: f(x)ax=g(y)y→∫(x)x=∫v(y)dy+C 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 3-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 例 9.2 试研究 之解所确定函数 ⎩ ( ) ⎨ ⎧ = ′ = + 0 0 3 2 y y x xy y = y(x)的增减区间，极 值点及凸凹区间。 解： ( ) ⎩ ( ) ⎨ ⎧ = ′ = + 0 0 2 2 y y x x y ⎩ ⎨ ⎧ ′ < < ′ ≥ ≥ ⇒ 0, 0 0, 0 y if x y if x ⎩ ( ) ⎨ ⎧ ≥ ∀ ∈ = = ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ ↓ < ↑ ≥ ⇒ ∈ y x x R y x y y if x y if x x R 0, min ( ) (0) 0 , 0 , 0 ; ⇒ y ′′ = x + y + x( ) 2x + yy ′ 2 2 ， 3 0 2 2 4 2 3 = x + y + x y + x y ≥ y = y(x)是下凸的函数。 9. 2 一阶可积类型 9.2.1 分离变量法 z 形如 f (x)g( y) dx dy = ,或者 f (x)dx = g( y)dy 的方程称为变量分离方程. z 解法: 分离变量后，两边积分: f (x)dx = g( y)dy⇒ ∫ u(x)dx = ∫ v( y)dy + C ; 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 3 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 f(xg(y) f(xdx dx 8(y) v(r 0)=yo X 0 8(y 例93{axy(xoy≠0) x (xo) idy==xdx 解1: 0 →1 ∫-xdx+C y(xo)=y DX +O 2 x0)=y0 2 +y=(x+y0)或 x, if yo>0 x', if yo 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y x y f x dx g y dy y x y f x g y dx dy ⇒ ∫ = ∫ y y x x g y dy f x dx 0 0 ( ) ( ) . 例 9.3 ( 0 ) ( ) , , 0 0 0 0 ≠ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − x y y x y y x dx dy ⎩ ⎨ ⎧ = = − ⇒ 0 0 y(x ) y ydy xdx 解 1: ⎩ ⎨ ⎧ = = − 0 0 y(x ) y ydy xdx ， ⎩ ⎨ ⎧ = ∫ = ∫ − + ⇒ 0 0 y(x ) y ydy xdx C ， ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − + ⇒ 0 0 2 2 ( ) 2 2 y x y C y x ， ( ) 2 0 2 0 2 2 ⇒ x + y = x + y 或 ( ) ⎪ ( ) ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − + − ⇒ , 0, , 0, 0 2 2 0 2 0 0 2 2 0 2 0 y x y x if y y x y x if y 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 4 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 解2: dy=-xdx y=∫-xdx 1(x →X+y=(x0+y0 922可化为可分高变量型的方程 方程:齐次方程: g ·解法:变量置换。令l(x y=xu+u, g()→xal'+l-=g(l) g(u) 分离变量得到 g()-l 例9.4,xy=y In y-Inx 解:方程化为 y=xu(x y u+xu=uInu Xx du dx →lnnu 1=In Cx u(Inu-1x →y=x 923一阶线性方程 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 解 2: ⎩ ⎨ ⎧ = = − 0 0 y(x ) y ydy xdx ⇒ ∫ = ∫ − x x y y ydy xdx 0 0 ( ) 2 0 2 0 2 2 ⇒ x + y = x + y 9.2.2 可化为可分离变量型的方程 z 方程：齐次方程: ( ) x y g dx dy = ; z 解法：变量置换。令 ( ) y xu u x y x u(x) = ⇒ ′ = ′ + ， ( ) x y g dx dy = x g u u xu u g u u − ⇒ ′ + = ⇒ ′ = ( ) ( ) 。 分离变量得到 x dx g u u du = ( ) − 例 9.4, xy ′ = y(ln y − ln x). 解: 方程化为 ( ) ′ = ⎯⎯ → ⎯⎯ y=xu x x y x y y ln u + xu = u lnu x dx u u du = − ⇒ (ln 1) ⇒ ln lnu −1 = lnCx C x y xe + ⇒ = 1 。 9.2.3 一阶线性方程 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 5 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 方程+p(x)y=q(x) 解法:(1)变易常数法:先解齐次方程,变易常数 (1) +p(x)y=q(x) 2)+p(x)y=0 C 先解齐次 -p(x)dx =lnC-「p(x)x, 齐次解为y1(x)=Ce-p(x)b 若y=y(x)为(1)的解,将(1)化为 J-p(x)×9(x) q(x) ny=+lnC1-∫p(x)kx+x dx y(x) ,-p(x e v(r) 或记为 x l·ey(x)eJp(xkh 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 z 方程： p(x) y q(x) dx dy + = z 解法：（1）变易常数法：先解齐次方程，变易常数。 （1） p(x) y q(x) dx dy + = （2） + p(x) y = 0 dx dy 先解齐次： p x dx y dy = − ( ) C p x dx y dy = ln − ∫ ( ) ， 齐次解为 −∫ ( ) = p x dx y (x) Ce 1 。 若 y = y(x)为（1）的解，将（1）化为 ( ) ( ) ( ) y x q x p x y dy = − + ， dx y x q x y = + C − ∫ p x dx + ∫ ( ) ( ) ln ln ( ) 1 ， dx y x q x p x dx y x C e e ∫ −∫ = ⋅ ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ，或记为 p x dx dx y x q x y x C e e−∫ ∫ = ⋅ ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ， 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 6 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 x 记C(x)=C1·e3),y=y(x)可记为 y(x=c(x)e 「p(x)d 只需求C(x)(变易常数法) y'(x=C(xe- p(xkdx-C(xp(x)e- p(xix 代入(1) C(x)exk-C(x)p(x)丁x +C(x)(xe- p(xk=o(x) 得到((x) yoo(rdx =Q(x) 于是C(x)=∫Q(x)xax+C 因此y(x)=epxd(jQ(x)ep(xkd+C (2)积分因子法:方程两边乘函数e/(x)hx ep(x ) dx y+p()y)=g(r)e p(x)dr x))=()h v(r)elp()dr (x)e p(x)d=C+g(x)e/ p(x) e ax,或记为 y(r=e p(dx (q(x)e p(xjd dx+C) sIn x 例95解方程+-y X 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 记 dx y x q x C x C e ∫ = ⋅ ( ) ( ) 1 ( ) ， y = y(x)可记为 ， p x dx y x C x e−∫ = ( ) ( ) ( ) 只需求C(x)（变易常数法） p x dx p x dx y x C x e C x p x e −∫ −∫ ′ = ′ − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 代入（1） p x dx p x dx C x e C x p x e −∫ −∫ ′ − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C x p x e Q x p x dx + = −∫ 得到 ( ) ( )， ( ) C x e Q x p x dx ′ = −∫ 于是C x Q x e dx C 。 p x dx = ∫ + ∫ ( ) ( ) ( ) 因此 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) y x e Q x e dx C p x dx p x dx = ∫ + −∫ ∫ （2）积分因子法：方程两边乘函数 ∫ p(x)dx e , ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ( ) ′ + = p x dx p x dx e y p x y q(x)e ( ) ( ) ∫ ∫ ( ) = ′ p x dx p x dx y(x)e q(x)e , ( ) ( ) y x e C q x e dx p x dx p x dx = + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ，或记为 ( ) ( ) y(x) e ( q(x)e dx C) p x dx p x dx = ∫ + −∫ ∫ 。 例 9.5 解方程 x x y dx x dy 1 sin + = 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 7 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 Sin x dx 解1: (C+∫ (C +sin x dx)=-(C-cos x) 解2:积分因子为e(hx x,两边同乘x,得x;+y=Slnx 即有(xy)=sinx,两边积分,xy=」 sin xdx+C 一般解为y=-(-c0Sx+C) y-y=sinx 例9.6微分方程 的解为。 丌 0 」dx 解y(x)=ex(C+∫ xsin xe x dx) y(x)=x(C+sin x dx)=x(c -cos x) 0,得到 丌丌 (C-0)=0,C=0 特解为y=- XCoSx 924贝努利方程 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 解 1: ) sin ( ) ( 1 1 e dx x x y x e C dx x dx x ∫ = + ⋅ −∫ ∫ ( sin ) 1 C x dx x ∫ = + ⋅ ( cos ) 1 C x x = − 。 解 2: 积分因子为 ，两边同乘 ,得 ( ) e x p x dx = ∫ x y x dx dy x + = sin . 