2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 基础部分 第一课徹积分 第6章定积分的概念与计算 6.1定积分的概念与性质 定积分基本概念、方法与主要知识点 *概念:定积分作为和式的极限,积分中值定理,保序性与估值定理,定积分是一个数。 *方法:凑微分法,分部积分,回归法,变量替换,区间变换 *积分等式与不等式的证明。 6.1.1定义 定义6,1设函数(x)在有界闭区间[,b]上有定义,且有界,若 )任意分制区间[a,b]:取点列x,x2…,x 记Ax=x-x,= max, )任取5;∈[x12x]作和式 ∑∫(5,) 份)若限mnSn=1im∑f(5)x,=存在,且极限值与区间 →>0 →>0i=1 [a,b]分前的任意性和51∈[x1,x]取值的任意性无关则称面数f(x)在 区间[a,b]上可积,该极限值 alim S= lim 2f()Ax1=S称为函 →0 1→0 数∫(x)在区间c2b上的积分,记作 I(a, b)=of(rdx=lim S=s A→>0 a,b分别称为积分的下、上限,f(x)称为被积函数,x称为积分中闻变量,定积分的 值与积分中间变量的符号无关,即 ∫af(x)dx=∫bf(t)t 6.1.2 函数的可积性条件 定理6,1函数在有界闭区间[a,b]可积的必要条件,是函数f(x)在[a,b]上有 界 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -1-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 基础部分 第一课 微积分 第 6 章 定积分的概念与计算 6．1 定积分的概念与性质 定积分基本概念、方法与主要知识点 * 概念：定积分作为和式的极限，积分中值定理，保序性与估值定理，定积分是一个数。 * 方法：凑微分法，分部积分，回归法，变量替换，区间变换。 * 积分等式与不等式的证明。 6.1.1 定义 定义 6。1 设函数 f (x)在有界闭区间[a,b]上有定义, 且有界, 若: (1) 任意分割区间[a,b]: 取点列 : n x , x , , x 0 1 L 记∆ i = i − i−1 x x x , i i λ = max ∆x ; (2) 任取 [ , ] i i 1 i x x ξ ∈ − , 作和式 ∑ = = ∆ n i n i i S f x 1 (ξ ) . (3) 若 极 限 存 在 , 且 极 限 值与区间 分割的任意性和 S f x s n i n = ∑ i ∆ i = →0 →0 =1 lim lim (ξ ) λ λ [a,b] [ ] i i i x , x ξ ∈ −1 取值的任意性无关, 则称函数 f (x)在 区间 上可积, 该极限值 称为函 数 [a,b] S f x s n i n = ∑ i ∆ i = →0 →0 =1 lim lim (ξ ) λ λ f (x)在区间[a,b]上的积分, 记作 I a b f x dx S s n b f = a = = → ∫ 0 ( , ) ( ) lim λ a,b 分别称为积分的下、上限, f (x)称为被积函数, x 称为积分中间变量, 定积分的 值与积分中间变量的符号无关，即 ∫ = ∫ 。 b a b a f (x)dx f (t)dt 6.1.2 函数的可积性条件 定理 6。1 函数在有界闭区间[a,b]可积的必要条件:，是函数 f (x)在 上有 界。 [a,b] 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 1 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 定理6。2函数在有界闭区间a,b可积的充分条件(满足下列条件之一即可 f(x)在区间[a,b]上单调有界: ()f(x)在区间[a,b上有界,且只有有限个间断点; f(x)在区间[a,b]上连续 定积分定义在考研中的应用利用积分和式求特定极限(见后述例题) 6.1.3定积分的性质及常用结论 )∫af(x)ax=-f(x)lhx (2)对 积 分 区 间 的 可 性 Vc∈R,Jaf(x)dx=∫af(x)ax+∫bf(x)dx对被 积函数满足线性性 SalAf(x)+ Bg(x) ldx= a af(x)dx+bag(x)dx 保序性(保号性):若可积函数f(x)≥0,Vx∈[a,b],则 ∫af(x)dx≥0 若可积函数f(x)g(x)满足f(x)≥g(x),则 af(x)akx≥∫bg(x)ax. 特别,若非负连续函数f(x)在[a,b]上不恒为,则∫bf(x)dx>0 (3)若f(x)在[a,b]上可积则f(x)在[a,b]上也可积且 a f(x)dx a f(x)dx (估值定理:若可积函数f(x)在a,b]上满足m≤f(x)≤M,则 m(b-a)≤Jaf(x)ax≤M(b-a) 进一步,若函数8(x)[anb]上非负可积,则(称为比较性质 mg(x)dx≤jbf(x)g(x)dx≤M∫ag(x)dx G积分中值定理:若函数f(x)在[a,b连號,g(x)在[a,b]上取定号且 积 则5∈(a2b) 使 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 2-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 定理 6。