第二篇单变量函数微积分学 第一部分单变量函数微分学 Ch4导数与微分 计划课时:18课时 P120-173 2004.11.13 Ch4导数与微分 §1导数的概念 、导数的背景与定义 1.背景:速度、曲线的切线 2.导数的定义:f(x0)定义的各种形式.f(0)的定义.导数的记法 有限增量公式:Ay=f(x0)x+0(△x),Ax→>0. 例1.f(x)=x2,求∫(1) 例2设函数f()在点x可导,求极限1m(x)-(x-3) h 单侧导数:定义.单侧可导与可导的关系.曲线的尖点 例3f(x)=|x考查f(x)在点x=0的可导情况 二.导数的几何意义: 可导的几何意义,导数的几何意义,单侧导数的几何意义 例4求曲线y=f(x)=x2在点(1,1)处的切线与法线方程 三.可导与连续的关系 四.导函数:函数在区间上的可导性,导函数,导函数的记法 f(r)=lim f(x+Ax)-f(x) 注意:Sinx等具体函数的导函数不能记为sin’x,应记为(sinx) EXP1252,3,4,5,6, [4P128-133 9,10,23,53-57 (初等函数导数计算的算术化
第二篇 单变量函数微积分学 第一部分单变量函数微分学 Ch 4 导数与微分 计划课时： 18 课时 P120—173 2004．11．13. Ch 4 导数与微分 §1 导数的概念 一、导数的背景与定义： 1．背景：速度、曲线的切线. 2．导数的定义: )( 定义的各种形式. 0 ′ xf f ′ )0( 的定义. 导数的记法. 有限增量公式: .0 ),( )( =Δ ′ 0 D Δ+Δ Δxxxxfy → 例 1． ,)( 求 2 = xxf f ′ ). 1 ( 例 2 设函数 在点 可导 xf )( x0 , 求极限 . )3()( lim 0 0 0 h hxfxf h − − → 单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点. 例 3 = xxf . )( 考查 在点 的可导情况 xf )( x = 0 . 二．导数的几何意义: 可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义. 例 4 求曲线 在点 处的切线与法线方程. 2 )( == xxfy ) 1 , 1 ( 三．可导与连续的关系: 四．导函数: 函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法. . )()( lim)( 0 x xfxxf xf x Δ −Δ+ ′ = →Δ ( 注意:sin x 等具体函数的导函数不能记为 ′ x,nsi 应记为 x ′.)(sin Ex P125 2，3，4，5，6，7； [4]P128—133 6，9，10，23，53—57. （初等函数导数计算的算术化）
§2简单函数的导数 几种基本初等函数的导数 常函数、三角函数、对数函数、幂函数的求导。 导数的四则运算法则:推导导数四则运算公式(只证“×”和 例1f(x)=x3+5x2-9x+3.求f(x) 例2y= cos x In x.求yl= 例3 求少 1+x 例4证明:(x")'=-nxn,n∈Z+.(用商的求导公式证明) 例5证明:(lgx)=secx,(cgx)=-cscx 例6证明:dscx= extol 例7求曲线y=x2+x+1在点(-2,1)处的切线方程 反函数的导数:推导公式并指出几何意义 例8证明反三角函数的求导公式.(只证反正弦) 例8证明指数函数的求导公式 初等函数导数表 Ex P141 四.复合函数求导法—链导公式: 例9设a为实数,求幂函数y=x(x≥0)的导数 解y=(e) = OO 例10f(x)=√x2+1,求f(0)和f(1) 例Ⅱ1y=lm(x+√x2+1),求y 例12y=g82-,求y 五.参数方程所给函数求导公式 设函数x=(1),y=v(1)可导且q()≠0 dy y(o dx o'(o) 法一)用定义证明 (法二)由()≠0,→恒有φ'()>0或()<0.→(1严格单调(这些事 实的证明将在下一章给出.)因此,(1)有反函数,设反函数为t=-(x),有
