Ch5微分学的基本定理及其应用 计划课时:16学时 P174235 2004.I1,0 §1中值定理(3时 极值概念 1.极值:图解,定义(区分一般极值和严格极值) 2.可微极值点的必要条件: Th( Fermat)(证) 函数的稳定点,稳定点的求法 二.微分中值定理: 1.Roll中值定理:叙述为Th1.(证)定理条件的充分但不必要性 2. Lagrange中值定理:叙述为Th2.(证)图解 用分析方法引进辅助函数,证明定理.也可用几何直观引进辅助函数 Lagrange中值定理的各种形式关于中值点的位置 系1函数f(x)在区间I上可导且f(x)≡0,→f(x)为I上的常值函数(证) 系2函数f(x)和g(x)在区间I上可导且 f(x)≡g(x),→f(x)=g(x)+c,x∈L 系3设函数f(x)在点x0的某右邻域U,(x0)上连续,在∪(x0)内可导.若 imf(x)=f(x+0)存在,则右导数f(x0)也存在,且有∫(x0)=f(x0+0)(证) 但是,∫(x0+0)不存在时,却未必有f(x0)不存在.例如对函数 x sin X≠ f(x) 0, 0, 虽然∫(0+0)不存在,但∫(x)却在点x=0可导(可用定义求得f(0)=0) Th(导数极限定理)设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内连续,在∪(x)内 可导.若极限Imf(x)存在,则∫(x)也存在,且∫(x)=limf(x).(证) 由该定理可见,若函数f(x)在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函数 f(x)的连续点,要么是∫(x)的第二类间断点.这就是说,当函数f(x)在区间I上 点点可导时,导函数∫(x)在区间I上不可能有第二类间断点 系4(导函数的介值性)若函数∫在闭区间{a,b上可导,且∫(a)(b)<0, →3∈(a,b),3f(5)=0.(证) Th( Darboux)设函数∫(x)在区间[a,b上可导且f∫(a)≠∫(b).若k为介于 f'(a)与∫(b)之间的任一实数,则彐∈(a,b),3f'()=k (设∫(b)<k<∫(a),对辅助函数F(x)=f(x)-kx,应用系4的结果(证) 3. Cauchy中值定理 Th3设函数∫和g在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,∫'和g'在(a,b) 内不同时为零,又g(a)≠g(b).则在(a,b)内至少存在一点ξ,使 f∫'(5)f(b)-f(a) g(5)g(b)-g(a)
Ch 5 微分学的基本定理及其应用 计划课时： 16 学时 P174—235 2004．11．05. § 1 中值定理 （ 3 时 ） 一、 极值概念： 1．极值： 图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. ) 2．可微极值点的必要条件: Th ( Fermat ) ( 证 ) 函数的稳定点, 稳定点的求法. 二. 微分中值定理: 1. Rolle 中值定理: 叙述为 Th1. ( 证 ) 定理条件的充分但不必要性. 2．Lagrange 中值定理: 叙述为 Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理. 也可用几何直观引进辅助函数. Lagrange 中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 系 1 函数 在区间 xf )( I 上可导且 ′ xf ⇒≡ xf )( ,0)( 为 I 上的常值函数. (证) 系 2 函数 和 在区间 xf )( xg )( I 上可导且 ′ ≡ ′ +=⇒ cxgxfxgxf ,)()( ),()( x ∈I. 系 3 设函数 在点 的某右邻域 上连续, 在 内可导. 若 存在, 则右导数 也存在, 且有 xf )( 0 x )( 0 x ∪+ )( 0 + x D ∪ 0 )0()(lim0 ′ = ′ + → + xfxf xx )( 0 xf + ′ ).0()( + ′ 0 = ′ xfxf 0 + (证) 但是, ′ xf 0 + )0( 不存在时, 却未必有 不存在 + ′ xf 0 )( . 例如对函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = .0 ,0 ,0 , 1 sin )( 2 x x x x xf 虽然 不存在 f ′ + )00( , 但 却在点 可导 xf )( x = 0 (可用定义求得 f ′ = 0)0( ). Th ( 导数极限定理 ) 设函数 在点 的某邻域 内连续, 在 内 可导. 若极限 存在, 则 也存在, 且 xf )( 0 x )( 0 ∪ x )( 0 x D ∪ )(lim0 xf xx ′ → )( 0 ′ xf ).(lim)( 0 0 xfxf xx ′ = ′ → ( 证 ) 由该定理可见, 若函数 在区间 I 上可导, 则区间 I 上的每一点, 要么是导函数 的连续点, 要么是 的第二类间断点. 