2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 基础部分 第一课微积分 第1章预备知识函数概念数列极限 1.1绝对值与基本不等式 1.1.1绝对值 y=x是一种函数表达形式,对任意实数x有 x0 对任意实数x与a≥0有:x≤a-a≤x≤a,并且,若a=0 则必有x=0。而 ≥ax≥a或x≤-a 1.1.2基本不等式 (1)绝对值不等式:-xs0≤x+(x≤2x (2)三角不等式比x,y∈R,有x+川sx+y且kx-y≥|x-p (3)平均值不等式:Vx,y∈R,有(x2+y2)≥xy 若x≥0,y≥0,则有(x+y)≥√x (4)对任意实数x∈[0,=)有 sinx 0} 邻域内的点是由不等式x0-80} 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:6278178
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 基础部分 第一课 微积分 第 1 章 预备知识 函数概念 数列极限 1.1 绝对值与基本不等式 1．1．1 绝对值 y = x 是一种函数表达形式，对任意实数 x 有 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = − 。 邻域内的点是由不等式 − δ 。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 1 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 去心邻域与邻域的区别仅在于不包括x0点。 区间 开区间(a,6)={aa,x∈R,la,+)={x≥a,x∈R} (∞,b)={x<b,x∈},(a+={xsb,x∈ (-0,0)=pxx∈R 1.3函数 函数关系与函数的初等性质对学习数学是重要的基础。函数关系表达了变量之间某种特 定的依赖关系,有时可以看作变量之间的对应关系 定义1.2对实数集X中的任意x,按某一确定的规则,若有唯一确定的实数值y与之对 应,则称y是x的函数,记为y=∫(x)。 这里,重要的是函数关系∫(),而记号x(自变量)与y(因变量)是人为取定的。实 数集X应视为使函数关系∫(有意义的全体实数构成的集合,称为f()的定义域;而对 切由∫(确定的全体实数构成的集合Y,则称之为∫()的值域。函数关系∫()有时也记 为∫:X→Y,XcR,或∫:X→R,X≤R。 在微积分这门课程里,对一个函数的表达,除了用代数表达式及图表以外,还会有许多 重要的表达方式,比如,一个函数关系可以由方程(隐函数)、(含参数)极限、微分方程、 积分、级数等手段来表达。 1.4函数的初等性质 掌握函数的初等性质对微积分的学习至关重要。函数的初等性质包括以下几个方面。 1.4.1增减性(单调性 定义1.3设函数y=f(x)定义域为X,若ⅵx1,x2∈X,当x1<x2时有 f(x1)≤∫(x2),则称y=∫(x)在X上为增函数(非严格),而当x1<x2时有 f(x1)<∫(x2),则称y=∫(x)在X上为严格单调增函数。 类似可给出单凋减函数的定义 判断增减性的初等常用方法是减法,当函数在定义域上取得定号(取值不改变正负号) 时,也可用除法判断増减性。当然,用导数研究函数的增减性将是一类重要方法。 1.4.2奇偶性 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:6278178
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 去心邻域与邻域的区别仅在于不包括 点。 x0 区间 开区间(a, b) = { } x a a, x ∈ R ， [a,+∞) = {x x ≥ a, x ∈ R} (−∞,b) = { } x x < b, x ∈ R ，(a,+∞] = {x x ≤ b, x ∈ R} (−∞,+∞) = { } x x ∈ R 1．3 函数 函数关系与函数的初等性质对学习数学是重要的基础。函数关系表达了变量之间某种特 定的依赖关系，有时可以看作变量之间的对应关系。 定义 1.2 对实数集 X 中的任意 x ，按某一确定的规则，若有唯一确定的实数值 y 与之对 应，则称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x) 。 这里，重要的是函数关系 f (⋅) ，而记号 x（自变量）与 y（因变量）是人为取定的。实 数集 X 应视为使函数关系 f (⋅) 有意义的全体实数构成的集合，称为 f (⋅) 的定义域；而对一 切由 f (⋅) 确定的全体实数构成的集合Y ，则称之为 f (⋅) 的值域。