2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 青华大学理科楼1101电话:62781785 基础部分 第一课微积分 第8章广义积分阶段综合问题 8.1广义积分的定义及收敛性 定积分研究的问题:有界函数在有界区间上的积分 广义积分研究的问题:有界函数在无界区间上的积分(第1类).无界函数在有界区间上的 积分(第2类)。 定义81(第一类广义积分)设函数f(x)在2+∞)内的任意有限区间可积,并且极限 imnf(x)d水x存在,则称f(x)在[a,+0)广义积分收敛其广义积分为 A f(x)x= lim af(x)hx,若不收做则称广义积分发散 A→)+∞ 定义8.2(第二类广义积分)设函数f(x)在[a,b)内的任意有限闭子区间可积,并且极限 im2f(x)d存在,则称f(x)在[a,b)上的广义积分收做其义积分为 B→>b rof(xdx= lim of(x)da B→b 同样我们可以定义其它广义积分的收敛性: oo f(x)dx= lim 4 f(x)dx A→>-0 rof(x)dx=lim f(x)dx A→a 82收敛性的判断准则 821第一类广义积分收敛性的判断准则 准则8.1若第一类广义积分 f(x)ldx收做则f(x)dx-定收此时 称 x)ax绝对收敛 当力f(x)Qx收做,而f(x)d方发歉时称广义积分条件收敛 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -1-清华大学理科楼1101电话:6278178
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 基础部分 第一课 微积分 第 8 章 广义积分 阶段综合问题 8.1 广义积分的定义及收敛性 定积分研究的问题: 有界函数在有界区间上的积分. 广义积分研究的问题: 有界函数在无界区间上的积分（第 1 类）.无界函数在有界区间上的 积分（第 2 类）。 定义 8.1 (第一类广义积分)设函数 f (x) 在[a,+∞) 内的任意有限区间可积,并且极限 ∫ 存在, 则称 →+∞ A a A lim f (x)dx f (x) 在[a,+∞)广义积分收敛,其广义积分为 ∫ ∫ →+∞ +∞ = A a A a f (x)dx lim f (x)dx ，若不收敛,则称广义积分发散。 定义8.2 (第二类广义积分)设函数 f (x) 在[a,b)内的任意有限闭子区间可积, 并且极限 ∫ → − B a B b lim f (x)dx存在, 则称 f (x) 在[a,b)上的广义积分收敛,其广义积分为 ∫ ∫ → − = B a B b b a f (x)dx lim f (x)dx 。 同样我们可以定义其它广义积分的收敛性: ∫ ∫ →−∞ −∞ = a A A a f (x)dx lim f (x)dx , ∫ ∫ 。 → + = b A A a b a f (x)dx lim f (x)dx 8.2 收敛性的判断准则 8.2.1 第一类广义积分收敛性的判断准则 准则 8.1 若第一类广义积分 ∫ +∞ a f (x) dx 收敛,则 ∫ +∞ a f (x)dx 一定收敛, 此时 称 ∫ 绝对收敛. +∞ a f (x)dx 当 ∫ 收敛，而 +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a f (x) dx 方发散时,称广义积分条件收敛. 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 1 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 青华大学理科楼1101电话:62781785 准则8.2(比较法)非负函数0≤f(x)≤g(x),x∈[a,+∞),若 dg(x)x收敛,∫(x)x一定收敛;若∫(x)dx发散 g(x)dx-定发散 准则8.3设f(x),g(x)[a,+0)内的任意有限区间可积,g(x)非负,且 ,则 X→)+∞ gx )当≠O时,广义积分f(x)dx与8(x)dx有相同的敛散性 )当=0时,广义积分8(x)dx收敛则[f(x)dx收敛 当几=∞时,广义积分f(x)dx收敛则g(x)dx收敛 准则84∫一ndx(a>0当P>1时收敛:当p≤1时发散因此,若 limx"f(x)=λ≥0,且Pp>1则∫f(x)dx收敛 x→)+∞ XInx 例81判断x。x的收敛性 x3+1 nx 解:由Im =0,存在X>0,使得当x>X>0时,1nx1,由直接比较法,收斂 x3+1 x°+1 + arctan x 例8.2判断 dx的收敛性 x√x2+x+1 解:与∫2比较由极限比较法收敛 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼101电话:6278178