2 函数在有界闭区间[a,b]可积的充分条件(满足下列条件之一即可) (1) f (x)在区间[a,b]上单调有界; (2) f (x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点; (3) f (x)在区间[a,b]上连续. 定积分定义在考研中的应用 利用积分和式求特定极限（见后述例题） 6.1.3 定积分的性质及常用结论 (1) ∫ = −∫ a b b a f (x)dx f (x)dx (2) 对积分区间的可加性: ∀ ∈ ∫ = ∫ + ∫ b c c a b c R, a f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx 对 被 积函数满足线性性: ∫ [ ] + = ∫ + ∫ b a b a b a Af (x) Bg ( x) dx A f ( x)dx B g ( x)dx 保序性（保号性）: 若可积函数 f (x) ≥ 0, ∀x ∈[a,b], 则 ∫ ( ) ≥ 0。 b a f x dx 若 可 积 函 数 f (x), g(x) 满 足 f (x) ≥ g(x) , 则 ∫ ≥ ∫ 。 b a b a f (x)dx g(x)dx 特别，若非负连续函数 f (x)在[a,b]上不恒为零， 则 ∫ ( ) > 0。 b a f x dx (3) 若 f (x)在[a,b]上可积, 则 f (x)在[a,b]上也可积, 且 ∫ ≤ ∫ b a b a f (x)dx f (x) dx (4) 估值定理: 若可积函数 f (x)在[ a , b ] 上满足m ≤ f (x) ≤ M , 则 m(b a) f (x)dx M (b a) b − ≤ ∫ a ≤ − 进一步, 若函数 g(x) 在[a,b]上非负可积, 则（称为比较性质） ∫ ≤ ∫ ≤ ∫ b a b a b m a g(x)dx f (x)g(x)dx M g(x)dx (5) 积分中值定理: 若函数 f (x)在[a,b]上连续, g(x) 在 上取定号且 可积, 则 [a,b] ∃ξ ∈(a,b), 使 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 2 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 f(xg(x)dx=f(ssag(x)d 特别 g(x)≡1时,彐5∈[a,b 使 bf(x)dx=f((b-a).或 f(x)dx 6-a b1(x)(平均值 事实上还可进一步证明彐50∈(an,b),使上述结论成立 )若f(x)在[一a,a]上是可积的奇函数则f(x)dhx=0 若f(x)在[—a,a]上是可积的偶函数 f(dx= 2of(x)dx (9)若f(x)是可积的周期函数,切周期为T,则对任意是实数a必有 f at f(xdx=o f(x )dx 0)若连续函数(x)满足∫f(x)dx=O,则存在x0∈(an,b)使得 f(x0)=0 (证明方法1:由中值定理;证明方法2:由连续函数的保号性) (11)若非负连续函数 f(x)是∫bf(x)lhx=0,则 Vx∈{a,b],f(x)≡0 (证明方法:由连续函数的保号性与积分的保号性反证 例6.1设 :1= Jasin(sin x dx, 1,=jacos(sin x ) dx, (A) )11>12 (C) (D) 解]当x∈(?′Sinx<x,且Sinx为增函敷,于是 sin(sin x)< sin x, 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -3-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 ∫ = ∫ b a b a f (x)g(x)dx f (ξ ) g(x)dx 特别, g(x) ≡ 1 时 , ∃ξ ∈[a,b], 使 f (x)dx f ( )(b a) b ∫ a = ξ − , 或 __________ [ , ] ( ) ( ) ( ) f f x b a f x dx a b b a = = − ∫ ξ （平均值） 事实上还可进一步证明 ( , ), ∃ξ 0 ∈ a b 使上述结论成立。 （8）若 f (x)在[−a,a]上是可积的奇函数, 则 ∫ ( ) = 0; − a a f x dx 若 f (x) 在 上 是 可 积 的 偶 函 数 , 则 。 [−a,a] ∫− = ∫ a a a f (x)dx 2 0 f (x)dx （9）若 f (x)是可积的周期函数, 切周期为T ，则对任意是实数 a 必有 ∫ = ∫ a+T T a f (x)dx 0 f (x)dx （10）若连续函数 f (x)满足 ∫ ( ) = 0 b a f x dx ，则存在 ( , ) x0 ∈ a b 使得 f (x0 ) = 0 。 （证明方法 1：由中值定理；证明方法 2：由连续函数的保号性） （ 11 ） 若非负 连续函 数 f (x) 满 足 ∫ ( ) = 0 ， 则 b a f x dx ∀x ∈[a,b], f (x) ≡ 0。 （证明方法：由连续函数的保号性与积分的保号性反证） 例 6．1 设 I = ∫0 2 x dx 1 sin(sin ) π ，I = ∫0 2 x dx 2 cos(sin ) π ，则 ( A ). （A） 1 1 2 I > I 。 （C） 1 2 I = I 。 （D） I1 > I 2 >1. [ 解 ] 当 ) 2 (0, π x ∈ ， sin x < x ， 且 sin x 为 增 函 数，于 是 sin(sin x) < sin x, 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 3 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 1,=asin(sin x dx Snx,于是 L,=Jacos(sin x dx >jacos xdx=1>l 例6.2估计积分e 的范围 解 max(x2-2x)=0.min x [0,2 [0,2 2e=eax≤l ≤leax=2 例6 设M=xln2(x+√1+x2) N=1-.,dx,P= x √1+x (1+x2) 则(A )BP0 P=-2 dx<O (1+x2) 所以P<M<N 6.2牛顿一莱布尼兹公式与定积分的计算 6.2.1牛顿一莱布尼兹公式及其应用 定理6。3牛顿一菜布尼兹公式 若f(x)是[a,b]上的连续函数,F(x)为f(x)在[a,b上的一个原 函数,则存在常数C,使F(x)=f(t)dt+C,Vx∈[a,b]或 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -4-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 I = ∫ 0 2 x dx 1 sin(sin ) π sin x ，于是 I = ∫ 0 2 x dx 2 cos(sin ) π 1 2 > ∫0 cos xdx =1 > I π 。 例 6．2 估计积分 ∫ 的范围. 2 − 0 2 2 e dx x x 解: [ ]( ) [ ] max 2 0, min( 2 ) 1 2 0,2 2 0,2 − = − = − ∈ ∈ x x x x x x ， 2 2 2 0 2 0 0 2 2 0 1 1 2 = ∫ ≤ ∫ ≤ ∫ = − − − e e dx e dx e dx x x 例 6 ． 3 设 M x ln (x 1 x )dx 1 2 2 = ∫−1 + + ， dx x x x N ∫− + + = 1 1 2 3 1 ， ∫− + − = 1 1 2 2 3 (1 ) 1 dx x x P ， 则(A) 。 (A)P + = ∫ x x dx N 0 (1 ) 1 2 2 2 1 0 < + = − ∫ dx x P 所以 P < M < N 。 6.2 牛顿—莱布尼兹公式与定积分的计算 6.2．1 牛顿—莱布尼兹公式及其应用 定理 6。3 牛顿—莱布尼兹公式 若 f (x)是[a,b]上的连续函数, F(x) 为 f (x)在 上的一个原 函数, 则存在常数C, 使 [a,b] F x f t dt C x ( ) = ∫a ( ) + , ∀x ∈[a,b]或 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 4 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 hf(x)bx=F(b)-C=F(b)-F(a)=F(x)。上述公 式称为牛顿一菜布尼兹公式特别还有 a f(r)dx=f(b)-f(a 牛顿一莱布尼兹公式使得定积分的计算转化为求不定积分问题,或求原函数问题。 利用牛顿一莱布尼兹公式,我们可以通过不定积分求的定积分的值 例6.4求x 解:x-1lx=(1-x)ax+/2(x-1) 2 注:对于分段定义的函数,定积分计算应特别注意分段积分。 例6.5求 Sinxax #: J 1-sin xdx=sosin -cos ldx X Se cos -sin dx+SI sin-cos dx 4√2-4. x-1x0块门f(x)dx. 解:解法f(x)在[-1,1区间内有第类间断点,因此在[一1,1区间内不存 在原函数,不能用牛顿一莱布尼兹公式.利用对区间的可加性有 I f(x)dx=o f(x)dx+5o f(x)dx 在[-1,0],[O,1内分别可以用牛顿莱布尼兹公式 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -5-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 b a b a f (x)dx F(b) C F(b) F(a) F(x) ∆ ∫ = − = − = 上述公 式称为牛顿—莱布尼兹公式.特别还有 f (x)dx f (b) f (a) b ∫a ′ = − 。 牛顿—莱布尼兹公式使得定积分的计算转化为求不定积分问题，或求原函数问题。. 利用牛顿—莱布尼兹公式，我们可以通过不定积分求的定积分的值。 例 6．4 求 ∫ − 。 