函数关系 有时也记 为 ，或 。 f (⋅) f : X → Y , X ⊆ R f : X → R, X ⊆ R 在微积分这门课程里，对一个函数的表达，除了用代数表达式及图表以外，还会有许多 重要的表达方式，比如，一个函数关系可以由方程（隐函数）、（含参数）极限、微分方程、 积分、级数等手段来表达。 1．4 函数的初等性质 掌握函数的初等性质对微积分的学习至关重要。函数的初等性质包括以下几个方面。 1．4．1 增减性（单调性） 定义 1.3 设函数 y = f (x) 定义域为 X ，若∀x1 , x2 ∈ X ，当 1 2 x < x 时有 ( ) ( ) 1 2 f x ≤ f x ，则称 y = f (x) 在 X 上为增函数（非严格），而当 1 2 x < x 时有 ( ) ( ) 1 2 f x < f x ，则称 y = f (x) 在 X 上为严格单调增函数。 类似可给出单凋减函数的定义。 判断增减性的初等常用方法是减法，当函数在定义域上取得定号（取值不改变正负号） 时，也可用除法判断增减性。当然，用导数研究函数的增减性将是一类重要方法。 1．4．2 奇偶性 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 2 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 定义1.生设函数y=∫(x)在对称的定义域内满足∫(-x)=∫(x),则称y=∫(x)为偶函 数。而当函数y=∫(x)在对称的定义域内满足∫(-x)=-f(x)时,则称y=∫(x)为奇 数 广义奇偶性(偶对称与奇对称) 若y=f(x)的图形有对称轴x=a,则应有f(a-x)=∫(a+x)(将视为参数), 令g(x)=∫(a-x),则有g(-x)=∫(a+x)=∫(a-x)=g(x), 因此g(x)为偶函数 若y=f(x)的图形有对称中心(a,0),则应有∫(a-x)=-f(a+x)(将视为参数), 令g(x)=f(a-x),则有g(-x)=∫(a+x)=-f(a-x)=-g(x), 因此g(x)为奇函数。以上这种性质称为函数∫(x)的广义奇偶性或对称性 1.4.3周期性 定义1.5若存在一个正数T,使函数y=∫(x)在定义域内满足f(x+T)=f(x),则称 y=∫(x)为周期函数。这里的正数T对一个周期函数来说不是唯一的(事实上有无穷多), 般情况下,称其中最小正数称为周期。 1.4.4有界性 定义1.6设函数y=f(x)在X上有定义,若存在一个正数M使得对任意x∈X有 f(x)sM,则称函数y=f(x)在X上有界 对函数的有界性,后面还将给出其他情况下的一些描述。这类描述是重要的。 1.5复合函数 函数的常见表达形式包括显函数表达式,隐函数表达式,以及参数表达式。其中核心问 题是复合函数的概念。复合函数实质上是一种链锁函数关系 定义1.7设X,Y,UcR,复合函数关系是指 g:X→U,即=g(x) 这里称y=∫(g(x)为x的复合函数 一般讲,=g(x)的值域为y=∫(u)定义域的一个非空子集,在特定情况下, l=g(x)的值域恰为y=∫(an)的定义域 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:6278178
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 定义 1.4 设函数 y = f (x) 在对称的定义域内满足 f (−x) = f (x) ，则称 为偶函 数。而当函数 在对称的定义域内满足 y = f (x) y = f (x) f (−x) = − f (x) 时，则称 为奇函 数。 y = f (x) 广义奇偶性（偶对称与奇对称） 若 y = f (x)的图形有对称轴 x = a ，则应有 f (a − x) = f (a + x) （将视为参数）， 令 g(x) = f (a − x) ，则有 g(−x) = f (a + x) = f (a − x) = g(x) ， 因此 g(x) 为偶函数。 若 y = f (x)的图形有对称中心(a, 0)，则应有 f (a − x) = − f (a + x) （将视为参数）， 令 g(x) = f (a − x) ，则有 g(−x) = f (a + x) = − f (a − x) = −g(x)， 因此 g(x) 为奇函数。以上这种性质称为函数 f (x) 的广义奇偶性或对称性。 1．4．3 周期性 定义 1.5 若存在一个正数T ，使函数 y = f (x) 在定义域内满足 f (x + T) = f (x) ，则称 为周期函数。 这里的正数T 对一个周期函数来说不是唯一的（事实上有无穷多）， 一般情况下，称其中最小正数称为周期。 y = f (x) 1．4．