§ 2 简单函数的导数 一．几种基本初等函数的导数: 常函数、三角函数、对数函数、幂函数的求导。 二．导数的四则运算法则: 推导导数四则运算公式. (只证“×”和“ ÷”) 例 1 .395)( 求 23 xxxxf +−+= ′ xf ).( 例 2 = xxy .lncos 求 .| ( =π ′ x y ). 1 π − 例 3 . 1 2 2 x x y + − = 求 . dx dy 例 4 证明: . ,) ( ( 用商的求导公式证明 ). − −− 1 + ′ −= ∈ Znnxx n n 例 5 证明: .csc) ( ,sec) ( 2 2 tgx ′ = x ctgx ′ −= x 例 6 证明: xtgxx .secsec dx d = . 例 7 求曲线 1 2 1 2 xxy ++= 在点 处的切线方程 − ) 1 , 2( . 三. 反函数的导数: 推导公式并指出几何意义. 例 8 证明反三角函数的求导公式. ( 只证反正弦 ) 例8 证明指数函数的求导公式. 初等函数导数表 Ex P141 四. 复合函数求导法 —— 链导公式： 例 9 设α 为实数，求幂函数 xxy ≥= )0( 的导数. α 解 ( ) . ln ln −1 =⋅=⋅=′ ′ = α α α α α α α x x x x eey x x 例 10 ,1)( 2 xxf += 求 f ′ )0( 和 f ′ ). 1 ( 例 11 ln( ),1 2 xxy ++= 求 y′. 例 12 , 2 1 x = tgy 求 y′. 五． 参数方程所给函数求导公式： 设函数 ϕ == ψ tytx )( ),( 可导且ϕ′ t ⇒≠ ,0)( . )( )( t t dx dy ϕ ψ ′ ′ = 证 （ 法一 ） 用定义证明. （ 法二 ）由ϕ′ t ⇒≠ ,0)( 恒有ϕ′ t > 0)( 或ϕ′ t < .0)( ⇒ ϕ t)( 严格单调. ( 这些事 实的证明将在下一章给出. ) 因此, ϕ t)( 有反函数, 设反函数为 (xt ), 有 −1 = ϕ 39
y=v()=v(n(x)用复合函数求导法,并注意利用反函数求导公式就有 dy dy dt dt 例13x= a cos t,y= bsin t.求 六.取对数求导法 例 x-1)(x-2 141 求y’. (3+x)(4-x) 例15y=(sinx)x.求y 例16 七.抽象函数求导 例17f(2x2+1)=x3.求f(2x2+1)和f(5) 例18∫可导,F(x)=e2/(-2)求F(x) ExP146、158 §3微分 微分概念 1.微分问题的提出:从求sin31°的近似值入手,引出微分问题 几个数,兀=0.0175,COs==0.8660, sin31°≈05000+00151=0.5151.(查表得sin31°=0.515038.) 2.微分的定义: 3.微分的计算和几何意义: Th(可微与可导的关系) 例1求d(im23x)和 darctgx 微分运算法则:法则1-4 阶微分形式不变性.利用微分求导数.微商 例2y=x2lnx2+cosx,求小和y. 例3y=e,求小和y
( ),)()( 1 xty − == ϕψψ 用复合函数求导法, 并注意利用反函数求导公式. 就有 . )( )( t t dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕ ψ ′ ′ ==⋅= 例 13 = ,cos = tbytax .sin 求 . dx dy 六． 取对数求导法: 例 14 . )4)(3( )2()1( 4 5 2 3 xx xx y −+ −− = 求 y′. 例 15 ( ) .sin 求 ln x = xy y′. 例 16 , 求 x x = ey y′. 七．抽象函数求导: 例 17 .)12( 求 和 2 3 =+ xxf )12( 2 ′ xf + f ′ ). 5 ( 例 18 f 可导, )( ( ), 22 xx efexF − = 求 ′ xF )( . Ex P146、158 § 3 微分 一. 微分概念: 1. 微分问题的提出: 从求 的近似值入手, 引出微分问题. D 31sin ( 几个数据: 0175 . 0 180 = π , ,8660.0 2 3 6 cos == π =+≈ .5151.00151.05000.031sin D ( 查表得 = .515038.031sin ) D 2． 微分的定义: 3． 微分的计算和几何意义: Th ( 可微与可导的关系 ). 例 1 求 ( 3sin xd ) 2 和 darctgx. 二. 微分运算法则: 法则 1—4 . 一阶微分形式不变性. 利用微分求导数. 微商. 例 2 ,cosln 求 和 22 += xxxy dy y′. 例 3 , 求 和 bax )sin( ey + = dy y′. 40