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 准 则 8.2 (比较法)非负函数 0 ≤ f (x) ≤ g(x), x ∈[a,+∞) , 若 ∫ 收 敛 , 一定收 敛 ; 若 +∞ a g(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a f (x)dx 发 散 , ∫ 一定发散. +∞ a g(x)dx 准 则 8.3 设 f (x), g(x) [a,+∞) 内的任意有限区间可积, g(x) 非负, 且 = λ →+∞ ( ) ( ) lim g x f x x , 则 (1) 当λ ≠ 0时, 广义积分 ∫ 与 +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a g(x)dx 有相同的敛散性; (2) 当λ = 0 时, 广义积分 ∫ 收敛则 +∞ a g(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx 收敛; (3) 当λ = ∞时, 广义积分 ∫ 收敛则 +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a g(x)dx 收敛. 准则 8.4 dx x a p ∫ +∞ 1 (a > 0) 当 p > 1时收敛;当 p ≤1时发散.因此，若 lim ( ) = ≥ 0,且 ,则 →+∞ x f x λ p x p > 1 ∫ +∞ a f (x)dx 收敛。 例 8.1 判断 dx x x x ∫ +∞ + 1 5 1 ln 的收敛性. 解: 由 0 ln lim 3 = →+∞ x x x ，存在 X > 0，使得当 x > X > 0 时， 3 ln x + < + p x x x x x x ，由直接比较法，收敛. 例 8.2 判断 dx x x x x ∫ +∞ + + 1 2 1 arctan 的收敛性. 解: 与 dx x ∫ +∞ 1 2 1 比较，由极限比较法，收敛. 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 2 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 青华大学理科楼1101电话:62781785 例8.3判断 xP1n2的收敛性 x P →>0(x→>+∞),因此P>1时 xP x In x dx x"Jn2,收斂 B dx P=1时, =im e xIn- x B→+∞ In x P<1时,与/ar 比较 可知Im 因此答案为P≥1时收敛,p<1时发散 822第二类广义积分收敛性的判断准则 准则7.6若第二类广义积分!f(x)dx收敛,f(x)dx一定收敛,此时称 hf(x)d绝对收敛,f(x)dx收敛而!f(x)d方发散则称广义积分 条件收敛 准则8.6(比较法)非负函数0≤f(x)≤g(x),x∈[a,b),若 g(x)x收敛,(f(x)dx 定收敛;若 hf(x)x发散 ro g(x)dx 定发散 准则8.7函数f(x),g(x)在[a,b内的任意区间上可积,g(x)非负,且 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 3-清华大学理科楼1101电话:6278178
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 例 8.3 判断 ∫ +∞ e p x x dx 2 ln 的收敛性. 解 : = → ( ) x → +∞ x x x x p p 0 ln 1 ln2 2 ， 因 此 p > 1 时 ∫ +∞ e p x x dx 2 ln 收敛. p = 1时， ∫ +∞ →+∞ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ e = − B B e x x x dx 1 ln 1 lim ln2 ， p < 1时，与 ∫ +∞ e x dx 比较， 可知 x n x p x 1 2 1 lim − →+∞ = +∞ ， 因此答案为： p ≥ 1时收敛， p < 1时发散。 8.2.2 第二类广义积分收敛性的判断准则 准则 7.5 若第二类广义积分 ∫ b a f (x) dx 收敛, 一定收敛, 此时称 绝对收敛. 收敛而 ∫ b a f (x)dx ∫ b a f (x)dx ∫ b a f (x)dx ∫ b a f (x) dx 方发散,则称广义积分 条件收敛. 准 则 8.6 ( 比 较 法 ) 非 负 函 数 0 ≤ f (x) ≤ g(x), x ∈[a,b) , 若 收敛, 一定收敛; 若 发散, 一定发散. ∫ b a g(x)dx ∫ b a f (x)dx ∫ b a f (x)dx ∫ b a g(x)dx 准则 8.7 函数 f (x), g(x) 在[a,b) 内的任意区间上可积, g(x) 非负, 且 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 3 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 青华大学理科楼1101电话:62781785 lim f(x) abg(x) ()当≠0时,广义积分!f(x)d与g(x)x有相同的效散性 2)当=0时,广义积分8(x)dx收敛则J0f(x)d收敛 (当2=时,广义积分f(x)收敛则g(x)dx收做 准则(x-=b 例89判断广义积分6dx的收敛性 √Snx 解: 0 √Snx x+「x.dx, SInx z√sinx 第一个积分显然收敛,对第二个积分令x-丌=t,dx=dt, ∫z-dhx 丌 at=8-.ax,收敛 vinx 2 sin t sInx co arctan x 例8.10讨论」0 的收敛性 + arctan x 0 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 4-清华大学理科楼 电话:6278178