这就是说, 当函数 在区间 I 上 点点可导时, 导函数 在区间 I 上不可能有第二类间断点. xf )( ′ xf )( ′ xf )( xf )( ′ xf )( 系 4 ( 导函数的介值性 ) 若函数 在闭区间 上可导 f ba ],[ , 且 ′ ′ < ,0)()( −+ bfaf ξ ∋∈∃⇒ fba ′ ξ = .0)( ),,( ( 证 ) Th ( Darboux ) 设函数 在区间 上可导且 xf )( ba ],[ ′ ≠ ′ bfaf )()( . 若 为介于 与 之间的任一实数, 则 k ′ af )( ′ bf )( ξ ∈∃ ∋ ′ ξ = kfba .)( ),,( （设 ′ << ′ afkbf ),()( 对辅助函数 = )()( − kxxfxF , 应用系 4 的结果. ( 证 )） 3．Cauchy 中值定理: Th 3 设函数 f 和 g 在闭区间 上连续 ba ],[ , 在开区间 内可导 ba ),( , f ′和 g′ 在 内不同时为零, 又 则在 内至少存在一点 ba ),( =/ bgag ).()( ba ),( ξ, 使 )()( )()( )( )( agbg afbf g f − − = ′ ′ ξ ξ
证分析引出辅助函数F(x)=f()-(b)-f(a) g(x).验证F(x)在[a,b上满 (b)-g(a) 足Role定理的条件,→3∈(an,b), F'(5)=f(5)- g(5)=0. g(b)-g(a) 必有g'()≠0,因为否则就有∫'()=0.这与条件“∫'和g'在(a,b)内不同时为 零”矛盾.→ Ccly中值定理的几何意义 Ex[P1791-4 三.中值定理的简单应用:(讲1时 1.证明中值点的存在性:参阅[3]P104 例1设函数∫在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则彐5∈(a,b),使得 b f(b)-f(a)=5ln-·f'() 证在Cach中值定理中取g(x)=nx 例2设函数∫在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且有f(a)=∫(b)=0.试证明 3ξ∈(a,b),)f(5)-f(5)=0 2.证明恒等式:原理 例3证明对Vx∈R,有 ariga+ arctan=f 例4设函数∫和g可导且f(x)≠0,又 ∫9≠0.则g(x)=cf(x).(证明 例5设对x,h∈R,有|f(x+h)-f(x)≤Mh2,其中M是正常数则函数 f(x)是常值函数 (证明∫=0) 3.证明不等式:原理 例6证明不等式h>0时 h 1+h2 g<arctgh< h 例7证明不等式:对n,有—,<ln(1+-)< n+1 4.证明方程根的存在性 例8证明方程sinx+ Xcosx=0在(0,丌)内有实根 例9证明方程4ax3+3bx2+2cx=a+b+c在(0,1)内有实根 Ex[1jP163- §2 Taylor公式(3时) 问题和任务 用多项式逼近函数的可能性;对已知的函数,希望找一个多项式逼近到要求的精度 二. Taylor(1685-1731)多项式: 定义( Taylor多项式P(x)及 Maclaurin多项式) 例1求函数f(x)=x3-4x2+2在点x0=2的ayor多项式 Taylor公式和误差估计: Rn(x)=∫(x)-P(x)为余项.称给出Rn(x)的定量或定性描述的式
证 分析引出辅助函数 xfxF )()( −= )()( )()( agbg afbf − − xg )( . 验证 在 上满 足 Rolle 定理的条件, xF )( ba ],[ ∃⇒ ξ ∈ ba ),,( ∋ ′ ξ = fF ′ ξ )()( − )()( )()( agbg afbf − − g′ ξ = .0)( 必有 g′ ξ =/ 0)( , 因为否则就有 f ′ ξ = 0)( .这与条件“ f ′ 和 g′ 在 内不同时为 零”矛盾. ba ),( ⇒ "" Cauchy 中值定理的几何意义. Ex [1]P179 1—4； 三．中值定理的简单应用: ( 讲 1 时 ) 1. 证明中值点的存在性: 参阅[3]P104. 例 1 设函数 在区间 上连续 f ba ],[ , 在 内可导 ba ),( , 则∃ξ ∈ ba ),( , 使得 − afbf )()( f ξξ )(ln a b ⋅= ′ . 证 在 Cauchy 中值定理中取 = ln)( xxg . 例 2 设函数 在区间 f ba ],[ 上连续, 在 ba ),( 内可导, 且有 = bfaf = 0)()( .试证明: ξ ξ −∋∈∃ ffba ′ ξ = 0)()( ),,( . 2． 证明恒等式: 原理. 例 3 证明: 对 x ∈∀ R , 有 2 π arctgx arcctgx =+ . 例 4 设函数 f 和 g 可导且 xf ≠ ,0)( 又 = .0 gf ′′ gf 则 = xcfxg )()( .( 证明 ′ = 0) ( f g . ) 例 5 设对 hx , ∈∀ R , 有 , 其中 2 ≤−+ |)()(| Mhxfhxf M 是正常数. 则函数 xf )( 是常值函数. (证明 f ′ = 0 ). 3． 证明不等式: 原理. 例 6 证明不等式: h > 0时, harctgh h h << + 2 1 . 例 7 证明不等式: 对 ，有 ∀n n nn 1 ) 1 1 ln( 1 1 <+< + . 4. 证明方程根的存在性: 例 8 证明方程 xxx =+ 0cossin 在 π ),0( 内有实根. 