微分的应用 1.建立近似公式:原理Δy≈d,即f(x)≈f(x)+f(x0)(x-x0 特别当x。=0时,有近似公式f(x)≈f(0)+f(0)x.具体的近似公式如 snx≈x 1+x≈1+-x, x≈1+x等 2.作近似计算:原理:f(x+△x)=f(x0)+f(x)Ax 例4求√097和v127的近似值 例5求sin29°的近似值.(参阅[]P138E4) 3.估计误差: 绝对误差估计:A=(x 相对误差估计:y=f(x)(>0),Iny=lnf(x),→ =ld Inf(x). 例6设已测得一根圆轴的直径为43cm,并知在测量中绝对误差不超过0.2cm.试求 以此数据计算圆轴的横截面面积时所产生的误差 4.求速度:原理:y=f(x),=f(x), f∫(x) 例7球半径R以0.2cm/sec的速度匀速增大求R=4cm时,球体积增大的速度 Ex P151 §4高阶导数 高阶导数: 定义:f"(x0)=limf(x+△x)-f(x) f"(x)=(f(x),f(x)=(fm-(x).注意区分符号f"(x)和(f(x) 以函数f(x)=sin3x+e2x+x3+2x2+5x-7为例介绍高阶导数计算方法 高阶导数的记法 几个特殊函数的高阶导数 1.多项式:多项式的高阶导数 例1Q(x)=(6-2x)(2x-,求Q“(0)和Q(-0235
三．微分的应用: 1．建立近似公式: 原理: Δ ≈ dyy , 即 ).)(()()( 0 0 0 ≈ + ′ − xxxfxfxf 特别当 时 x0 = 0 , 有近似公式 ≈ + ′ xffxf .)0()0()( 具体的近似公式如: xex n xx x n x ≈ +≈+ 1 , +≈ 1 11 ,sin 等. 2. 作近似计算: 原理: .)()()( 0 0 . 0 +=Δ+ ′ Δxxfxfxxf 例 4 求 97.0 和 3 127 的近似值. 例 5 求 的近似值. ( 参阅[1]P138 E4 ) D 29sin 3． 估计误差： 绝对误差估计： ,)( 0 ≈Δ ′ Δxxfy 相对误差估计： xfy >= = xfy ⇒ ),(lnln ),0( )( xfd .)(ln y dy y y =≈ Δ 例 6 设已测得一根圆轴的直径为 ，并知在测量中绝对误差不超过 . 试求 以此数据计算圆轴的横截面面积时所产生的误差. 43cm 2.0 cm 4. 求速度: 原理: .)( ,)( ),( dt dx xf dt dy = = ′ dxxfdyxfy = ′ 例 7 球半径 R 以 cm sec2.0 的速度匀速增大. 求 = 4cmR 时, 球体积增大的 速度. Ex P151 § 4 高阶导数 一. 高阶导数: 定义: . )()( lim)( 0 0 0 0 x xfxxf xf x Δ ′ −Δ+ ′ ′′ = →Δ ( ) ( .)()( ,)()( )( )1( ) ′ = ′ ′′ = ′ − xfxfxfxf n n 注意区分符号 )( 0 ′′ xf 和( ) .)( 0 ′ ′ xf 以函数 3sin)( 752 为例介绍高阶导数计算方法. 232 xxxexxf −++++= x 高阶导数的记法. 二. 几个特殊函数的高阶导数: 1． 多项式: 多项式的高阶导数. 例 1 ( ) ( ,1223)( 15 18 2 −= xxxQ − ) 求 ) 0 ( 和 . )48( Q )235.0()49( Q − 41
2.正弦和余弦函数:计算(sinx)"、(osx)"、( sin kx)"、( cos kx)"的公式 3.￠和e的高阶导数: 4.一的高阶导数 (x+a)(x+ +)的高阶导数 0, 6.分段函数在分段点的高阶导数:以函数f(x)= 求∫"(x)为例 -x2,x<0 高阶导数的运算性质:设函数(x)和v(x)均n阶可导.则 1.(ku(x)m)=ku(n(x) 2.(u(x)±v(x)")=n(x)±(x) 3.乘积高阶导数的Lebn公式:约定l(x)=l(x) u(x)x)”=∑Canm(x)y“(x)(介绍证法) 例2y=e'cosx,求y3 解C。=C53=1,C=C5=5,C3=C3 , S)=e(cosx-5sin x-10cosx+10sin x+5cos x)=4e (sin x-cos x) 例3y 解(x2)’=2x,(x2)"=2,(x2)"=…=(x2)")=0 (S Inx =sin, (sin x)(9)=-cosx, (sin x)8)=-sinx 80·79 (80)=(xsin x)(8)=x sin x+80.2x(-cos x)+2(sin x) =(x--6320)sin x-160x cosx 例4y=f(mcgx),其中f(x)三阶可导求 例5验证函数y= arcsin x满足微分方程