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 = λ → − ( ) ( ) lim g x f x x b , 则 (1) 当λ ≠ 0时, 广义积分 ∫ 与 有相同的敛散性; b a f (x)dx ∫ b a g(x)dx (2) 当λ = 0 时, 广义积分 ∫ 收敛则 收敛; b a g(x)dx ∫ b a f (x)dx (3) 当λ = ∞时, 广义积分 ∫ 收敛则 收敛. b a f (x)dx ∫ b a g(x)dx 准 则 8.8 dx x b b a p ∫ ( − ) 1 当 p < 1 收 敛 ， p ≥1 时 发散. 因 此 ， 若 lim( − ) ( ) = ≥ 0 → − x b f x λ p x b ,且 p <1,则 ∫ 收敛。 b a f (x)dx 例 8.9 判断广义积分 dx x ∫ π 0 sin 1 的收敛性. 解: dx x ∫ π 0 sin 1 dx x dx x = ∫ + ∫ π π π 2 20 sin 1 sin 1 ， 第一个积分显然收敛，对第二个积分令 x − π = t, dx = dt ， dx x dt t dx x ∫ = −∫ = ∫ 20 0 2 2 sin 1 sin 1 sin 1 π π π π ，收敛. 例 8.10 讨论 dx x x p ∫ +∞ 0 arctan 的收敛性. 解: dx x x p ∫ +∞ 0 arctan 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 4 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 青华大学理科楼1101电话:62781785 arctan ar ctan x ∫=dx+1=n"dx xX arctan 对第一个积分, 与 等价(x→>0 11时第二个积分收敛。综合上述分析,10,若 dx=∫ ,则a 1+x 1+x 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 5-清华大学理科楼 电话:6278178
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 dx x x p = ∫ 1 0 arctan dx x x p ∫ +∞ + 1 arctan 对 第一个 积分， p x arctan x 与 1 1 p− x 等 价 （ ） ， 收敛. x → 0 p −1 = − →+∞ p q p q x x p q x 2 0 arctan lim π 因此，当 p ≥ q > 1时第二个积分收敛。综合上述分析，1 0,若 ∫ ∫ +∞ + = + a a dx x dx x 0 2 2 1 1 1 1 ,则a = 。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 5 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 青华大学理科楼1101电话:62781785 解: arctan a= arctan a arctan +o arctan x 例8.13计算 x2=- 鄘:∫+ arctan x arctan xd() arctan1+∫1° x(1+x lim Ji( )ds 4b→)+x1+x + lim In b 4b 3h(1+b2)+1n2 +-n2 42 「+o 例8.141 Xix t sect. tan t dt=12dt=或令x=一,用 sect. tan t 凑微分法 则 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -6-清华大学理科楼1101电话:6278178
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 解: a arctan a 2 arctan = − π ， , 1 4 arctan a = a = π . 例 8.13 计算 ∫ +∞ 1 2 arctan dx x x . 解: ) 1 arctan ( arctan ∫ 1 2 ∫1 +∞ +∞ = − x dx xd x x ∫ +∞ +∞ + = − 1 + 1 2 (1 ) 1 1 dx x x arctanx x dx x x x b b ) 1 1 lim ( 4 1 2 + = + ∫ − →+∞ π ln 2] 2 1 ln(1 ) 2 1 lim [ln 4 2 = + − + + →+∞ b b b π ln 2 2 1 4 = + π 例 8.14 ∫ +∞ = − 1 2 x x 1 dx 。 ∫ ∫ ∫ +∞ = = = ⋅ ⋅ = − 1 2 0 2 0 sec 2 sec tan 2 sec tan 1 π π π dt dt t t t t x x dx x t 或令 t x 1 = ，用 凑微分法 则 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 6 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 青华大学理科楼1101电话:62781785 t x√x dt= arcsin 丌 例8.15广义积分 答案:-- arccose 解:取变换e三SeCt,则 x=In(sect), e dx= sect tan tdt tan t =∫ arccos e= arcsine例8.16计算 arccose tan t 广义积分xln"xdx [解]采用分部积分,即有 Ⅰ.=-x2lnn nIn"x.dx 2 2 2 或 8.3阶段复习综合问题 定积分定义在考研中的应用用于求特定极限 运用定积分求极限常用公式为 b-a b-a lim∑f(a+k) b f(x)ds n k=1 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 7-清华大学理科楼 电话:6278178
