《高等数学》Ⅱ一Ⅱ备课教案 第十一章无穷级数 本章的教学目标及基本要求 1、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念 2、掌握级数的基本性质及收敛的必要条件; 3、掌握几何级数与p-级数的收敛与发散的条件; 4、掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法,会用根值审敛法; 5、掌握交错级数的莱布尼茨定理: 6、了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念,以及绝对收敛与条件收敛 的关系 7、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念;掌握幂级数的收敛半径、收 敛区间及收敛域的求法;了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质 8、会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的 和;了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件 9、掌握e3,snx,cosx,h(1+x)和(1+x)“的麦克劳林展开式,会用它 们将一些简单函数间接展开成幂级数;了解幂级数在近似计算上的简单应用 10、了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理,会 将定义在[-1,上的函数展开为傅里叶级数,会将定义在[0,1上的函数展开为 正弦级数与余弦级数,会写出傅里叶级数的和函数的表达式。 二、本章各节教学内容(列出节名)及学时分配:(20学时) 第一节常数项级数的概念及性质2学时 第二节常数项级数的审敛法 4学时 第三节幂级数 3学时 第四节函数展开成幂级数 3学时 第五节函数的幂级数展开式的应用2学时 第七节傅里叶级数 第八节一般周期函数的傅里叶级数1学时 本章小结 1学时, 三、本章教学内容的重点和难点: 重点:无穷级数的收敛与发散,正项级数的审敛法,幂级数的收 敛半径与收敛区间的求法 难点:正项级数的审敛法,幂级数展开,傅立叶级数展开 四、本章教学内容的深化和拓宽: 五、本章的思考题和习题: 第一节习题11-1教材193页:1(4):2(3);3(1)(2):4(1)(5) 第二节习题11-2教材206页:1(2)(3)(5):2(1)(3):4(1)(2)(3)(6),5 (1)(2)(4)(5). 第三节习题113教材215页:1(3)(4)(7)(8),2(1)(3) 第四节习题114教材223页:2(2)(4)(5);5 第五节习题11-5教材229页:1(2) 第六节习题11-6教材250页:1(1):2(2):6;7 第七节习题12-7教材256页:1(3):2(1) 第十一章无穷级数第1页共7页
《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案 第十一章 无穷级数第 1 页 共 7 页 第十一章 无穷级数 一、本章的教学目标及基本要求： 1、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念； 2、掌握级数的基本性质及收敛的必要条件； 3、掌握几何级数与 p − 级数的收敛与发散的条件； 4、掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法，会用根值审敛法； 5、掌握交错级数的莱布尼茨定理； 6、了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛 的关系； 7、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；掌握幂级数的收敛半径、收 敛区间及收敛域的求法；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质， 8、会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的 和；了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件； 9、掌握 x e ，sin x，cos x，ln(1+ x) 和 (1+ x) 的麦克劳林展开式，会用它 们将一些简单函数间接展开成幂级数；了解幂级数在近似计算上的简单应用； 10、了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会 将定义在 [− l , l] 上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在 [0 , l] 上的函数展开为 正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式。 