2 0| x 1| dx 解: ∫ − = ∫ − + ∫ − 2 1 1 0 2 0 | x 1| dx (1 x)dx (x 1)dx 1 2 2 2 1 2 1 0 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − x x x x 注：对于分段定义的函数，定积分计算应特别注意分段积分。 例 6．5 求 1 sin . ∫0 − π xdx 解: ∫ − = ∫ − π π 0 0 2 cos 2 1 sin . sin dx x x xdx ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − π π π 2 20 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos dx x x dx x x = 4 2 − 4. 例 6．6 设 ⎩ ⎨ ⎧ + > − ≤ = 1 0 1 0 ( ) x x x x f x , 求 ∫ 。 − 1 1 f (x)dx 解: 解法一 f (x)在[−1,1]区间内有第一类间断点, 因此在[−1,1]区间内不存 在原函数, 不能用牛顿—莱布尼兹公式. 利用对区间的可加性有 ∫− = ∫− +∫ 1 0 0 1 1 1 f (x)dx f (x)dx f (x)dx 在[−1,0],[0,1]内分别可以用牛顿—莱布尼兹公式, 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 5 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 f(xdx= 2 f(x dx=0+x 0 故1f(x)dx=0 解法二f(x)是-1,1的奇函数 x)x=0 例6.7求 T(1+x)cos x 1+cosx T(1+x)cosx 解 n,x=202,dx 1+cos x 1+coS x d(sin x) l√2+ 2-sin' x 2√2-1 可以直接用凑微分法、换元法和分部积分法计算定积分。 6.22变量替换法 第 换元法的基本思路(凑微分方法) Sof(x)dx=f(b)f(a) af(o(x) '(x)dx=f(p(x)) 第二换元法的基本思路: f(x)hx=f(()·()t=F(()。其中 要求∫(x)与(t)连续,x=0(1)有反函数t=-(x),且 a=(a),b=(B) ∫f(x)ldx=F(x)+C 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 6-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 2 3 2 ( ) 0 1 2 0 1 ⎟ = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − ∫− x x f x dx ， 2 3 2 ( ) 1 0 2 1 0 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ = + x x f x dx 故 ∫ =0。 − 1 1 f (x)dx 解法二 f (x)是[−1,1]的奇函数, ∫− 1 1 f (x)dx =0. 例 6．7 求 dx x x x ∫ − + + 2 2 2 1 cos π (1 )cos π 。 解: dx x x dx x x x ∫ ∫ + = + + − 20 2 2 2 2 1 cos cos 2 1 cos π (1 ) cos π π 。 2 1 2 1 ln 2 1 2 sin (sin ) 2 20 2 − + = − = ∫ dx x π d x 可以直接用凑微分法、换元法和分部积分法计算定积分。 6.2.2 变量替换法 第 一 换元法的基本思路（凑微分方法 ） : f (x)dx f (b) f (a) b ∫a ′ = − b a b ∫ a f ′(ϕ(x))⋅ϕ′(x)dx = f (ϕ(x)) 第二换元法的基本思路: β α β f (x)dx α f (ϕ(t)) ϕ (t)dt F(ϕ(t)) b ∫ a = ∫ ⋅ ′ = 其 中 要 求 f (x) 与 ϕ′(t) 连续， x = ϕ(t) 有 反函数 ( ) 1 t x − = ϕ , 且 a = ϕ(α),b = ϕ(β )， ∫ f (x)dx = F(x) + C 。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 6 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 换 (a, b)=af(x)dx bf(xdx>J,f(x(O)x'(t)dt x-a 令t ∫af(x)ax→Jaf(x(1)x()t: 元法的重要应用之一是区间变换 d-d (d-c)+c, 还有反号变换:t=-x,倒数变换:t=。变 积 分 广泛用于积分的合并与拆分。 区 间 为特定目的的变换。 