4 有界性 定义 1.6 设函数 y = f (x) 在 X 上有定义，若存在一个正数 M 使得对任意 x ∈ X 有 f (x) ≤ M ，则称函数 y = f (x) 在 X 上有界。 对函数的有界性，后面还将给出其他情况下的一些描述。这类描述是重要的。 1．5 复合函数 函数的常见表达形式包括显函数表达式，隐函数表达式，以及参数表达式。其中核心问 题是复合函数的概念。复合函数实质上是一种链锁函数关系。 定义 1.7 设 X,Y ,U ⊂ R ，复合函数关系是指 f :U → Y ，即 y = f (u) g : X → U ，即 u = g(x) 这里称 y = f (g(x)) 为 x 的复合函数。 一般讲， u = g(x) 的值域为 y = f (u) 定义域的一个非空子集，在特定情况下， u = g(x) 的值域恰为 y = f (u)的定义域。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 3 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 1.6隐函数与反函数 定义18设方程F(x,y)=0在平面上某邻域N{xn,yn),6}内满足一定的正则条件(参 见多元函数的内容),则可以确定函数关系y=y(x),使得F(x,y(x))=0,这时称 y=y(x)为在某邻域N{(xn,Jn,谷}内由F(x,y)=0确定的的隐函数。 这里X-Y平面上点(xnFn)的邻域N《x,Jn),δ}系指平面点集 Nx,y,2}=(x,)∈Rx-x)+(y-,)0 (2.1) 例如,园的方程x2+y2-1=0在圆周x2+y2=1上除去两点(-10)与(1,0)之外的 任意点的邻域内均可确定一个单值函数y=y(x),如在点(,)的某邻域内可以确定 函数y=√-x2,(<,而在点(,2,2)的某邻域内可以确定函数 定义1.9设函数y=∫(x)定义域为X,值域为y,若的y∈Y存在一个函数g(y)使得有 唯一的点x∈X满足x=g(y),则称x=g(y)为y=f(x)的反函数。 注:(1)在某些场合,常把y=f(x)的反函数记为∫(x)或g(x),此时己重新把x视为 自变量。在反函数记号的使用中,一定要分清是否需要换变量记号 (2)互为反函数的两个函数曲线关于直线y=x对称。 (3)y=∫(x)与其反函数g(x)的定义域与值域具有对偶性。即y=∫(x)的定义域必 为g(x)的值域,而y=∫(x)的值域必为g(x)的定义域。 (4)f(x)与g(x)互为为反函数,且有∫(g(x))=x与g(f(x)=x。 1.7参数表达的函数 定义1.9若对于参变量t∈T的每一个实数值都可由方程 x=x(t tET y=y(o) 唯一确定点(x,y)与t∈T对应,则称该方程为实函数y=y(x)或x=x(y)的参数方程。 参数方程确定的函数关系实质上一种隐函数关系,只是通过参变量t在变量x,y之间建 立了某种复合函数关系。即y=y((x),其中t=1(x)是x=x(1)的反函数 例1.10建立函数y=x2的参数方程。 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:6278178
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 1．6 隐函数与反函数 定义 1.8 设方程 F(x, y) = 0 在平面上某邻域 N{(x0 , y0 ),δ }内满足一定的正则条件（参 见多元函数的内容），则可以确定函数关系 y = y(x) ，使得 ，这时称 为在某邻域 F(x, y(x)) ≡ 0 y = y(x) N{ } (x0 , y0 ),δ 内由 F(x, y) = 0 确定的的隐函数。 这里 X −Y 平面上点(x0 , y0 ) 的δ 邻域 N{(x0 , y0 ),δ }系指平面点集 { } { 0} 2 2 0 2 0 2 N (x0 , y0 ),δ = (x, y)∈ R (x − x ) + ( y − y ) （2.1） 例如，园的方程 1 0在圆周 上除去两点 2 2 x + y − = 1 2 2 x + y = (−1,0)与 之外的 任意点的邻域内均可确定一个单值函数 (1,0) y = y(x)，如在点( , ) 2 2 2 2 的某邻域内可以确定 函 数 1 , ( ) 2 y = − x x < 1 ，而在点 ( , ) 2 2 2 2 − 的某邻域内可以确定函数 1 , 1 ( ) 2 y = − − x x < 。 定义 1.9 设函数 y = f (x) 定义域为 X ，值域为Y ，若∀y ∈Y 存在一个函数 使得有 唯一的点 满足 ，则称 g( y) x ∈ X x = g( y) x = g( y)为 y = f (x) 的反函数。 