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 ∫ ∫ − − = − +∞ 0 1 2 2 1 2 ) 1 ( 1 1 1 dt t t t x x dx ∫ = = − = 1 0 2 0 2 1 arcsin 1 1 π dt t t . 例 8.15 广义积分 = − ∫ +∞ 1 2 1 x e dx . 答案： 1 arccos 2 − − e π . 解: 取变换e t ，则 x = sec x t e dx t tdt x = ln(sec ), = sec tan ， 1 1 2 arccos arccos arcsin tan 2 tan 1 − − = ∫ − dt = − e = e t t I e π π 例 8.16 计算 广义积分 x xdx 。 n ∫ 1 0 ln [解] 采用分部积分，即有 1 1 0 2 1 1 0 2 2 1 ln 2 1 ln 2 1 − − = − ∫ ⋅ = − n n n n I n dx x I x x x n x 2 1 2 ( 1) ! 2 1 2 − + − ⎟ = = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − n n n n I n n L . 或 1 1 2 , 4 1 = − n = − n− I n I I 。 8.3 阶段复习综合问题 定积分定义在考研中的应用 用于求特定极限 运用定积分求极限常用公 式 为 ∑ = ∫ − + − →∞ = b a n k k f x dx n b a f a n b a lim ( ) ( ) n 1 。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 7 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 青华大学理科楼1101电话:62781785 6-a 其中 k=f(s) △ 例8.17求极限Im 答案:一。(清华大学考研辅导班2004强化班例题 巛n! 解]记yn 则 巛n! y 1=-∑lnk-lnn, n n k=l 或记为 nyn=-(∑lnk nInn =-2(Ink-Inn) n k= n k=l I n k 1k=1n k 极限 im In y=lim-2n-等于广义积分∫h的值, n→)0 n→>nk=1n k-1k 相应于将区间[O,12分剩成 ](k=1,2,…,n)的积分和式的极限 n n 且积分和式中的 注意到广义积分∫nxx为第二类广义积分,并且收敵,于是 limIn y n→0 k xdx no n k=l n 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 8-清华大学理科楼1101电话:6278178
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 其中 ( ) k k f n b a = ξ − ， k x n b a = ∆ − 。 例 8.17 求极限 n n n ! lim n→∞ 。答案： e 1 。（清华大学考研辅导班 2004 强化班例题） [解] 记 n n y n n ! = ，则 k n n n n y n k n n ln ln ! 1 ln ln 1 = = ∑ − = ， 或记为 ( ln ln ) 1 ln 1 k n n n y n k n = ∑ − = (ln ln ) 1 1 k n n n k = ∑ − = ∑ = = n k n k n 1 ln 1 ， 极限 n n limln y →∞ ∑ →∞ = = n n k n k n 1 ln 1 lim 等于广义积分 的值， ∫ 1 0 ln xdx 相应于将区间[0,1]分割成 , ] ( 1,2, , ) 1 [ k n n k n k = L − 的积分和式的极限， 且积分和式中的 n k f k (ξ ) = ln 。 注意到广义积分 ∫ 为第二类广义积分，并且收敛，于是 1 0 ln xdx n n limln y →∞ ∑ →∞ = = n n k n k n 1 ln 1 lim = ∫ 1 0 ln xdx 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 8 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 青华大学理科楼1101电话:62781785 X-x 所以Imy n→) n→>01 类似方法可以计算 k丌 lim 3-n lo sinad=2 SIn n->∞k=1 k k 其中△x k ,Snsk=Sln-。请看2004年考题 2 (2004-209) lim Ina 1+ 1+ n→)0 等于[B] (A)JIn xdx. (B)2 Inxdx (C)2n(1+x)a.(OD)n2(1+x) limIn/1+ 1+ n→)0 lim=ln1+-‖1+ n→on k 2lim-∑ln1+ n→nk=1 250In(1+x)dx=25iIn tdt=(B) 22In* tdt=4In*2-8In2+4 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼 电话:6278178