例 9 证明方程 234 ++=++ cbacxbxax 在 内有实根. 3 2 ) 1 , 0 ( Ex [1]P163—164 § 2 Taylor 公式 ( 3 时 ) 一. 问题和任务: 用多项式逼近函数的可能性; 对已知的函数, 希望找一个多项式逼近到要求的精度. 二. Taylor( 1685—1731 )多项式: 定义 ( Taylor 多项式 n xP )( 及 Maclaurin 多项式 ) 例 1 求函数 24)( 在点 的 Taylor 多项式. 23 xxxf +−= x0 = 2 三. Taylor 公式和误差估计: 称 n −= n xPxfxR )()()( 为余项 . 称给出 的定量或定性描述的式 xR )( n 51
f(x)=P(x)+Rn(x)为函数f(x)的 Taylor公式 1.误差的定量刻画(整体性质)— Taylor中值定理: Th1设函数∫满足条件 i>在闭区间[a,b]上∫有直到n阶连续导数 i)在开区间(a,b)内∫有n+1阶导数 则对x∈(an,b),彐5∈(a,b),使 (x)=f(a)+r(ax-a)+Va)(x-a)2+…+"(a)(x-ay”+ f(m(5) f(a) n+1) (x-a)= (x-a)+ k (n+1)! 证[1]P188-189 称这种形式的余项Rn(x)为 Lagrange型余项.并称带有这种形式余项的7 aylor公式为 具 Lagrange型余项的7 aylor公式. Lagrange型余项还可写为 fm(a+0(x-a) (x-a),∈(0,1) a=0时,称上述 Taylor公式为 Maclaurin公式,此时余项常写为 R (x) fnl(at)x”,0<6<1 关于aylo公式中 Lagrange型余项的进一步讨论可参阅: Alfano,G. Azpeitia, On the Lagrange reminder of the Taylor formula. Amer. Math. Monthly, 89 (1982) Ex[1]P192 2.误差的定性描述(局部性质)— Peano型余项: Th2若函数∫在点a的某邻域∪(a)内具有n-1阶导数,且f(a)存在,则 f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+ f"(a) (x-a)2+ (x-a)"+o((x-a)" 21 n 证设Rn(x)=f(x)-Pn(x),G(x)=(x-a)”.应用L' Hospital法则n-1次,并 注意到f(a)存在,就有 0 R,(x) Rm-l(x)=lin (-(x)-fm(a)-fm(a(x-a) x→aG(x) x→aG(n-1 n(n-1)…2(x-a) =m/ (n-1) 称R,(x)=(x-a))为ay1or公式的Pano型余项,相应的 Maclaurin公式的Pmo 型余项为Rn(x)=(x").并称带有这种形式余项的 Taylor公式为具 Peano型余项的 7 aylor公式(或 Maclaurin公式) 四函数的 Taylor公式(或 Maclaurin公式)展开: 1.直接展开: 例2求f(x)=e的 Maclaurin公式
xRxPxf )()()( n += n 为函数 的xf )( Taylor 公式. 1. 误差的定量刻画( 整体性质 ) —— Taylor 中值定理: Th 1 设函数 满足条件 f : ⅰ> 在闭区间 上 有直到 阶连续导数 ba ],[ f n ; ⅱ> 在开区间 内 有 ba ),( f n +1阶导数. 则对 ξ ∈∃∈∀ babax ),,( ),,( 使 ++− +− ′′ += ′ +− n n ax n af ax af axafafxf )( ! )( )( !2 )( ))(()()( )( 2 " 1 )1( )( )!1( )( + + − + + n n ax n f ξ ∑= = +− n k k k ax k af 0 )( )( ! )( 1 )1( )( )!1( )( + + − + n n ax n f ξ . 证 [1]P188—189. 称这种形式的余项 为 Lagrange 型余项. 并称带有这种形式余项的 Taylor 公式为 具 Lagrange 型余项的 Taylor 公式. Lagrange 型余项还可写为 xR )( n ,)( )!1( ))(( )( 1 )1( + + − + −+ = n n n ax n axaf xR θ θ ∈ ) 1 , 0( . a = 0 时, 称上述 Taylor 公式为 Maclaurin 公式, 此时余项常写为 ,)( )!1( 1 )( + )1( +1 + = n n n xxf n xR θ < θ < 10 . 关于Taylor公式中Lagrange型余项的进一步讨论可参阅: Alfono, G. Azpeitia, On the Lagrange remeinder of the Taylor formula.Amer. Math. Monthly, 89(1982). Ex [1]P192 2． 