二、本章各节教学内容（列出节名）及学时分配：（20 学时） 第一节 常数项级数的概念及性质 2 学时 第二节 常数项级数的审敛法 4 学时 第三节 幂级数 3 学时 第四节 函数展开成幂级数 3 学时 第五节 函数的幂级数展开式的应用 2 学时 第七节 傅里叶级数 4 学时 第八节 一般周期函数的傅里叶级数 1 学时 本章小结 １学时． 三、本章教学内容的重点和难点： 重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收 敛半径与收敛区间的求法． 难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开． 四、本章教学内容的深化和拓宽： 五、本章的思考题和习题： 第一节 习题 11—1 教材 193 页：1 (4)；2 (3)；3 (1) (2)；4 (1) (5)． 第二节 习题 11-2 教材 206 页：1 (2) (3) (5)；2 (1) (3)；4 (1) (2) (3) (6)，5 (1) (2) (4) (5)． 第三节 习题 11-3 教材 215 页：1 (3) (4) (7) (8)，2 (1) (3)． 第四节 习题 11-4 教材 223 页：2 (2) (4) (5)；5． 第五节 习题 11-5 教材 229 页：1 (2) 第六节 习题 11-6 教材 250 页：1 (1)；2 (2)；6；7． 第七节 习题 12-7 教材 256 页：1 (3)；2 (1)．
《高等数学》Ⅱ一Ⅱ备课教案 第一节常数项级数的概念及性质 、内容要点 1、常数项级数概念 常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项; 例 2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件 性质1:若级数∑un收敛于和s,则级数∑k也收敛,且其和为k.(证 明) 性质2:若级数∑ln、∑v分别收敛于和s、a,则级数∑(amn+vn)也收 敛,且其和为肚σ.(证明) 性质3:在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性.(证明) 性质4:若级数∑n收敛,则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收 敛,且其和不变.(证明) 性质5(级数收敛的必要条件:若级数∑n收敛,则它的一般项趋于零, n=1 即 lim u=0.(证明); 例2,例 二、教学要求和注意点 第二节常数项级数的审敛法 、内容要点 正项级数及其审敛法: 1.正项级数的概念 2.基本定理:正项级数∑n收敛的充分必要条件是它的部分和数列(s 有界.(证明) 3.比较审敛法:设∑un和∑vn都是正项级数,且w≤w(m=1,2,…).若 级数n收敛,则级数收敛:反之,若级数n发散,则级数”发 散.(证明) 推论:设∑vn和∑vn都是正项级数,如果级数∑vn收敛,且存在自然数 N,使当n≥N时有≤hn(k>0)成立,则级数∑n收敛:如果级数∑vn发散, 且当n≥N时有lm≥kn(k>0)成立,则级数∑ln发散 例1,例2 第十一章无穷级数第2页共7页
《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案 第十一章 无穷级数第 2 页 共 7 页 第一节 常数项级数的概念及性质 一、内容要点 1、常数项级数概念： 常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项； 例１． 2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件： 性质 1：若级数 n=1 n u 收敛于和 s，则级数 n=1 n ku 也收敛，且其和为 ks．(证 明) 性质 2：若级数 n=1 n u 、 n=1 n v 分别收敛于和 s、，则级数 ( ) = + n 1 n n u v 也收 敛，且其和为 s±．(证明) 性质 3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．(证明) 性质 4：若级数 n=1 n u 收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收 敛，且其和不变．(证明)； 性质 5(级数收敛的必要条件)：若级数 n=1 n u 收敛，则它的一般项 un 趋于零， 即 lim = 0 → n n u ．(证明)； 例２，例３． 二、教学要求和注意点 第二节 常数项级数的审敛法 一、内容要点 正项级数及其审敛法： 1．正项级数的概念； 2．基本定理：正项级数 n=1 n u 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{sn} 有界．(证明) 3．比较审敛法：设 n=1 n u 和 n=1 n v 都是正项级数，且 un vn (n = 1, 2, …)．若 级数 n=1 n v 收敛，则级数 n=1 n u 收敛；反之，若级数 n=1 n u 发散，则级数 n=1 n v 发 散．(证明) 推论：设 n=1 n u 和 n=1 n v 都是正项级数，如果级数 n=1 n v 收敛，且存在自然数 N，使当 n N 时有 un kvn (k > 0)成立，则级数 n=1 n u 收敛；如果级数 n=1 n v 发散， 且当 n N 时有 un kvn (k > 0)成立，则级数 n=1 n u 发散． 例１，例２；