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 ( ln ) 1 1 0 = x x − x = − ， 所以 n n y →∞ lim = = →∞ n n n ! lim n e 1 。 类似方法可以计算 π π π 2 sin 1 sin lim 1 0 1 = = + ∑ ∫ →∞ = xdx k n n k n n k 。 其中 n k k xk k π , sinξ sin 1 ∆ = = 。请看 2004 年考题： （2004-209） n n n n n n 2 2 2 1 2 1 1 limln 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + →∞ L 等于 [B] ( ) Α ∫ 2 1 2 ln xdx. (Β) ∫ 2 1 2 ln xdx. ( ) ∫ ( + ) 2 1 C 2 ln 1 x dx. ( )∫ ( + ) 2 1 2 D ln 1 x dx. n n n n n n 2 2 2 1 2 1 1 limln 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + →∞ L ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + →∞ n n n n n n 1 2 1 1 ln 1 2 lim L ∑ →∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + n n k n k n 1 ln 1 1 2 lim = ∫ ( ) + 1 0 2 2 ln 1 x dx = ∫ 2 1 2 2 ln tdt = (B)。 2 ln 4ln 2 8ln 2 4 2 2 1 2 = ∫ tdt = − + 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 9 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 青华大学理科楼1101电话:62781785 例8.18设 n(x+1)x"+1√1+x"dx,则 glim na=[Bl n→00 1.a1(1+-)32 3/2 (C)(1+-)32+1 (D)(1+e) 解:积分得 n/( m)(1+x")2d(1+x") 2 (1+x”)32+1-[(+(,)") 0 n 取极限得 lmn0nn→>o imn1(n.y2-1=(1+)y2-1l8已 →) n+1 知f(e)=xe-x,且1)0.则 f(x)--(In x 【分析】先求出 的表达式,再积分即可 【解】令已=t,则X=lnt,于是有 n t nx nx 积分得f(x)=∫dx=(lnx)2+C.利用初始条件 f(1)=0,得C=0,故所求函数为 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 例 8.18 设 ∫ + − = + ( 1) 0 1 1 2 3 n n n n an x x dx ，则 = [ B ]。 →∞ n n lim na (A)(1 ) 1。 (B) 3/ 2 + e + ) 1 1 (1 3/ 2 + − e 。 (C) ) 1 1 (1 3 / 2 + + e 。 (D)(1 ) 1。 3/ 2 + e − 解: 积分得 (1 ) (1 ) 1 2 3 /( 1) 1 2 0 n n n n n x d x n a = ⋅ ∫ + + + = 1 0 3/ 2 (1 ) 1 + n+ n n x n = ) ) 1] 1 [(1 ( 1 3 / 2 − + + n n n n 取极限得 ) 1 1 ) ] 1 (1 1 lim lim[1 ( 3 / 2 3 / 2 − = + − + = + →∞ →∞ n e n na n n n n 例 8.19 已 知 ，且 f(1)=0, 则 x x f e xe− ′( ) = f (x)= 2 (ln ) 2 1 x . 【分析】 先求出 ) 的表达式，再积分即可。 t x = f ′ ( x 【解】 令e ，则 x = lnt ，于是有 t t f t ln ′( ) = ， 即 . ln ( ) x x f ′ x = 积分得 dx x C x x f x = ∫ = +2 (ln ) 2 ln 1 ( ) . 利 用 初始条件 f ( ) 1 = 0, 得 C=0，故所求函数为 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 10 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785