注：（1）在某些场合，常把 的反函数记为 或 ，此时已重新把 视为 自变量。在反函数记号的使用中，一定要分清是否需要换变量记号。 y = f (x) f (x) −1 g(x) x （2）互为反函数的两个函数曲线关于直线 y = x 对称。 （3） y = f (x) 与其反函数 g(x) 的定义域与值域具有对偶性。即 y = f (x) 的定义域必 为 g(x) 的值域，而 y = f (x) 的值域必为 g(x) 的定义域。 （4） f (x) 与 g(x) 互为为反函数，且有 f (g(x)) = x与 g( f (x)) = x。 1．7 参数表达的函数 定义 1.9 若对于参变量 t ∈T 的每一个实数值都可由方程 t T y y t x x t ∈ ⎩ ⎨ ⎧ = = ( ) ( ) (2.2) 唯一确定点(x, y)与 t ∈T 对应，则称该方程为实函数 y = y(x)或 x = x( y)的参数方程。 参数方程确定的函数关系实质上一种隐函数关系，只是通过参变量 t 在变量 x, y 之间建 立了某种复合函数关系。即 y = y(t(x)) ，其中t = t(x) 是 x = x(t) 的反函数。 例 1．10 建立函数 的参数方程。 2 y = x 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 4 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 解:求函数y=∫(x)的参数表达式,一般可视变量x为参数,此时便有非常简捷的结果 ly=f(x) 对函数y=x2,其参数方程可取为 x x∈(-0,+∞)。 注:对参数方程,如果进一步满足t1,t2∈(a,B)=T,t1≠t2时,(x1,y1)≠(x2,y2), 则参数方程所确定的曲线不相交,此时称该曲线为简单曲线。显然,简单曲线可以是闭合的, 换言之,曲线的起点与终点相重合,简称为闭曲线 1.8极坐标方程表达的函数 用极坐标表达一个函数的常用记号是 p=p(6),(61≤6≤62,p≥0) 极坐标表达的函数相应曲线上的点(x,y)与极坐标变量6,p之间的关系为 x=pcos 8 (81s0≤2) (2.3) y=psin 8 1.9初等函数 基本初等函数包括以下六类: (1)常数函数y=c (2)幂函数y=xa,幂函数的定义域与时常数a有关 (3)指数函数y=a(a>0,a≠1),a为实常数。 自然指数函数y=e (4)对数函数y= log x(a>0,a≠1),a为实常数。 自然对数函数y=lnx (5)三角函数y=sinx,cosx,tanx,cotx,seex,cscx (6)反三角函数y= arcsinx, arccos, arctan x 对以上六类基本初等函数,应熟练掌握他们的定义域与值域,初等性质与相应的曲线 由以上六类基本初等函数,经有限次四则运算或复合运算而生成的函数统称为初等函 数。这是微积分课程中重要的研究对象,当然,有时也会涉及到某些非初等函数,包括某些 分段函数(分段函数未必都是非初等函数,如y=x=√x2可以表达为分段函数,但它又 是初等函数) 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:6278178
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 解：求函数 y = f (x) 的参数表达式，一般可视变量 x 为参数，此时便有非常简捷的结果 x X ， y f x x x ∈ ⎩ ⎨ ⎧ = = ( ) 对函数 ，其参数方程可取为 。 2 y = x ∈ (−∞,+∞) ⎩ ⎨ ⎧ = = x y x x x 2 注：对参数方程，如果进一步满足 1 2 1 2 t ,t ∈( , ) = T, t ≠ t , α β 时， ， 则参数方程所确定的曲线不相交，此时称该曲线为简单曲线。显然，简单曲线可以是闭合的， 换言之，曲线的起点与终点相重合，简称为闭曲线。 ( , ) ( , ) 1 1 2 2 x y ≠ x y 1．8 极坐标方程表达的函数 用极坐标表达一个函数的常用记号是 ( ), ( , ) ρ = ρ θ θ 1 ≤ θ ≤ θ 2 ρ ≥ 0 极坐标 表 达的函 数 相应曲 线 上的点 (x, y) 与 极 坐 标变量 θ , ρ 之 间 的 关系为 ( （2.3） θ 1 θ θ 2 ρ θ ρ θ ≤ ≤ ⎩ ⎨ ⎧ = = sin cos y x ) 1．9 初等函数 基本初等函数包括以下六类： （1）常数函数 y = c （2）幂函数 ，幂函数的定义域与时常数 α y = x α 有关。 （3）指数函数 y = a (a > 0,a ≠ 1) ， 为实常数。 