2. 正弦和余弦函数: 计算 、 、 ( ) )( sin n x ( ) )( cos n x ( ) )( sin n kx 、( ) )( cos n kx 的公式. 3．e x 和 的高阶导数： kx e 4． x 1 的高阶导数： 5． ))(( 1 ++ bxax 的高阶导数： 6．分段函数在分段点的高阶导数：以函数 求 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ <− ≥ = .0 , ,0 , )( 2 2 xx xx xf ′′ xf )( 为例. 三. 高阶导数的运算性质: 设函数 和 均 阶可导 xu )( xv )( n . 则 1．( ))( ).( )( )( xkuxku n n = 2．( ) ).()()()( )( )( )( xvxuxvxu n n n ±=± 3．乘积高阶导数的 Leibniz 公式： 约定 ).()()0( = xuxu ( ) ∑ （ 介绍证法.） = − = n k knk k n n xvxu xvxuC 0 )( )()( )()( ).()( 例 2 xey ,cos 求 x = . )5( y 解 ,1 ,5 .10 ⇒====== 3 5 2 5 4 5 1 5 5 5 0 5 CCCCCC ).cos(sin4)sincos5sin10cos10sin5(cos )5( xxexxxxxxey x x =−++−−= − 例 3 ,sin 求 2 = xxy . )80( y 解 ;0)()( ,2)( ,2)( 2 2 2 )(2 ′ = ′′ = ′′′ === n xxx x " x .sin)(sin ,cos)(sin ,sin)(sin )80( )79( )78( = xxx −= xx −= x )sin(2 2 7980 )cos(280sin)sin( 2)80( 2)80( xxxxxxy − x ⋅ = +−⋅+= .cos160sin)6320( 2 x −= − xxx 例 4 = arctgxfy ),( 其中 二阶可导 xf )( . 求 . 2 2 dx yd 例 5 验证函数 = arcsin xy 满足微分方程 42
(n≥3) 并依此求ym(0). 1-x2y'=1.两端求导→Ⅵ1-x)1-r0,即 (1-x2)y-xy'=0.对此式两端求n阶导数,利用Lbnz公式,有 (1-x2)y+2)+Cn(-2x)ym)+C2(-2)y/-xym+)-Cym)= =(1-x2)y+2)-(2n+1)xy(m+)-n2y=0 可见函数y= arcsin x满足所指方程.在上式中令x=0,得递推公式 n 注意到y(0)=0和y(0)=1,就有n=2k时,y(0)=0,n=2k+1时, y(0)=(2k-12(2k-3)2…32·12·f(0)=[2k-1 四.参数方程所确定函数的高阶导数: d2y dt( dx o(o)y(o'(o-y'(Oo( 例6x=ac01,y=bmd2y d-y b 解 ctgt a a sin t 五.高阶微分 高阶微分的定义:d2y=d(d)=d(f(x)d)=d((x)dx= f()dx. dx=f(x)(dx)=f(x) n阶微分定义为n-1阶微分的微分,即 注意区分符号dx2=(dx)2,d2x(=0),d(x2)的意义 例7y=f(u)=sinu,l=(x)=x2.求d2y