《高等数学》Ⅱ一Ⅱ备课教案 4.比较审敛法的极限形式:设∑mn和∑vn都是正项级数, ()如果l=1(≤10或m=+,且级数∑vn发散,则级数∑un发 散.(证明) 例3~例7 5.比值审敛法(达朗贝尔判别法):设∑n为正项级数,如果 lim an+L =D 则当p1(或皿m==+∞)时级数发散:p=1时级数可能收 敛也可能发散.(证明) 例8,例9 6.根值审敛法(柯西判别法):设∑n为正项级数,如果 lim a/u.= 则当p1(或l{an=+∞)时级数发散;p=1时级数可能收 敛也可能发散.(证明) 例10; 7.极限审敛法:设∑n为正项级数, (1)如果mmn=1>0(或mmn=+∞,则级数∑un发散 ()如果pl,而ln"n=1(0≤1<+,则级数∑v收敛,(证明) 例11,例12 交错级数及其审敛法 1.交错级数的概念: 2.莱布尼茨定理:如果交错级数∑(-1)”mn满足条件 (1)l≥l+1(n=1,2,3,…) (2) lim u =0 则级数收敛,且其和s≤,其余项m的绝对值|ml≤lm+1.(证明) 例12,例1 绝对收敛与条件收敛: 1.绝对收敛与条件收敛的概念 第十一章无穷级数第3页共7页
《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案 第十一章 无穷级数第 3 页 共 7 页 4．比较审敛法的极限形式：设 n=1 n u 和 n=1 n v 都是正项级数， (1) 如果 lim = (0 +) → l l v u n n n ，且级数 n=1 n v 收敛，则级数 n=1 n u 收敛； (2) 如果 lim = 0 → l v u n n n 或 = + → n n n v u lim ，且级数 n=1 n v 发散，则级数 n=1 n u 发 散．(证明) 例３～ 例７； 5．比值审敛法(达朗贝尔判别法)：设 n=1 n u 为正项级数，如果 = + → n n n u u 1 lim ， 则当 1(或 = + + → n n n u u 1 lim )时级数发散； = 1 时级数可能收 敛也可能发散．(证明)； 例 8，例 9； 6．根值审敛法(柯西判别法)：设 n=1 n u 为正项级数，如果 = → n n n lim u ， 则当 1(或 = + → n n n lim u )时级数发散； = 1 时级数可能收 敛也可能发散．(证明)； 例 10； 7．极限审敛法：设 n=1 n u 为正项级数， (1) 如果 lim = 0 → nu l n n (或 = + → n n lim nu )，则级数 n=1 n u 发散； (2) 如果 p>1，而 lim = (0 +) → n u l l n p n ，则级数 n=1 n u 收敛．(证明) 例 11，例 12. 交错级数及其审敛法: 1．交错级数的概念： 2．莱布尼茨定理：如果交错级数 = − − 1 1 ( 1) n un n 满足条件： (1) un un + 1 (n = 1, 2, 3, …)； (2) lim = 0 → n n u 则级数收敛，且其和 s u1，其余项 rn 的绝对值rn un + 1． (证明) 例 12，例 13． 绝对收敛与条件收敛： 1. 绝对收敛与条件收敛的概念；
《高等数学》Ⅱ一Ⅱ备课教案 2.定理:如果级数∑n绝对收敛,则级数∑n必定收敛.(证明) =1 例 二、教学要求和注意点 第三节幂级数 、内容要点 函数项级数的概念 函数项级数、部分和、收敛点、发散点、收敛域、发散域、和函数 幂级数及其收敛性 1.幂级数的概念; 2.幂级数的收敛性: 例1 (1)定理1阿贝尔(Abe定理)如果级数∑anx”当x=x(x0≠0)时收敛,则 适合不等式x11x0的一切x使这幂级数发散.(证明) 推论:如果幂级数∑an”不是仅在x=0一点收敛,也不是在整个数轴上 都收敛,则必有一个确定的正数R存在,使得 当x|R时,幂级数发散 当x=R或x=-R时,幂级数可能收敛也可能发散. (2)幂级数的收敛半径与收敛区间的概念; (3)幂级数的收敛半径的求法 定理2:如果 P 其中an、am+1是幂级数∑anx的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径 ≠ 0,P=+∞ (证明) 例2~例7 3.幂级数的运算: 幂级数的加法、减法、乘法、除法; 4.幂级数的和函数的性质: 第十一章无穷级数第4页共7页