误差的定性描述( 局部性质 ) —— Peano 型余项: Th 2 若函数 在点 的某邻域 内具有 f a ∪ a)( n −1阶导数, 且 )( 存在, 则 )( af n ++− +− ′′ += ′ +− n n ax n af ax af axafafxf )( ! )( )( !2 )( ))(()()( )( 2 " ( ) n D − ax )( , 证 设 n −= n xPxfxR )()()( , . 应用 n −= axxG )()( L′ Hospital 法则 n −1次, 并 注意到 )( 存在, 就有 )( af n ==== = − − → → )( )( lim )( )( lim )1( )1( 0 0 xG xR xG xR n n n ax n ax )(2)1( ))(()()( lim )1( )1( )( axnn axafafxf n n n ax −− −− − − − → " = 0)( )()( lim ! 1 )( )1( )1( =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = − − → af ax afxf n n n n ax . 称 ( ) n n D −= axxR )()( 为 Taylor 公式的 Peano 型余项, 相应的 Maclaurin 公式的 Peano 型余项为 . 并称带有这种形式余项的 Taylor 公式为具 Peano 型余项的 Taylor 公式( 或 Maclaurin 公式 ). )()( n n = D xxR 四. 函数的 Taylor 公式( 或 Maclaurin 公式 )展开: 1. 直接展开: 例 2 求 的 Maclaurin 公式. x )( = exf 52
解c=1+x+x+…+x+ (0<6<1) nl(n+1)! 例3求f(x)=Sinx的 Maclaurin公式 解 SInx=x (2m-1)+E2m(x) 2m+ Rm(x) (2m+Di Sin a+(m+a)I 0<6<1 例4求函数∫(x)=ln(1+x)的具 peano型余项的 Maclaurin公式 解f"(x)=(-1)x(-1)!f((0)=(-1)y-(n-1) (1+x) In(1+x)=x +(-1)nx +o(x") 例6把函数f(x)=gx展开成含x3项的具 Peano型余项的 Maclaurin公式 2.间接展开:利用己知的展开式,施行代数运算或变量代换,求新的展开式 例6把函数f(x)=sinx2展开成含x4项的具 Peano型余项的 Maclaurin公式 SInx=x +o(x) 3!5!7 sinx = x 351-n+( 例7把函数f(x)=cos2x展开成含x°项的具 Peano型余项的 Maclaurin公式 2!4!6 o(x°), 4x426x6 COS 2x +(x°),(注意,o(kx)=(x),k≠0) 2x425x6 cOS x=-(+ cos 2x)=1-x 3! 6(x5) 例8先把函数∫(x)=,展开成具 Peano型余项的 Maclaurin公式.利用得到的 展开式,把函数g(x) 3+5x 在点x0=2展开成具 Peano型余项的 Taylor公式 解f f("(0)=(-1)”n f(x)=1-x+x2-x+…+(-1)"x"+o(x); g(x) 3+5x13+5(x-2)131,5( (x-2)+(5)(x-2-+(1)5(x-y)+.(x-2y) 例9把函数shx展开成具 Peano型余项的 Maclaurin公式,并与sinx的相应展开式 进行比较
解 ) 10 ( , )!1(!!2!1 1 1 2 << + +++++= + θ θ n n x x x n e n xxx e " . 例 3 求 = sin)( xxf 的 Maclaurin 公式. 解 )( )!12( ) 1 ( !5!3 sin 2 12 1 53 xR m xx x xx m m m + − −+−+−= − " − , 10 ,) 2 1 (sin )!12( )( 12 2 ⎟ << ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ + = + θ mx π θ m x xR m m . 例 4 求函数 += xxf )1ln()( 的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . 解 )!1() 1()0( , )1( )!1( ) 1()()( 1 )( 1 −−= + − −= − − f n x n xf n n n n n . )() 1( 32 )1ln( 1 32 n n n x n xx x xx " +−+−+−=+ D − . 例 6 把函数 )( = tgxxf 展开成含 项的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . 5 x 2. 间接展开: 利用已知的展开式, 施行代数运算或变量代换, 求新的展开式. 例 6 把函数 展开成含 项的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . 2 = sin)( xxf 14 x 解 ) ( !7!5!3 sin 7 753 x xxx xx +−+−= D , ) ( !7!5!3 sin 14 106 14 22 x xxx xx +−+−= D . 