)12()1( ) 3 ( .0 )2(2 )(2)1( − =−+− ≥ + + ynxynyx n n n n 并依此求 ).0( n)( y 解 .11 , 1 1 2 2 − ′ = − ′ = yx x y 两端求导 ,0 1 1 2 2 = − ′ −⇒ ′′ − x yx yx 即 )1( .0 2 − ′′ − yxyx ′ = 对此式两端求 阶导数 n , 利用 Leibniz 公式, 有 − =−−−+−+ + 1)2(2 + 2)1( + )(1)1()( )1( )2( )2( n n n n n n n n yCxyyCyxCyx )12()1( .0 )2(2 )(2)1( −= =−+− n+ n+ n ynxynyx 可见函数 = arcsin xy 满足所指方程 . 在上式中令 x = ,0 得递推公式 ).(2)2( n n = yny + 注意到 y ′′ = 0)0( 和 y′ = 1)0( , 就有 = 2kn 时, ;0)0()( = n y = kn +12 时, )0(13)32()12()0()( 2 222 kky f n " ⋅⋅−−= ′ [ ] .!)!12( 2 k −= 四. 参数方程所确定函数的高阶导数: = ′ ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ′ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = )( )( )( 2 2 t t t dt dx dx dy dt d dx yd ϕ ϕ ψ ( ) . )( )()()()( 3 t tttt ϕ ψ ϕ ψ ϕ ′ ′′ ′ − ′ ′′ 例 6 = = tbytax .sin ,cos 求 . 2 2 dx yd 解 ctgt. a b dx dy −= . sin 2 32 2 ta b dx yd " −== 五． 高阶微分： 高阶微分的定义： == ( ) ′ )()( = ( ′ )( ) dxxfddxxfddydyd =⋅ 2 )( .)())(( 2 2 = ′′ =⋅ ′′ = ′′ dxxfdxxfdxdxxf n 阶微分定义为 阶微分的微分， n −1 即 ( ) .)( n n 1 n)( n === dxxfyddyd − " ( 注意区分符号 )( ),0( ,)( 的意义. 2 22 2 = xddxdx = xd ) 例 7 .)( ,sin)( 求 2 ϕ ==== xxuuufy . 2 yd 43
以例7为例,说明高阶微分不具有形式不变性 在例7中,倘若以y=sinu求二阶微分,然后代入u=x2,就有 d-y=(sin u)(du)=-sinu(du)=-sin x(2xdx)-=-4x x dx 倘若先把u=x2代入y=sinu,再求二阶微分,得到 d-y=d sin x=(2cos sin x )dx=2cosxdx--4x sin dx 可见上述两种结果并不相等.这说明二阶微分已经不具有形式不变性.一般地,高 阶微 分不具有形式不变性 ExP171 习题课 可导条件 例1设在点x0=0的某邻域内有|f(x)|x2证明f(x)在点x=0可导 例2设函数∫(x)在点x0可导,f(x0)=0,f(x0)≠0.则f(x)在点 x0不可导 例3设函数∫(x)定义在区间(a,b)内,x0∈(a,b).试证明:f(x)在点x0可导的充 要条件是存在(a,b)内的函数∫(x)(仅依赖于∫和x).使∫(x)在点x连续且适 合条件 f(x)-f(x0)=(x-x0)f”(x) x∈(a,b) 并有∫'(x。)=f(x0) 证→)设∫(x)存在,定义 f(x)-f(x0) x≠x0 Jf'(xo), 易验证函数∫(x)在点x。连续,f(x)-f(x0)=(x-x0)(x),且
以例 7 为例, 说明高阶微分不具有形式不变性: 在例 7 中, 倘若以 求二阶微分 = sin uy , 然后代入 = xu 2 , 就有 ;sin4)2(sin)(sin)()(sin 2 2 2 2 2 222 = ′′ duuyd −= duu −= −= dxxxxdxx 倘若先把 代入 = xu 2 = sin uy , 再求二阶微分, 得到 cos2)sin4cos2(sin .sin4 2 22 2222 22222 = −= dxxxxxdyd = − dxxxdxx 可见上述两种结果并不相等. 这说明二阶微分已经不具有形式不变性. 一般地, 高 阶微 分不具有形式不变性. Ex P171 习 题 课 一. 可导条件: 例 1 设在点 的某邻域内有 x0 = 0 . )( 2 ≤ xxf 证明 在点 xf )( x0 = 0 可导. 例 2 设函数 在点 可导 xf )( , 0 x .0)( ,0)( 0 = ′ xfxf 0 ≠ 则 在点 xf | )( | 0 x 不可导. 