例6.8求二4 X 解:令l三一,∫-3 再令1=2sect,则du=2 tan sec tdt, 当4=3时t= arccos二,当l=4时 2 tan t sec t 2 4 2 4 arccos 2 tan t coSt arccos coS t 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -7-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 换 元 法 的 重 要 应 用 之 一 是 区 间 变 换 ： 以 改 变 积 分 区 间 为特定目的的变换。 例 6．8 求 ∫ − − − 3 4 2 x 4 dx 。 解: 令u = −x , ∫ − − − 3 4 2 x 4 dx = ∫ − 4 3 2 u 4 du . 再令u = 2sect , 则du = 2 tan sectdt , 当u = 3时 3 2 t = arccos ,当u = 4时 3 π t = , = − ∫ − − 3 4 2 x 4 dx ∫ = ∫ − 2 3 2 arccos 4 3 2 2 tan 2 tan sec 4 π dt t t t u du = ∫ 2 3 2 arccos 2 cos π cos dt t t = ∫ b I f (a,b) a f (x)dx f x dx f x t x t dt b a ( ) ( ( )) ( ) 1 0 ⇒ ′ ∫ ∫ ： 令 b a x a t ， − − = f x dx f x t x t dt d c b a∫ ( ) ⇒ ∫ ( ( )) ′( ) ： 令 d c c b a x a t − + ， − − = ( ) 还有反号变换：t = −x，倒数变换： x t 。1 = 广泛用于积分的合并与拆分。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 7 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 d sin t 2 arccos(1-sint 1+sint 再令y=Snt(可直接利用决微分法) sin t arccos- sint 1+sint 1+l|2 av=-n 1+ 21 3 ln(2+√3)-ln(3+√5)+ln2 例69设f(x)-cos2x=/af(2x)kx 求a2f(x)k 解记浮f(x)dx=1,再2x=l,则dx=dm, /(2x)k=/(u uRdu 对等式f(x)-cos2x=(f(2x)d两边取积分得到 丌 x -coS x 1-」86cos2xbx= 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -8-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − = 2 3 2 arccos sin 1 sin 1 1 sin 1 2 1 π d t t t 再令 y = sin t （可直接利用凑微分法）, ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − 2 3 2 arccos sin 1 sin 1 1 sin 1 2 1 π d t t t 2 3 3 5 2 3 3 5 1 1 ln 2 1 1 1 1 1 2 1 u u dy y y − + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − = ∫ = ln(2 + 3) − ln(3 + 5) + ln 2 。 例 6．9 设 ( )− = ∫ 4 ( ) 0 2 cos 2 π f x x f x dx ， 求 ∫ 2 ( ) 0 π f x dx 。 [解] 记 ∫ 2 f ( ) x dx = I 0 π ，再令2x = u ，则dx du 2 1 = ， ∫ 0 4 ( ) 2 = π f x dx f ( ) u du I 2 1 2 1 2 ∫ 0 = π 。 对等式 ( )− = ∫ 4 ( ) 0 2 cos 2 π f x x f x dx 两边取积分得到, ( ) dx I I f x x dx 2 4 [ cos ] 20 20 π 2 π π ∫ − = ∫ = . 即 I xdx I 4 2 cos 0 π 2 π − ∫ = ， 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 8 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 丌丌 故-I=c0s2xdx= 224 因此Ⅰ=∫3f(x)dx= 4-丌 例6.10设∫(x)是0,1上的连续函数,则(D)。 () Joxf(sin x dx=Jof(sin x)dx ()」xf(sinx)dx=2」f(sinx)dx, (c)Joxf(sin x )dx sinx)ax, (D)Joxf(sin x) dx =Jo f(sin x ) dx [解]令xX三丌一t roxf(sin x dx=-jr(T-tf(sint )dt -Joff (sint ) dt+rJo f(sint)dt 移项得知答案为D 6.2.3分部积分法 设f(x)与g(x)在[a,b]连续,F(x)为f(x)在[a,b]上的一个原函 数,则 f(x)g(x)=F(x)g(x)。