x a 自然指数函数 x y = e （4）对数函数 y = log x (a > 0,a ≠ 1) a ，a 为实常数。 自然对数函数 y = ln x （5）三角函数 y = sin x, cos x, tan x, cot x, sec x, csc x （6）反三角函数 y = arcsin x, arccos x, arctan x 对以上六类基本初等函数，应熟练掌握他们的定义域与值域，初等性质与相应的曲线。 由以上六类基本初等函数，经有限次四则运算或复合运算而生成的函数统称为初等函 数。这是微积分课程中重要的研究对象，当然，有时也会涉及到某些非初等函数，包括某些 分段函数（分段函数未必都是非初等函数，如 2 y = x = x 可以表达为分段函数，但它又 是初等函数）。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 5 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 1.2数列的极限概念 掌握好数列极限的概念与方法是顺利学妤函数极限的基础,而极限概念方法与分析问题 的思想,又是完成本课程后续内容学习的重要支柱与基础。 定义1.11对数列{xn},若存在某个常数A,使当n无限变大时, xn-4可以任意小,即VE>0,3N>0与常数A,使当n>N时有 x-4B,则彐N>0 使当n>N时有xn>y 证明方法:只要令an=xn-yn即可完成证明 定义1.12对数列{xn},若当m无限变大时,xn也无限变大,即VG>0, 彐N>0,使当n>N时有x|>G,则称{xn}是当n趋于无穷大时的 无穷大量。记为 lim r = oo 特别,当xn在某一项xN之后(n>N)取正值无限变大时,则称{xn}是当 n趋于无穷大时的正无穷大量,记为 lim x=+ 此时的描述为vG>0,N>0,使当n>N时有xn>G 而当x在某一项x之后(n>N)取负值且|xn无限变大时,则称{xn}是当 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:6278178
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 1．2 数列的极限概念 掌握好数列极限的概念与方法是顺利学好函数极限的基础，而极限概念方法与分析问题 的思想，又是完成本课程后续内容学习的重要支柱与基础。 定义 1.11 对数列{xn }，若存在某个常数 A ，使当 n无限变大时， xn − A 可以任意小，即 ∀ε > 0，∃N > 0与常数 A ，使当 n > N 时有 x − A B ，则∃N > 0， 使当 n > N 时有 。 n n x > y 证明方法：只要令 即可完成证明。 n n n a = x − y 定义 1.12 对数列{xn }，若当 n无限变大时， n x 也无限变大，即 ∀G > 0 ， ∃N > 0，使当 n > N 时有 xn > G ，则称{ }是当 趋于无穷大时的 xn n 无穷大量。记为 = ∞ →∞ n n lim x 。 特别，当 在某一项 之后（ ）取正值无限变大时，则称 是当 xn N x n > N { } xn n趋于无穷大时的正无穷大量，记为 = +∞ →∞ n n lim x 。 此时的描述为∀G > 0 ，∃N > 0，使当 n > N 时有 x G 。 n > 而当 xn 在某一项 x N 之后（ n > N ）取负值且 n x 无限变大时，则称{ }是当 xn 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 6 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 n趋于无穷大时的负无穷大量,记为 limx=-00。 此时的描述为VG>0,彐N>0,使当n>N时有x,0,丑N>0,使(某个xn)满足x|>G 由上述定义可知,无穷大量必然无界,而无界的数列未必是无穷大量。请见下例。 1.3数列极限的性质 1.3.1运算性质 (1)设limx,=A,c为实常数,则 lim cr,=cA(存在) A,liyn=B,则lim(xn±yn)存在, im(xn±yn)=A±B (3)设imxn=A, limy=B,则 limx,y=AB(存在)。 (4)设imxn=A,yn≠0,imyn=B≠0,则im=(存在 B (5)设 limx=∞,x,≠0,则lim-=0。 注:(1)只从极限存在的角度来看,上述运算性质的命题形式均为充分条件,不满足前面条 件时,结论不一定不成立 (2)利用上述运算性质可以计算某些极限,无穷大量作为极限不存在的一种特例,往往 不可进行直接运算,遇到无穷大量时,应设法将无穷大量转化为无穷小量,而无穷小量的运 算较为方便。 1.3.2解析性质 数列极限具有一些重要的解析性质,了解这些性质,对处理极限以及后续内容的学习会 有很大帮助 性质1极限的保序性(保号性 若{xn}有极限,且 limx=A>0,则当n足够大时必然有xn>0,换言之:一定 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -7-清华大学理科楼1101电话:6278178:
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 n趋于无穷大时的负无穷大量，记为 = −∞ →∞ n n lim x 。 此时的描述为∀G > 0 ，∃N > 0，使当 n > N 时有 xn 0 ，∃N > 0，使（某个 xn ）满足 xN > G 。 由上述定义可知，无穷大量必然无界，而无界的数列未必是无穷大量。请见下例。 1．3 数列极限的性质 1.3.1 运算性质 （1）设 xn A，c 为实常数，则 n = →∞ lim cxn cA n = →∞ lim （存在）。 （2）设 xn A， n = →∞ lim yn B n = →∞ lim ，则 lim( ) n n n x ± y →∞ 存在，且 xn yn A B n ± = ± →∞ lim( ) 。 （3）设 xn A， n = →∞ lim yn B n = →∞ lim ，则 xn yn AB n ⋅ = →∞ lim （存在）。 （4）设 xn A， n = →∞ lim ≠ 0 = ≠ 0 →∞ y yn B n n , lim ，则 B A y x n n n = →∞ lim （存在）。 （5）设 = ∞ ≠ 0 →∞ n n n lim x , x ，则 0 1 = →∞ n n x lim 。 注：（1）只从极限存在的角度来看，上述运算性质的命题形式均为充分条件，不满足前面条 件时，结论不一定不成立 （2）利用上述运算性质可以计算某些极限，无穷大量作为极限不存在的一种特例，往往 不可进行直接运算，遇到无穷大量时，应设法将无穷大量转化为无穷小量，而无穷小量的运 算较为方便。 1．3.2 解析性质 数列极限具有一些重要的解析性质，了解这些性质，对处理极限以及后续内容的学习会 有很大帮助。 性质 1 极限的保序性（保号性） 若{ }有极限，且 ，则当 足够大时必然有 ，换言之：一定 xn = > 0 →∞ xn A n lim n xn > 0 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 7 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 彐N>0,使当n>N时有x>0。又若limx=A0,使当n>N时有x。0,则VE>0,彐N>0,使当n>N时有 a-8>0。 性质1推论若{xn}有极限,且彐>0,使当n>N时有xn>0,则imxn=A≥0 注:本例题为性质1极限的保序性的重要推论 证:用反证法,假设 lim x=A0,使当n>N时有 xnB,则彐N>0,使当n>N 时必有xn>yn。(证明方法:只要令an=xn-yn,即可完成证明。) 性质2唯一性 若{xn}有极限,则极限唯一,即若 limx=A,又 limx=B,则只能是A=B 性质3有界性 若{xn}有极限,则{xn}有界(n→∞)。这种有界性可描述为:若极限 lim x=A 存在,则一定M>0及某个N>0,使当n>N时有xn0,彐N>0,使当n>N时有 A-E0,则 A-10, 则当n>N时有xnl0,使当 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -8-清华大学理科楼1101电话:6278178
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 ∃N > 0，使当 n > N 时有 xn > 0 。又若 = 0 n > N 0 ，则 →∞ xn A n lim ∀ε > 0，∃N > 0，使当 n > N 时有 A − ε A ε ，则 2 3 2 A x A > A xn 。 性质 1 推论 若{ }有极限，且 ，使当 时有 ，则 。 xn ∃N > 0 n > N xn > 0 = ≥ 0 →∞ xn A n lim 注：本例题为性质 1 极限的保序性的重要推论。 证：用反证法，假设 = 0，使当 n > N 时有 B ，则∃N > 0，使当 n > N 时必有 xn > yn 。（证明方法：只要令 n n n a = x − y ，即可完成证明。） 性质 2 唯一性 若{ }有极限，则极限唯一，即若 xn xn A n = →∞ lim ，又 xn B n = →∞ lim ，则只能是 A = B 。 