《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案 第十一章 无穷级数第 4 页 共 7 页 2. 定理：如果级数 n=1 n u 绝对收敛，则级数 n=1 n u 必定收敛．(证明) 例 14 ～ 例 16． 二、教学要求和注意点 第三节 幂级数 一、内容要点 函数项级数的概念： 函数项级数、部分和、收敛点、发散点、收敛域、发散域、和函数． 幂级数及其收敛性： 1．幂级数的概念； 2．幂级数的收敛性： 例 1； (1) 定理 1(阿贝尔(Abel)定理) 如果级数 n=0 n x n a 当 x = x0(x0 0)时收敛，则 适合不等式 x x0 的一切 x 使这幂级数发散．(证明) 推论：如果幂级数 n=0 n x n a 不是仅在 x = 0 一点收敛，也不是在整个数轴上 都收敛，则必有一个确定的正数 R 存在，使得 当 x R 时，幂级数发散； 当 x = R 或 x = −R 时，幂级数可能收敛也可能发散． (2) 幂级数的收敛半径与收敛区间的概念； (3) 幂级数的收敛半径的求法: 定理２：如果 = + → n n n a a 1 lim ， 其中 an、an + 1 是幂级数 n=0 n x n a 的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径 = + + = = 0, . , 0, , 0, 1 R (证明)， 例 2 ～ 例 7； 3．幂级数的运算： 幂级数的加法、减法、乘法、除法； 4．幂级数的和函数的性质：
《高等数学》Ⅱ一Ⅱ备课教案 性质1:幂级数∑anx〃的和函数sax)在其收敛域Ⅰ上连续 性质2:幂级数∑qn"的和函数sx)在其收敛域/上可积,并有逐项积分公 式 x)dx=①ax"kx=∑4x=∑1x,x∈1 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 性质3:幂级数∑anx"的和函数s(x)在其收敛区间(-R,R内可导,并有逐 项求导公式 s(x)=∑a.x=∑(axy=∑mnxn(x∞时的极限为零,即 imRn(x)=0(x∈U(x0) (证明 函数展开成幂级数的方法: 1.直接展开法 例1(ex的展开);例2(sinx的展开) 2.间接展开法 例3(n(1+x)的展开),例4(cosx的展开),例5~例9 二、教学要求和注意点 第五节函数的幂级数展开式的应用 、内容要点 近似计算 例 例3; 欧拉( Euler)公式: (1)复数项级数的概念 复数项级数、复数项级数收敛与绝对收敛 (2)欧拉( Euler)公式:er=cosx+ I sinx 二、教学要求和注意点 第十一章无穷级数第5页共7页
《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案 第十一章 无穷级数第 5 页 共 7 页 性质 1：幂级数 n=0 n x n a 的和函数 s(x)在其收敛域 I 上连续． 性质 2：幂级数 n=0 n x n a 的和函数 s(x)在其收敛域 I 上可积，并有逐项积分公 式 x x I n a s x x a x x a x x n n n x n x n n n n n x + = = = = + = = , 1 ( )d [ ]d d 0 1 0 0 0 0 0 ． 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径． 性质 3：幂级数 n=0 n x n a 的和函数 s(x)在其收敛区间(−R , R)内可导，并有逐 项求导公式 ( ) ( ) ( ), 1 1 0 0 s x a x a x na x x R n n n n n n n n n = = = = − = = 逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径． 例 8，例 9． 二、教学要求和注意点 第四节 函数展开成幂级数 一、内容要点 泰勒级数(Taylor) 1．泰勒级数和麦克劳林级数的概念； 2．定理：设函数 f(x)在点 x0 的某一邻域 U(x0)内具有各阶导数，则 f(x)在该 邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是 f(x)的泰勒公式中的余项 Rn(x)当 n→时的极限为零，即 lim ( ) 0 ( ( )). 0 R x x U x n n = → (证明)． 函数展开成幂级数的方法： 1．直接展开法: 例 1 (e x 的展开)；例 2 (sinx 的展开) 2．间接展开法： 例 3 (ln(1+x)的展开)，例 4 (cosx 的展开) , 例 5～例 9． 二、教学要求和注意点 第五节 函数的幂级数展开式的应用 一、内容要点 近似计算： 例 1 ～ 例 3； 欧拉(Euler)公式： (1) 复数项级数的概念： 复数项级数、复数项级数收敛与绝对收敛； (2) 欧拉(Euler)公式：e ix = cosx + I sinx . 二、教学要求和注意点