例 3 设函数 定义在区间 xf )( ba ),( 内, ).,( 0 ∈ bax 试证明: 在点 可导的充 要条件是存在 内的函数 （仅依赖于 和 . 使 在点 连续且适 合条件 xf )( 0 x ba ),( xf )( ∗ f ) 0 x xf )( ∗ 0 x ).,( ),()()()( 0 −=− 0 ∈ baxxfxxxfxf ∗ 并有 ).()( 0 0 = ′ xfxf ∗ 证 ⇒) 设 存在 ′ xf 0 )( , 定义 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ′ = ≠ − − = ∗ . ),( , , )()( )( 0 0 0 0 0 xf xx xx xx xfxf xf 易验证函数 xf )( 在 点 连 续 , 且 ∗ 0 x ),()()()( 0 0 xfxxxfxf ∗ −=− ).()( 0 0 = ′ xfxf ∗ 44
)设f(x)-f(x0)=(x-x0)∫”(x),又∫(x)在点x连续则有 f(xo=lim f(x)-f(x0) limf"(x)=∫'(x0) 即f(x0)存在且∫(x0)=f'(x) 求导数或求切线: 例4f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-25),求f(O)和f(1) 例5f(x)=arcg√x2-1,求mnf(√5)-f(√5+2h) h 例6f(x)={e,x≠0,求f(0) 解f(O)=lim2e ==lim f(x)={x3 x≠0, 0 设f"(x)=P()2,x≠O,其中P()为的多项式注意到对任何正整 0 数 m,1m=0则有 f(m(0)=lim-P()e =0 有f(0)=0 例7抛物线方程为y=x2-3.求下列切线 (1)过点(2,1).(该点在抛物线上) (4x-y-7=0.) (2)过点(2,0).(该点不在抛物线上) 2x-y-4=0和 6x-y-12=0
⇐) 设 0 −=− 0 ∗ xfxxxfxf ),()()()( 又 在点 连续 xf )( . 则有 ∗ 0 x ).()(lim )()( lim)( 0 0 0 0 0 0 xfxf xx xfxf xf xx xx ∗ ∗ → → = = − − ′ = 即 存在且 )( 0 ′ xf ).()( 0 0 xfxf ∗ ′ = 二. 求导数或求切线: 例 4 xxxxf −−= )2)(1()( " x − ),25( 求 f ′ )0( 和 f ′ ). 1 ( 例 5 )( ,1 2 = xarctgxf − 求 ) 5 1 ( . ) 25 () 5 ( lim 0 − +− → h hff h 例 6 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = − .0 ,0 ,0 , )( 2 1 x xe xf x 求 ).0( n)( f 解 lim)0( 2 .0lim 2 1 1 0 ′ = ===== = ∞→ = − → t t x t x x e t x e f ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ ∴ ′ = − .0 ,0 ,0 , 2 )( 2 1 3 x xe x xf x 设 )( = )( xf n ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ − .0 ,0 ,0 ,) 1 ( 2 1 x xe x P x 其中 ) 1 ( x P 为 x 1 的多项式. 注意到对任何正整 数 = ,0lim , +∞→ t m t e t m 则有 .0) 1 ( 1 lim) 0 ( 2 1 0 )1( = = − → + x x n e x P x f ∴ 对∀n, 有 .0) 0 ()( = n f 例 7 抛物线方程为 .3 求下列切线: 2 xy −= ⑴ 过点 .) 1 , 2 ( ( 该点在抛物线上 ) ( − yx − = .074 ) ⑵ 过 点 ) 0 , 2 ( . ( 该点不在抛物线上 ) ( − yx − = 042 和 yx =−− .0126 ) 45
