《高等数学》Ⅱ一I课程教案 第五章定积分 教学目标与基本要求 1、理解定积分的概念和基本性质,使学生牢固掌握定积分概念,理解定积分 是一种和式极限,对定积分解决问题的思想有初步体会。 2、理解变上限定积分定义的函数及其求导定理,掌握牛顿-莱布尼茨公式。 通过学习,使学生更深入理解定积分和不定积分,微分和积分间的联系。 3、掌握定积分的换元法与分部积分法 4、了解广义积分的概念并会计算广义积分 5、了解定积分的近似计算法。 6、理解定积分的来源,几何及物理意义,为以后学习其他专业课程打下基础 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧 长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、 压力及函数的平均值等 二、教学内容及学时分配 第一节定积分的概念与性质 2学时 第二节微积分基本公式 2学时 第三节定积分的换元法和分部积分法 3学时 第四节反常积分 2学时 、教学内容的重点及难点 1、重点:定积分的概念和性质。微积分基本定理,积分的换元积分法。广 义积分 难点:定积分概念的规则。定积分的换元积分法和分步积分法的运用 四、教学内容的深化和拓宽: 1、无穷限反常积分的审敛法 2、无界函数的反常积分的审敛法 3、函数 五、思考题与习题 第一节:习题5-1P2336,7,8(5) 第二节:习题5-2p2402,3,5(2),69,10,12, 第三节:习题5-3p2491(单号),25,11(双号), 第四节:习题5-4p2561(1)(2)(3)(6)(8)2 六、教学方式(手段 本章主要采用讲授新课的方式。 第一节定积分的概念与性质 一、内容要点 1、定积分问题举例 (1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程 2、定积分定义 3、定积分慨念的意义 定积分慨念具有广泛的直观背景,在各种科技领域中有大量实际问题,都可归结为教学 上的定积分问题,这些问题再应用中有详细讨论 4、定积分的存在定理 连续或在区间上只有有限个第一类间断点,则定积分存在。 5、定积分的性质 (1)线性性(2)可加性(3)单调性(4)估值性(5)定积分中值定理 第五章定积分第1页共3页
《高等数学》Ⅱ—Ⅰ课程教案 第五章 定积分 第 1 页 共 3 页 第五章 定积分 一、教学目标与基本要求 1、理解定积分的概念和基本性质，使学生牢固掌握定积分概念，理解定积分 是一种和式极限，对定积分解决问题的思想有初步体会。 2、理解变上限定积分定义的函数及其求导定理，掌握牛顿-莱布尼茨公式。 通过学习，使学生更深入理解定积分和不定积分，微分和积分间的联系。 3、掌握定积分的换元法与分部积分法 4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。 5、了解定积分的近似计算法。 6、理解定积分的来源，几何及物理意义，为以后学习其他专业课程打下基础 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧 长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、 压力及函数的平均值等） 二、教学内容及学时分配： 第一节 定积分的概念与性质 2 学时 第二节 微积分基本公式 2 学时 第三节 定积分的换元法和分部积分法 3 学时 第四节 反常积分 2 学时 三、教学内容的重点及难点： 1、 重点：定积分的概念和性质。微积分基本定理，积分的换元积分法。广 义积分。 2、难点：定积分概念的规则。定积分的换元积分法和分步积分法的运用 四、教学内容的深化和拓宽： 1、 无穷限反常积分的审敛法 2 、无界函数的反常积分的审敛法 3 、Γ 函数 五、思考题与习题 第一节：习题 5-1 P233 6,7,8(5), 第二节：习题 5-2 p240 2,3,5(2),6,9,10,12, 第三节：习题 5-3 p249 1（单号），25，11（双号）， 第四节：习题 5-4 p256 1(1)(2)(3)(6)(8),2 六、教学方式（手段） 本章主要采用讲授新课的方式。 第一节 定积分的概念与性质 一、内容要点 1、 定积分问题举例 （1）曲边梯形的面积 （2）变速直线运动的路程 2、 定积分定义 3、 定积分慨念的意义 定积分慨念具有广泛的直观背景，在各种科技领域中有大量实际问题，都可归结为教学 上的定积分问题，这些问题再应用中有详细讨论。 4、定积分的存在定理 连续或在区间上只有有限个第一类间断点，则定积分存在。 5、 定积分的性质 （1） 线性性 （2）可加性 （3）单调性 （4）估值性 （5）定积分中值定理