《高等数学》Ⅱ一Ⅱ备课教案 第七节傅立叶级数 、内容要点 概念: 三角函数系及其正交性; 性质:三角函数系在[-,丌]上正交(证明) 2.三角级数 3.傅立叶级数:“+∑( (a cos n+ b sin nx),其中 f(x)cos ndx (n=0, 1, 2, 3, .) f(x)sin ndx (n=1, 2, 3, .) 函数展开成傅立叶级数的条件: 狄利克雷定理:设fx)是周期为2m的周期函数,如果它满足: (1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 (2)在一个周期内至多只有有限个极值点, 则f(x)的傅立叶级数收敛,并且 当x是fx)的连续点时,级数收敛于f(x) 当x.是)间断点时,级数收敛于[/(x)+f(x 将函数展开成傅立叶级数 1.fx)以2π为周期,且满足收敛条件,则∫x)可展成(-∞,+∞)上的傅立叶 级数 例1~例3 2.fx)在[-x,丌]上有定义,且满足收敛条件,则f(x)可展成r,丌]上的傅 立叶级数 例4. 3.fx)在[0,丌]上有定义,且满足收敛条件,则fx)既可展成[0,x]上的正 弦级数,也可展成[0,π上的余弦级数 例 教学要求和注意点 第八节一般周期函数的傅立叶级数 内容要点 周期为2l的周期函数的傅立叶级数: 定理:设周期为2l的为周期函数fx)满足收敛定理的条件,则它的傅立叶级 数展开式为 f(x)=“+∑( (a,cos"a+b2sn")(x∈C) 其中 ∫(x)cos",dx(n=0,1,2,3,…) b=元f(x)sn (n=1,2,3,…) 第十一章无穷级数第6页共7页
《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案 第十一章 无穷级数第 6 页 共 7 页 第七节 傅立叶级数 一、内容要点 概念： 1．三角函数系及其正交性； 性质：三角函数系在[− , ]上正交(证明)． 2．三角级数； 3．傅立叶级数： = + + 1 0 ( cos sin ) 2 n an nx bn nx a ，其中 ( ) cos d ( 0,1, 2, 3, ), 1 = = − an f x nx x n ( )sin d ( 1, 2, 3, ). 1 = = − bn f x nx x n 函数展开成傅立叶级数的条件： 狄利克雷定理：设 f(x)是周期为 2的周期函数，如果它满足： (1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点， (2) 在一个周期内至多只有有限个极值点， 则 f(x)的傅立叶级数收敛，并且 当 x 是 f(x)的连续点时，级数收敛于 f(x)； 当 x 是 f(x)的间断点时，级数收敛于 ( ) ( ). 2 1 − + f x + f x 将函数展开成傅立叶级数： 1．f(x)以 2 为周期，且满足收敛条件，则 f(x)可展成(− , +)上的傅立叶 级数． 例 1～例 3． 2．f(x)在[− , ]上有定义，且满足收敛条件，则 f(x)可展成[− , ]上的傅 立叶级数． 例 4． 3．f(x)在[０, ]上有定义，且满足收敛条件，则 f(x)既可展成[０, ]上的正 弦级数，也可展成[０, ]上的余弦级数． 例 5． 二、教学要求和注意点 第八节 一般周期函数的傅立叶级数 一、内容要点 周期为 2l 的周期函数的傅立叶级数： 定理：设周期为 2l 的为周期函数 f(x)满足收敛定理的条件，则它的傅立叶级 数展开式为 ( cos sin ), ( ) 2 ( ) 1 0 x C l n x b l n x a a f x n = + n + n = 其中 ( ) cos d ( 0,1, 2, 3, ), 1 = = − x n l n x f x l a l l n ( )sin d ( 1, 2, 3, ). 1 = = − x n l n x f x l b l l n
《高等数学》Ⅱ一Ⅱ备课教案 C=xf(x)=f()+f(') 当fx)为奇函数时, f(x)=∑ b sin na (x∈C) 其中 =Lf() sin Ics ax 当f(x)为偶函数时, f∫(x)= nZA a cos (x∈C) 其中 no f(x)cos-dx (n=0,1,2,…) (证明) 例1,例2. 本章小结 、教学要求和注意点 第十一章无穷级数第7页共7页
《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案 第十一章 无穷级数第 7 页 共 7 页 = = + − + [ ( ) ( )] 2 1 C x f (x) f x f x 当 f(x)为奇函数时， ( ) sin , ( ) 1 x C l n x f x b n = n = 其中 ( )sin d ( 1, 2, 3, ). 2 0 = x n = l n x f x l b l n 当 f(x)为偶函数时， cos , ( ) 2 ( ) 1 0 x C l n x a a f x n = + n = 其中 ( ) cos d ( 0,1, 2, ). 2 0 = x n = l n x f x l a l n (证明) 例 1，例 2． 本章小结． 二、教学要求和注意点