曲线的吻接:曲线的吻接及其解析表达.参阅[4P2 2.x 可导(a b=1) 四.奇、偶函数和周期函数的导函数: 例9可导奇函数的导函数是偶函数.(给出用定义证和用链导公式证两种证法) 例10设f(x)是偶函数且在点x=0可导,则f(0)=0 证f(0)=im<(x)-1(=m<(-1)-f(0= =-lim/()-f(0) f'(0),即f(0)=-f(0) 由∫(O)存在,→∫(0)=f(0)=f(0),→f(0)=-f(0),→f(0)=0 简提可导周期函数的导函数为周期函数,且周期不变 五.关于可导性的一些结果 1.若f(x)是初等函数,则∫(x)也是初等函数.在初等函数∫(x)的定义域内,导函 数∫(x)不存在的点是函数f(x)的不可导点.例如函数∫(x)=x3的定义域是R,但 导函数∫(x)=x3在点x=0没有定义,因此点x=0是函数f(x)=x3的不可导 点 参阅[4P114 2.存在仅在一点可导的函数.例如 (3x为无理数 该函数仅在点x=0可导 3.存在处处连续但处处不可导的函数.十九世纪后半叶,德国数学家 Weierstrass大约 在1875年首先给出了这样的一个函数,其后直到现在给出更为简单的这类函数的 例的工作一直在进行着.其中较简单的例可参阅F. Riesz(匈牙利人)著《泛函分 析》VolP3-5,或 Mark Lynch,《 a continuous, nowhere differentiable function》,Amer.Math. Monthly,wol99,№1,1992,P8-9.近年来,对这 问题给出了更一般的回答,即在某种意义下(在纲的意义下),连续但不可导的函 数要比连续且可导的函数多得多.可参阅丁传松著《实分析导论》(科学出版社, 1998.)P5-8
一．曲线的吻接: 曲线的吻接及其解析表达. 参阅[4]P112. 例 8 设 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + > = <+ = .0 , ,0 , ,0 ,2 sin )( 2 xcbx a x x x x xf 确定 、b 和 的值，使函数 在点 可导. ) a c xf )( x = 0 bca === 1 ,2 ( 四. 奇、偶函数和周期函数的导函数： 例 9 可导奇函数的导函数是偶函数. ( 给出用定义证和用链导公式证两种证法) 例 10 设 是偶函数且在点 可导 xf )( x = 0 , 则 f ′ = 0) 0 ( . 证 = − − − ===== − ′ = + → − −= → + t ftf x fxf f t xt x )0()( lim )0()( lim) 0 ( 0 0 ),0( )0()( lim 0 − → −= ′ − −= − f t ftf t 即 ).0()0( + − ′ = − ff ′ 由 存在， f ′ )0( ⇒ ′ = ′ = ′ ⇒ ′ = − ′ ⇒ ′ = .0)0( ),0()0( ),0()0()0( + − fffff f 简提可导周期函数的导函数为周期函数, 且周期不变. 五. 关于可导性的一些结果: 1. 若 是初等函数, 则 也是初等函数. 在初等函数 的定义域内, 导函 数 不存在的点是函数 的不可导点. 例如函数 xf )( ′ xf )( xf )( ′ xf )( xf )( 3 1 )( = xxf 的定义域是 R , 但 导函数 3 2 3 1 )( − ′ = xxf 在点 x = 0没有定义, 因此点 x = 0是函数 3 1 )( = xxf 的不可导 点. 参阅[4]P114. 2． 存在仅在一点可导的函数. 例如 ⎩ ⎨ ⎧ = ,0 . , , )( 2 为有理数 为无理数 x xx xf 该函数仅在点 可导 x = 0 . 3． 存在处处连续但处处不可导的函数. 十九世纪后半叶, 德国数学家 Weierstrass 大约 在 1875 年首先给出了这样的一个函数, 其后直到现在给出更为简单的这类函数的 例的工作一直在进行着. 其中较简单的例可参阅 F. Riesz (匈牙利人) 著《泛函分 析》Vol P3—5, 或 Mark Lynch , 《A continuous ， nowhere differentiable function 》，Amer . Math . Monthly, Vol 99, №1, 1992, P8—9. 近年来, 对这一 问题给出了更一般的回答, 即在某种意义下( 在纲的意义下), 连续但不可导的函 数要比连续且可导的函数多得多. 可参阅丁传松著《实分析导论》（科学出版社， 1998.）P5—8. 46