性质 3 有界性 若{xn }有极限，则{xn }有界（ n → ∞ ）。这种有界性可描述为：若极限 存在，则一定 及 某个 ，使当 时有 xn A n = →∞ lim ∃M > 0 N > 0 n > N x n 0，∃N > 0，使当 n > N 时有 A − ε 0 ，则 A −1 0 ， 则当 n > N 时有 xn 0 ，使当 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 8 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 n>N时有x0,使当n>N时有an≤cn≤bn,则 序列{cn}有极限,且 lim c=A 做为无穷小量的运算,下述命题常用来处理极限的存在及求解问题 定理33设序列{xn}有界, lim y=0,则极限1 Many存在,且 limx,y=0。 [证]序列{xn}有界,则存在N1与M>0,使当n>N2时,kx0存在彐N2,使当n>N2时,pN时,y0),a"(a>D),n,n 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:6278178
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 n > N 时有 x M ，则 存在。或：单调减有下界，也必有极限。 n 0，使当 时有 ，则 序列{ 有极限，且 。 n > N n n n a ≤ c ≤ b cn } cn A n = →∞ lim 做为无穷小量的运算，下述命题常用来处理极限的存在及求解问题 定理 3.3 设序列{xn }有界， lim = 0, →∞ n n y 则极限 存在，且 。 n n n x y →∞ lim = 0 →∞ n n n lim x y [证] 序列{ }有界，则存在 与 , 使当 时, n x ∃N1 M > 0 N2 n > xn 0 存在 , 使当 时, ∃N2 N2 n > M yn N ε 0), a (a > 1), n!, n λ 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 9 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 例1.1证明对任意实数x∈(0,),有sin(sinx)1>I2。(0)l1=12。(D)l1>l2>1 解:当x∈(0,),sinxl2cosx=1>l因此l10且x≠-1,由此得定义域为x<0且x≠ sinx+p(x)x≥0 例1.5设∫(x)= sinx+3P(x)rsop(r)=-1xc1 求∫(x)的表达式 解:考虑(x)表达式由两段给出,在f(x)的表达式中,当x≥0时,所含须分为两段, 即0≤x<l与x≥1,而当x<0时,自然有x<1,对所含p(x)只须一段表达式。因此 可以得到 sinx+l f(x)=sinx-10≤x≤1 sIna 2<0 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 例 1.1 证明对任意实数 ( , ) 2 0 π x ∈ ，有sin(sin x) 1 > I 2 。（C） 1 2 I = I 。（D） 1. I1 > I 2 > 解： 当 ) 2 (0, π x ∈ ，sin x cos xdx = 1 > I ∫ π 。因此 1 2 I x e 且 x ≠ −1，由此得定义域为 x < 0 且 x ≠ −1 。 例 1.5 设 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + < + ≥ = 0 2 1 0 x x x x x x f x sin ( ) sin ( ) ( ) φ φ ， , 求 的表达式。 ⎩ ⎨ ⎧ ≥ − < = 1 1 1 1 ( ) x x φ x f (x) 解：考虑φ(x)表达式由两段给出，在 的表达式中，当 时，所含须分为两段， 即 与 ，而当 时，自然有 f (x) x ≥ 0 0 ≤ x < 1 x ≥ 1 x < 0 x < 1 ，对所含φ(x)只须一段表达式。因此 可以得到 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − < − ≤ ≤ + ≥ = 0 2 1 1 0 1 1 1 x x x x x x f x sin sin sin ( ) 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 10 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