《高等数学》Ⅱ一I课程教案 教学要求与注意点 教学要求:正确理解定积分的概念极其简单性质 注意点 ()J(x)k=J(M(2)J(x)=0()(x)=-丁,/x (4)定积分的几何意义(5)用定义计算「x2dx 第二节微积分基本公式 内容要点 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 积分上限函数 f()d 3、积分上限函数的导数(=f(x) 4、牛顿一莱布尼兹公式 f(x)dx= F(b)-F(a) 5、举例 例1「 例2 dx例3 例4设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,证明:在开区间(a,b)内至少 存在一点,使Jf(x=f(Mb-a)(a0,证明:F(x)J(h f(rdt 在(0,+∞)内为单调增加函数 例6求imma 教学要求与注意点 教学要求:正确理解定积分的概念极其简单性质,掌握定积分基本定理,会 用牛顿一莱布尼兹公式计算定积分 注意点:牛顿一莱布尼兹公式的条件 第三节定积分的换元法和分布积分法 、内容要点 1、定积分换元法:换元公式!f(x)k=Jf(ot 2、定积分布积分法:分布积分公式∫mh=[n]-mh 3、举例 二、教学要求与注意点 教学要求能正确和熟练的运用定积分的换元积分法和分部积分法 注意点定积分的换元积分法 第四节反常积分(广义积分) 、内容要点 1无穷限的反常积分 第五章定积分第2页共3页
《高等数学》Ⅱ—Ⅰ课程教案 第五章 定积分 第 2 页 共 3 页 二、教学要求与注意点 教学要求：正确理解定积分的概念极其简单性质。 注意点： (1) ( ) ( ) b b a a f x dx f t dt = (2) ( ) 0 a a f x dx = (3) ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx = − (4) 定积分的几何意义 （5） 用定义计算 1 2 0 x dx 第二节 微积分基本公式 一、内容要点 １、 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 ２、 积分上限函数 ( ) x a f t dt ３、 积分上限函数的导数 ( ) ( ) x a d f t dt f x dx = ４、 牛顿—莱布尼兹公式 ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a = − ５、 举例 例 1 1 2 0 x dx 例 2 3 2 1 1 1 dx x − + 例 3 1 2 1 dx x − − 例4 设函数 f (x)在闭区间 [a，b] 上连续，证明：在开区间（a，b）内至少 存在一点，使 ( ) ( )( ) ( ) b a f x dx f b a a b = − 例5 设函数 f（x）在[0，+）内连续，并且 f（x）>0 ，证明：F（x）= 0 0 ( ) ( ) x x tf t dt f t dt 在（0，+）内为单调增加函数。 例6 求 1 2 cos 2 0 lim t x x e dt x − → 二、教学要求与注意点 教学要求：正确理解定积分的概念极其简单性质，掌握定积分基本定理，会 用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分 注意点：牛顿—莱布尼兹公式的条件 第三节 定积分的换元法和分布积分法 一、内容要点 １、 定积分换元法：换元公式 ( ) ( ( )) b a f x dx f t dt = ２、 定积分分布积分法：分布积分公式 b b b a a a uv dx uv vu dx = − ３、 举例 二、教学要求与注意点 教学要求 能正确和熟练的运用定积分的换元积分法和分部积分法 注意点 定积分的换元积分法 第四节 反常积分（广义积分） 一、内容要点 １ 无穷限的反常积分
《高等数学》Ⅱ一I课程教案 (1)J。f(x)k=m/(x)dk (2)_/(x)dr=lim),/()dr (3)f(x)dx= f(x)dx+f(x)dx 2无界函数的反常积分 (1)(xk=m(xhf()∈C(b点a为的瑕点ta (2)f()dx=lim f(x) f(x)∈Cab),点为f(x)的瑕点t<b (3)J(xk=Jx)+f(x)df(x)eC{lbe点c为)的瑕点 3例题分析 、教学要求与注意点 教学要求并会计算一些较为简单的广义积分,了解积分的审敛法。 注意点无穷限的反常积分、无界函数的反常积分 第五章定积分第3页共3页
《高等数学》Ⅱ—Ⅰ课程教案 第五章 定积分 第 3 页 共 3 页 （1） ( ) ( ) t a a t f x dx lim f x dx + →+ = （2） ( ) ( ) b b t t f x dx lim f x dx − →− = （3） 0 0 ( ) ( ) ( ) b f x dx f x dx f x dx + − − = + ２ 无界函数的反常积分 （1） ( ) ( ) b b a t t a f x dx lim f x dx → + = f x C ( ) (a,b],点 a 为 f(x)的瑕点 t>a （2） ( ) ( ) b t a a t b f x dx lim f x dx → − = f x C ( ) [a,b）,点为 f(x)的瑕点 t<b （3） ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx = + f x C ( ) {[a,b]-c},点 c 为 f(x)的瑕点 ３ 例题分析 二、教学要求与注意点 教学要求 并会计算一些较为简单的广义积分，了解积分的审敛法。 注意点 无穷限的反常积分 、无界函数的反常积分