例 7 把函数 xxf 展开成含 项的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . 2 = cos)( 6 x 解 ) ( !6!4!2 1cos 6 642 x xxx x +−+−= D , ), ( !6 2 !3 4 212cos 6 664 2 x xx xx +−+−= D ( 注意, = DD kxkx ≠ 0 ),()( ) ∴ ) ( !6 2 !3 2 1)2cos1( 2 1 cos 6 654 2 2 x xx x xx +−+−=+= D . 例 8 先把函数 x xf + = 1 1 )( 展开成具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . 利用得到的 展开式, 把函数 x xg 53 1 )( + = 在点 展开成具 2 Peano 型余项的 Taylor 公式. x0 = 解 , )1( !)1( 1 )( + + − = n n n x n f !)1()0( . )( f n n n −= 1)( ); ()1( 32 nn n xxxxf " +−++−+−= D xx 13 )2(5 1 1 13 1 )2(513 1 53 1 )( − + = −+ = + = xx x xg = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+−−+−− − nn n x x x )2() 13 5 () 1()2() 13 5 ()2( 13 5 1 13 1 2 2 " + ( ).)2( n D x − 例 9 把函数 展开成具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 ，并与 的相应展开式 进行比较. shx sin x 53
解ex x!x +o( x (-1)-+o(x e sInx=x- +=-)“x+ (2m-1)! 五. Taylor公式应用举例: 1.证明e是无理数 例10证明e是无理数 证把e展开成具 Lagrange型余项的 Maclaurin公式,有 e=1+1+ +…+一+ 09,ne=n也是整数于是es P n2-整数=整数一整数=整数但由 03时,不可能是整数.矛盾 n+1 2.计算函数的近似值: 例11求e精确到0.000001的近似值 解 0<5<1 nl(n+1)! 注意到0<5<1→0<e<e<3,有|R(1)≤ <0.000001 (n+ 1)为使 只要取n≥9.现取n=9,即得数e的精确到0.0000010的近似值为 e≈1+1+-+-+…+-≈2.718281 3.利用 Taylor公式求极限:原理
解 ), ( !!2!1 1 2 n n x x n xxx e +++++= D" )( ! )1( !2!1 1 2 n n x n x n xx x e " +−+−+−= D ; ∴ ) ( 2 )!12(!5!3 12 53 12 − − − + − ++++= − = m xx m x m xxx x ee shx " D . 而 ) ( )!12( )1( !5!3 sin 12 53 121 − −− + − − +−+−= m mm x m xx x xx " D . 五. Taylor 公式应用举例: 1. 证明 是无理数 e : 例 10 证明 是无理数 e . 证 把 展开成具 e x Lagrange 型余项的 Maclaurin 公式, 有 10 , )!1(! 1 !3 1 !2 1 11 ∀ 也是整数. 于是, −⋅= + q p n n e ! 1 ξ 整数 = 整数―整数 = 整数.但由 0 ,10 ee 3 n +1 eξ 不可能是整数. 矛盾. 2． 计算函数的近似值: 例 11 求 精确到 的近似值 e 000001.0 . 解 10 , )!1(! 1 !3 1 !2 1 11 << + ++++++= ξ ξ n e n e " . 注意到 0 ,10 ee <<<⇒<< ,3 有 ξ ξ )!1( 3 ) 1 ( + ≤ n Rn . 为使 000001.0 )!1( 3 < n + , 只要取 n ≥ 9 . 现取n = 9, 即得数e 的精确到 的近似值为 000001.0 718281.2 !9 1 !3 1 !2 1 e 11 " ≈+++++≈ . 3. 利用 Taylor 公式求极限: 原理: 54
例12求极限lma2+a-x-2 =1+xIna+In a +o(x) 1-xIna+ a+o x +a-2=xIn a+o(x) 3.证明不等式:原理 例13证明:x≠0时,有不等式e2>1+x ]P192-193 §3运用导数研究函数性态(6时) 可微函数单调性判别法 单调性判 Th1设函数∫(x)在区间(a,b)内可导.则在(a,b)内f(x)/(或)分在(a,b)内 f(x)≥0(或≤0) 证←)。→)(证f(x)≥0 Ih2设函数∫(x)在区间(a,b)内可导.则在(a,b)内∫(x)’’(或、)→i> 对vx∈(a,b),有∫(x)≥0(或≤0);ⅱ>在(a,b)内任子区间上∫(x)≠0 2.单调区间的分高:∫(x)的升、降区间分别对应f(x)的非负、非正值区间 例1分离函数f(x)=x3-x的单调区间 二、可微极值点判别法:极值问题:极值点,极大值还是极小值,极值是多少 1.可微极值点的必要条件: Fermat定理(表述为Th3) 函数的驻点和(连续但)不可导点统称为可疑点,可疑点的求法 2.极值点的充分条件:对每个可疑点,用以下充分条件进一步鉴别是否为极值点 Th4(充分条件I)设函数∫(x)在点x连续,在邻域(x0-6,x0)和(x0,x0+6) 内可导.则 i>在(x。-6,x0)内f(x)0时 为 f(x)的一个极小值点 i>在(x0-d,x0)内∫(x)>0,在(x,x0+d)内∫(x)0时,x为f(x)的一个极小值点
