第二章导数与微分 导数思想最早由法国数学家Fema在研究 极值问题中提出 微积分学的创始人:英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz 微分学∫数描述函数变化快慢 微分描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数) ②0∞
第二章 导数与微分 导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出. 微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 英国数学家 Newton 微分学 导数 描述函数变化快慢 微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
第一节导数概念 一、引例 二、导数的完义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 ②0∞
第一节 导数概念 一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系
引例 (-)变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 s=f(t) 则10到t的平均速度为 f(t)-f(t0) 自由落体运动 而在t时刻的瞬时速度为 f(t)-f(t0) f(0)f( O ②0∞
一、 引例 （一） 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 则 到 的平均速度为 v = ( ) ( ) 0 f t − f t 0 t − t 而在 时刻的瞬时速度为 lim 0 t t v → = ( ) ( ) 0 f t − f t 0 t − t 0 t s o ( )0 f t f (t) t 2 2 1 s = gt 自由落体运动
(二)切线问题 曲线C:y=f(x)在M点处的切线 y=f(x 一割线MN的极限位置MT (当q→>Q时) 切线M的斜率 k= tan a= lim tan f(x)-f(x0) 割线MN的斜率tang=x k: lim f(x-f(xo) x→)x X-x ②0∞
（二）切线问题 曲线 在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T (当 时) 割线 M N 的斜率 x y o y = f (x) C N T 0 x M x tan = ( ) ( ) 0 f x − f x 0 x − x 切线 MT 的斜率 lim tan → = lim 0 x x k → = ( ) ( ) 0 f x − f x 0 x − x
二、导数的定义 定义1设函数y=f(x)在点x的某邻域内有定义 # lim f(x)-f( o) lim Ay 4y=f(x)=f(xo) x→>x △x→>0△x △x=x-X 存在,则称函数f(x)在点x处可导,并称此极限为 y=f(x)在点x的导数记作 dy df(x) dxx=x dx x=xo 即y1x=x=/(x)=nNy x→>0△x lin 5(xo+Ax)-f(ro) f(o+h-f(xo) Im △x->0 △x h>0 ②0∞
二、导数的定义 定义1 . 设函数 在点 0 lim x→x 0 0 ( ) ( ) x x f x f x − − x y x = →0 lim ( ) ( )0 y = f x − f x 0 x = x − x 存在, 并称此极限为 记作: ; 0 x x y = ( ) ; 0 f x ; d d 0 x x x y = d 0 d ( ) x x x f x = 即 0 x x y = ( ) 0 = f x x y x = →0 lim 则称函数 若 的某邻域内有定义 , 在点 处可导, 在点 的导数
运动质点的位置函数s=f(t) 在时刻的瞬时速度 (x)(y).s lim f(-f(o) f(to) 曲线C:y=f(x)在M点处的切线斜率 k= lim f(x)-f(ro) y=f( x->x0 X-x 0 T f(o)
运动质点的位置函数 s = f (t) s o 0 t ( )0 f t f (t) 在 时刻的瞬时速度 t 0 t 曲线 C : y = f (x) 在 M 点处的切线斜率 x y o y = f (x) C N T 0 x M x ( ) 0 = f t ( ) 0 = f x
lim f(x)-f(ro lim Ay=f(x)-f(o) x→>x △x→>0△x △x=x x-0 若上述极限不存在,就说函数在点x不可导 若1mAy=∞,也称f(x)在x0的导数为无穷大 △x→>0△x 若函数在开区间内每点都可导,就称函数在内可导 此时导数值构成的新函数称为导函数 记作:y;f"(x) dy df(x dx 法意(x)=r(x)-x≠( ②0∞
( ) ( )0 y = f x − f x 0 x = x − x 若上述极限不存在 , 在点 不可导. 0 x 若 lim , 0 = → x y x 也称 在 若函数在开区间 I 内每点都可导, 此时导数值构成的新函数称为导函数. 记作: y ; f (x) ; ; d d x y . d d ( ) x f x 注意: ( )0 f x 0 ( ) x x f x = = x f x d d ( ) 0 就说函数 就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大
单侧导数 定义2.设函数y=f(x)在点x的某个右(左)邻域内 有定义若极限 △ f(ro+Ax)-f(o) m im △x→0+△x△x→0 △x (△x→>0)(△x→>0) 存在则称此极限值为f(x)在x处的右(左)导数记作 f(x0)((x0) 即f(x0)=1im f(xo+△x)-f(xo y △x→>0 △ y 例如,f(x)=x在x=0处有 f(0)=+1,f(0)=-1 O
单侧导数 在点 的某个右 邻域内 若极限 则称此极限值为 ( ) 0 f x + 即 f+ (x0 ) = (左) 在 处的右(左) 导数,记作 ( 0 ) → − x ( 0 ) → − x ( ( )) 0 f x − − − 0 x 例如, f (x) = x 在 x = 0 处有 x y o y = x 定义2 . 设函数 有定义, 存在
函数y=f(x)在点x可导的充分必要条件 是f(x0)与f"(xo)存在,且∫4(xo)=∫(xo) 简写为f(x)存在 f(x0)=f(x0) 函数f(x)在点x处右(左)导数存在一 f(x)在点x必右(左连续 若函数f(x)在开区间(a,b内可导且(a)与f(b) 都存在,则称f(x)在闭区间[a,b上可导 显然 f(x)在闭区间[a,b上可导→f(x)∈Ca,b
函数 在点 且 ( )0 f x 存在 ( )0 f x − 简写为 在点 必 右(左) 连续. 若函数 f (b) − 与 都存在 , 则称 显然: 在闭区间 [a , b] 上可导 在开区间 内可导, 在闭区间 上可导. 可导的充分必要条件 是 且 函数 在点 处右(左) 导数存在
例1、求函数f(x)=C(C为常数)的导数 解:y′=1in(x+Ax)-f(x)=mimC 0 △x→>0 △ Ax→>0△x 即(C)=0 例2.求函数f(x)=x(m∈N)在x=a处的导数 解:f"(a)=mnf(x)-f(a)=1m、a x→a xX-a x→>ax-C lim(xn-+ax+aix3+.+am-l) x→a 三n ②0∞
例1、求函数 (C 为常数) 的导数. 解: y 即 例2. 求函数 解: x a f x f a − ( ) − ( ) x→a = lim x a x a n n x a − − = → lim lim( x→a = n−1 x −2 + n a x 2 −3 + n a x + ) −1 + n a x f x x f x ( + ) − ( ) 0 lim → = x