-F(x)(x)例 求11nxdx 解:∫nxdx=xnxi-fxd(nx) e ri dx 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 9-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 故 I − I = ∫0 2 xdx 2 cos 4 π π 2 2 4 1 π π = ⋅ = , 因此 I = ∫ 0 2 f (x)dx = π π π 4 − 。 例 6.10 设 f (x) 是[0, 1]上的连续函数, 则（ D ）。 (A) ∫ = ∫ π π 0 π 0 xf (sin x)dx f (sin x)dx , (B) ∫ = ∫ π π 0 π 0 xf (sin x)dx 2 f (sin x)dx , (C) ∫ = ∫ π π π 0 0 (sin ) 2 xf (sin x)dx f x dx , (D) ∫ = ∫ π π π 0 0 (sin ) 2 xf (sin x)dx f x dx [解] 令 x = π − t, dx = −dt ， ∫ = −∫ − 0 0 (sin ) ( ) (sin ) π π xf x dx π t f t dt = −∫ + ∫ π π 0 π 0 tf (sin t)dt f (sin t)dt ， 移项得知答案为 D。 6.2.3 分部积分法 设 f (x)与 g ′(x)在[a,b]连续，F(x) 为 f (x)在 上的一个原函 数，则 [a,b] ∫ ∫ = − ′ b a b a b a f (x)g(x)dx F(x)g(x) F(x)g (x)dx 例 6．11 求 ∫ e e xdx 1 ln . 解: ∫ = − ∫ ( ) e e e e e e 1 ln xdx x ln x 1 1 xd ln x e dx e e e e 1 2 ⎟ − 1 = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − ∫ 。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 9 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 例6.12证明Sin"xax=∫c0s”xdbx,并求 U=fe sin"xdx 证:令X-2 U=fcos"tdt=fe cos"xdx In=asin"xdx=J"xd(cos x) -sin"-x cos x(2+(n-1)2 sin -x cos'xdx (n-1)( 初值: n 注:上述结果称为积分的递推公式,常用递推公式有一步递推或二步递推格式,应指出的是, 以递推公式表示积分结果,必须给出初值,一步递推格式需有一步初值,二步递推格式需有 二步初值,才能构成完备的计算格式 上述结果可归纳得到下述实用形式 (2n-1)! (2n)! 2 (2n)!2 (2n+1)! SIn x COS x +sin x 例63= 8 丌 415830 由对称性与积分概念,立即得知答案 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 10-清华大学理科楼101电话:6278178
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 例 6 ． 12 证 明 ∫ 20 sin π xdx n = ∫ 20 cos π xdx n ，并求 = ∫ 20 sin π J xdx n n 。 证：令 x = − t 2 π ， = −∫ 0 cos π J tdt n n 2 = ∫ 20 cos π xdx n 。 = ∫ = ∫ − − 20 1 20 sin sin ( cos ) π π I xdx xd x n n n ( 1)( ) sin cos ( 1) sin cos 2 20 2 2 2 0 1 n n n n n I I x x n x xdx = − − = − + − − − − ∫ π π 2 1 − − n = n I n n I ，（n = 2,3,L），初值： , 1 2 J 0 = J1 = π 。 注：上述结果称为积分的递推公式，常用递推公式有一步递推或二步递推格式，应指出的是， 以递推公式表示积分结果，必须给出初值，一步递推格式需有一步初值，二步递推格式需有 二步初值，才能构成完备的计算格式。 上述结果可归纳得到下述实用形式： 1 (2 1)!! (2 )!! , (2 )!! 2 (2 1)!! 2 2 1 ⋅ + ⋅ = − = + n n I n n I n n π （n = 1,2,3,L）。 例 6.13 = − + = ∫ dx e e x I x x 20 sin cos 5 8 π sin （ ） 。 (A) 4 π 。(B) 15 1 。(C) 8 π 。(D) 30 1 。 由对称性与积分概念，立即得知答案 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 10 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