例 12 求极限 ) 0 ( , 2 lim 2 0 > −+ − → a x aa xx x . 解 ) (ln 2 ln1 2 2 2 ln xa x axea axx +++== D , ) (ln 2 ln1 2 2 2 xa x axa x ++−= D − ; ). (ln2 22 2 xaxaa xx +=−+ D − ∴ a x xax x aa x xx x 2 2 22 2 0 2 0 ln ) (ln lim 2 lim = + = −+ → − → D . 3． 证明不等式： 原理. 例 13 证明: x ≠ 0 时, 有不等式 xe . x 1+> Ex [1]P192-193 §3 运用导数研究函数性态（ 6 时 ） 一、 可微函数单调性判别法： 1．单调性判法： Th 1 设函数 在区间 内可导 xf )( ba ),( . 则在 ba ),( 内 ↗xf )( (或↘) ⇔ 在 内 ( 或 ). ba ),( ′ xf ≥ 0)( ≤ 0 证 ⇐)。 ⇒) ( 证 ′ ≥ 0)( . + xf ) Th 2 设函数 在区间 内可导 xf )( ba ),( . 则在 ba ),( 内 xf )( ↗↗( 或↘↘) ⇔ ⅰ> 对 ∈∀ bax ),,( 有 ′ xf ≥ 0)( ( 或≤ )0 ; ⅱ> 在 内任子区间上 ba ),( ′ xf ≡/ .0)( 2． 单调区间的分离: xf )( 的升、降区间分别对应 ′ xf )( 的非负、非正值区间. 例 1 分离函数 −= xxxf 的单调区间. 3 )( 二、可微极值点判别法: 极值问题: 极值点, 极大值还是极小值, 极值是多少. 1．可微极值点的必要条件: Fermat 定理( 表述为 Th3 ). 函数的驻点和(连续但)不可导点统称为可疑点, 可疑点的求法. 2． 极值点的充分条件: 对每个可疑点, 用以下充分条件进一步鉴别是否为极值点. Th 4 (充分条件Ⅰ) 设函数 在点 连续 xf )( x0 , 在邻域 ) , ( 0 0 −δ xx 和 ) , ( xx 00 + δ 内可导. 则 ⅰ> 在 ) , ( 0 0 −δ xx 内 ′ xf 0)( 时, 为 的一个极小值点; ⇒ 0 x xf )( ⅱ> 在 ) , ( 0 0 −δ xx 内 ′ xf > ,0)( 在 ) , ( xx 00 + δ 内 ′ xf 若 ′ xf )( 在上述两个区间内同号, 则 不是极值点. 0 x Th 5 (充分条件Ⅱ——“雨水法则”)设点 x0 为函数 的驻点且 xf )( )( 0 ′′ xf 存在.则 ⅰ> 当 0)( 时, 为 的一个极大值点; ′′ xf 0 当 0)( 时, 为 的一个极小值点. ′′ xf 0 > 0 x xf )( 55
证法一f"(x0)=li f(x)-f(x)、 f(x) 当f"(x0)n为奇数时,x不是极值点 i>n为偶数时,x0是极值点.且f(x0)>0对应极小;fm(x0)单调函数的最值 i)如果函数f(x)在区间[a,b]上可导且仅有一个驻点,则当x0为极大值点时,x0 亦为最大值点;当x。为极小值点时,x0亦为最小值点 i)若函数f(x)在R内可导且仅有一个极大(或小)值点,则该点亦为最大(或小)值 iv〉对具有实际意义的函数,常用实际判断原则确定最大(或小)值点. Ex[1]P214-215 最值应用问题 A 1.5km lkm x E D 例4A、B两村距输电线(直线)分别为lkm和1.5km(如图),CD长3km.现 两村合用一台变压器供电.问变压器设在何处,输电线总长AE+BE最小 解设x如图,并设输电线总长为L(x).则有 L(x)=AE+EB=√x2+1+y(-x)2+1.52,0≤x≤3 L)sx√3-x)2+152-(3-x)x2+1令 √(3-x)2+152√x2 →x√(3-x)2+1.52=(3-x)yx2+1 1.25x2+6x-9=0 解得x=1.2和x=-6(捨去 答 四.利用导数证明不等式 我们曾在前面简介过用中值定理或 Taylor公式证明不等式的一些方法,其实,利用导 数证明不等式的方法至少可以提出七种(参阅[3P112-142).本段仅介绍利用单调性 或极值证明不等式的简单原理 1.利用单调性证明不等式:原理:若∫,则对Va<B,有不等式 f(a)≤f(B)