即有( ) x y = sin x , 两边积分： ′ x y = ∫sin xdx + C 一般解为 ( cos ) 1 x C x y = − + 。 例9.6 微分方程 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ − = 0 2 sin 1 π y y x x x y 的解为 。 解： ( ) ( sin ) 1 1 y x e C x xe dx dx x dx x = + ∫ ∫ −∫ y(x) = x(C + ∫sin x ⋅dx) = x(C − cos x) 由 0 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛π y ，得到 ( 0) 0, 0 2 2 ⎟ = − = = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ y C C π π ， 特解为 y = −x cos x。 9.2.4 贝努利方程 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 8 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 方程.+p(x)y=q(x)y(n≠0,1 例97求解y+y= 2x 2y 2(y2)+-y 2 yy+y 令l!=y 得到一阶线性方程 21′+-l=x-,或:l+-、 dx+C) x2+c x 一般解法:用y除以方程两端将其化为 p(x)y=g(x) 当n 0. 阶线性方程 当n=1:可分离变量类型。 当n≠0,0F1时:方程化为 或y3+p(x)y=q(x) 这显然是关于少 的一个一阶线性方程显然可令l(x) n y·y,或记为 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼 电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 z 方程： n p x y q x y dx dy + ( ) = ( ) ( n ≠ 0,1) 例 9.7 求解 y x y x y 2 2 1 2 ′ + = ，n = −1。 1 2 2 2 y x x yy ′ + = ， 2 1 2 2 2( ) y x x y ′ + = ， 令 ，得到一阶线性方程 n u y y − = = 2 1 1 2 2 u x x u ′ + = ， 或： 2 2 1 2 x u x u ′ + = 。 ) 7 1 ( 1 ) 2 ( 1 2 7 2 x C x dx C x x x u = ∫ ⋅ + = + 。 一般解法： 用 除以方程两端将其化为, n y ( ) ( ) 1 p x y q x dx dy y n n + = − − ， 当n = 0 ：一阶线性方程 当n =1： 可分离变量类型。 当n ≠ 0,or 1时：方程化为： 或 ( ) ( ) 1 p x y q x dx dy y n n + = − − ， 这显然是关于 的一个一阶线性方程.显然可令 n y 1− n u x y − = 1 ( ) u x n y y n ′ = − ⋅ ′ − ( ) (1 ) ，或记为 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 9 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 Jy u(x y+p(x)yn=q(x),得到阶线性方程 l(x)+p(x)=g(x),或记成标准形 l(x)+(1-m)p(x)=(1-n)q(x) 例98解方程xy+xy=y 解:化为贝努利方程 y+=y 1三 2 令l=y,方程化为l2 l=x(C-∫ ax),得到l +Cx。 X 原方程的解为 +x y 2x 9.25可凑成复合函数微分形式的方程,积分因子 能凑全微分的部分先凑好;主要公式是 udv+rdu=(uv). ay va u 例99解方程ydx+(x-3x3y2)dhy=0 yx+(x-3x3y2)=0 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 10-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 ( ) 1 1 y u x n y n ⋅ ′ − ′ = ( ) ( ) 1 y y p x y q x n n ′ + = − − ，得到一阶线性方程 ( ) ( ) ( ) 1 1 u x p x u q x n ′ + = − ，或记成标准形 u ′(x) + (1− n) p(x)u = (1− n)q(x) 例 9.8 解方程 . 2 2 x y ′ + xy = y 解：化为贝努利方程: 2 2 1 1 y x y x y ′ + = ，n = 2， 令 ，方程化为 −1 u = y 2 1 1 x u x u ′ − = − ， ) 1 1 ( 2 dx x x u = x C − ∫ ，得到 Cx x u = + 2 1 。 原方程的解为 Cx y x = + 2 1 1 。 9.2.5 可凑成复合函数微分形式的方程, 积分因子 能凑全微分的部分先凑好；主要公式是 udv + vdu = d(uv), ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − u v d u udv vdu 2 例 9.9 解方程 ( 3 ) 0. 3 2 y dx + x − x y dy = 解: ( 3 ) 0 3 2 ydx + x − x y = 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 10 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