证法一 . )( lim )()( lim)( 0 0 0 0 0 0 xx xf xx xfxf xf xx xx − ′ = − ′ − ′ ′′ = → → 当 0)(′′ xf 0 n 为奇数时, 不是极值点; 0 x ⅱ> n 为偶数时, 是极值点. 且 对应极小; 对应极大. 0 x 0)( 0 )( xf > n 0)( 0 )( xf 单调函数的最值: ⅱ> 如果函数 在区间 上可导且仅有一个驻点, 则当 为极大值点时, 亦为最大值点; 当 为极小值点时, 亦为最小值点. xf )( ba ],[ 0 x 0 x 0 x 0 x ⅲ> 若函数 xf )( 在 R 内可导且仅有一个极大(或小)值点, 则该点亦为最大(或小)值 点. ⅳ> 对具有实际意义的函数, 常用实际判断原则确定最大(或小)值点. Ex [1]P 214—215 最值应用问题: B 1.5km A 1km 例 4 A 、 B 两村距输电线（直线）分别为 和 （如图）， 长 . 现 两村合用一台变压器供电. 问变压器设在何处,输电线总长 1km 5.1 km CD km.3 AE + BE 最小. C x E D 解 设 x 如图，并设输电线总长为 xL )( .则有 )( .30 ,5.1)3(1 2 22 xEBAExL x +−++=+= x ≤≤ 0 1 5.1)3( 1)3(5.1)3( )( 222 22 2 令 === +⋅+− +−−+− ′ = x x xx xx xL , ⇒ 1)3(5.1)3( 22 2 xx xx +−=+− , .09625.1 2 xx =−+⇒ 解得 x = 2.1 和 x −= 6 ( 捨去 ). 答： …… 四． 利用导数证明不等式: 我们曾在前面简介过用中值定理或 Taylor 公式证明不等式的一些方法. 其实, 利用导 数证明不等式的方法至少可以提出七种 ( 参阅[3]P112—142 ). 本段仅介绍利用单调性 或极值证明不等式的简单原理. 1 ．利用单调性证明不等式 : 原 理 : 若 ↗f , 则 对 ∀α < β , 有不等式 α ≤ ff β )()( . 56
例5证明:对任意实数a和b,成立不等式 atb klal+b 1+|a+b|1+|a|1+|b 证取f(x)= (x≥0).f(x)= (1+x)2 >0,→在[0,+∞)内∫(x)’,于 是,由|a+b|≤|a|+|b,就有f(a+b|)≤f(la|+|b1),即 la+b al+ba +|a+b|1+|a|+|b|1+|a|+|b|1+|a|+|b|1+|al1+|b 2.不等式原理:[4]P169-171 不等式原理:设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续,在区间(a,+∞)内可导,且 f∫(x)>0:又f(a)≥0.则x>a时,f(x)>0.(不等式原理的其他形式.) 例6证明:x>时,ln(1+x2)> arctan-1 例7证明:x>0时,sinx>x-x 3.利用极值证明不等式 例8证明:x≠0时,ex>1+x Ex[1jP213-2151-20 五、凸性拐点 Jensen不等式(2时) (一)凸性的定义及判定 1.凸性的定义:由直观引入.强调曲线弯曲方向与上升方向的区别 定义设函数f(x)在区间[a,b]上连续.若对vx1,x2∈[a,b],恒有 2/≈f(x)+(x2,(或川+x2)f(x)+f(x) 则称曲线y=f(x)在区间[a,b]上是凹(或凸)的.若在上式中,当x1≠x2时,有严格 不等号成立,则称曲线y=f(x)在区间[a,b]上是严格叫(或严格凸)的.凹和凸也分别 称为上凸和下凸 凸性的几何意义:倘有切线,与切线的位置关系;与弦的位置关系;曲线的弯曲方向 Th设函数∫(x)在区间(a,b)内存在二阶导数,则在(a,b)内 (1)f"(x)0,→f(x)在(an,b)内严格下凸 该判别法也俗称为“雨水法则” 证法一(用 Taylor公式)对yx1,x2∈(a,b),设x x1+x2,把f(x)在点x展 开成具 Lagrange型余项的 Taylor公式,有 f(x)=f(x)+f(xx-x)+()(x-) f(x2)=/(x)+f"(xWx0)+(52) Mo 2 其中51和52在x1与x2之间.注意到x1-x0=-(x2-x0),就有 (x)+(x)=2(x)+[(cXx1-x)+m"(Xx-x)]于是 若有f(x)<0,→上式中[]<0.,→f(x1)+f(x2)<2f(x0),即f(x)严格上凸
例 5 证明: 对任意实数 和a b , 成立不等式 . 1 ||1 || ||1 b b a a ba ba + + + ≤ ++ + 证 取 ⇒> + ≥ ′ = + = ,0 )1( 1 )( ).0( , 1 )( 2 x xfx x x xf 在 + ∞ ) , 0 [ 内 ↗↗.于 是, 由 , 就有 xf )( +≤+ baba |||| || + ≤ + bafbaf ) |||| () || ( , 即 ||1 || ||1 || ||||1 || ||||1 || ||||1 |||| ||1 || b b a a ba b ba a ba ba ba ba + + + ≤ ++ + ++ = ++ + ≤ ++ + . 2. 不等式原理: [4]P169—171. 不等式原理 : 设函数 在区间 xf )( a ∞+ ) , [ 上连续,在区间 a + ∞ ) , ( 内可导,且 ′ xf > 0)( ; 又 af ≥ .0)( 则 x > a 时, xf > .0)( (不等式原理的其他形式.) 例 6 证明: 2 1 x > 时, )1ln( 1. 2 arctgxx −>+ 例 7 证明: x > 0时, !3 sin 3 x xx −> . 3．利用极值证明不等式: 例 8 证明: x ≠ 0 时, xe . x 1+> Ex [1]P 213—215 1-20； 五、 凸性 拐点 Jensen 不等式（ 2 时 ） （一） 凸性的定义及判定： 1．凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别. 定义 设函数 xf )( 在区间 上连续 ba ],[ . 若对 ],[, 21 ∀ ∈ baxx , 恒有 2 )()( 2 21 1 2 xfxfxx f + ⎟ ≥ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + , ( 或 2 )()( 2 21 1 2 xfxfxx f + ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + . ) 则称曲线 = xfy )( 在区间 ba ],[ 上是凹(或凸)的. 若在上式中, 当 21 ≠ xx 时, 有严格 不等号成立, 则称曲线 在区间 上是严格凹(或严格凸)的. 凹和凸也分别 称为上凸和下凸. = xfy )( ba ],[ 凸性的几何意义: 倘有切线, 与切线的位置关系; 与弦的位置关系; 曲线的弯曲方向. 2． 利用二阶导数判断曲线的凸向: Th 设函数 在区间 内存在二阶导数 xf )( ba ),( , 则在 内ba ),( ⑴ ′′ xf ⇒ xf )( ,0)( 在 内严格下凸 ba ),( . 该判别法也俗称为“雨水法则”. 证法一 ( 用 Taylor 公式 ) 对 21 ∈∀ baxx ),,(, 设 2 21 0 xx x + = , 把 在点 展 开成具 Lagrange 型余项的 Taylor 公式, 有 xf )( 0 x ,)( 2 )( ))(()()( 2 01 1 1 0 010 xx f xxxfxfxf − ′′ += ′ +− ξ 2 02 2 2 0 020 )( 2 )( ))(()()( xx f xxxfxfxf − ′′ += ′ +− ξ . 其中ξ 1和ξ 2 在 与 之间 x1 x2 . 注意到 )( 01 02 − = − − xxxx , 就有 [ ] 2 022 2 1 2 0 011 ))(())(( 2 1 )(2)()( +=+ ′′ ξ +− ′′ ξ − xxfxxfxfxfxf , 于是 若有 ′′ xf ,0)( ⇒< 上式中[ ] " ⇒< 1 + 2 < xfxfxf 0 )(2)()( ,0 , 即 严格上凸 xf )( . 57
若有f(x)>0.,→上式中【]>0,→f(x1)+f(x2)>2f(x),即f(x)严格下凸 证法二(利用 lagrange中值定理.)若f"(x)>0,则有f'(x)/,不妨设 x10, f'(1)(x0-x1)2f(x)=2x1+x2 ∫(x)严格下凸 可类证∫"(x)0(或<0),则对[a,b]上的任意n个 点xk(1≤k≤m),有 Jensen不等式 f(xk)2(或≤)f xk 且等号当且仅当x1=x2=…=xn时成立 证令x=∑x1,把(x)表为点x处具二阶Lmmg型余项的mr公式, 仿前述定理的证明,注意∑(x4-x)=0,即得所证 对具体的函数套用 Jensen不等式的结果,可以证明一些较复杂的不等式.这种证 明不等式的方法称为 Jensen不等式法或凸函数法.具体应用时,往往还用到所选函数 的严格单调性 例1证明:对x,y∈R,有不等式e2≤(ex+ey) 例2证明均值不等式:对Va1,a2,…,an∈R',有均值不等式
若有 ′′ xf ,0)( ⇒> 上式中[ ] " ⇒> 1 + 2 > xfxfxf 0 )(2)()( ,0 , 即 严格下凸 xf )( . 证法二 ( 利用 Lagrange 中值定理. ) 若 ′′ xf > ,0)( 则有 ′ xf )( ↗↗, 不妨设 1 0，⇒ ))(( 101 ′ ξ − xxf + 2 2)(2)()( 21 1 2 0 xx fxfxfxf ， xf )( 严格下凸. 可类证 的情况 ′′ xf 0)( ( 或< ) 0 , 则对 上的任意 n 个 点 , 有 Jensen 不等式: ba ],[ nkx )1( k ≤≤ ∑= ≥ n k k xf n 1 )( 1 ( 或 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ∑= n k k x n f 1 1 ) , 且等号当且仅当 n == " = xxx 21 时成立. 证 令 ∑= = n k k x n x 1 0 1 , 把 表为点 处具二阶 Lagrange 型余项的 Taylor 公式， 仿前述定理的证明，注意 ∑ 即得所证. )( k xf 0 x = =− n k k xx 1 0 ,0)( 对具体的函数套用 Jensen 不等式的结果, 可以证明一些较复杂的不等式. 这种证 明不等式的方法称为 Jensen 不等式法或凸函数法. 具体应用时, 往往还用到所选函数 的严格单调性. 例 1 证明: 对 yx ∈∀ R,, 有不等式 )( 2 1 2 yx yx +≤ eee + . 例 2 证明均值不等式: 对∀ 21 ",,, aaa n ∈ R+ , 有均值不等式 58
a,+… 证先证不等式{a2…ans4+a“+a,取f(x)=lhx.f(x)在 (0,+∞)内严格上凸,由 Jensen不等式,有 nx4=∑nx=∑f(x)sf∑x|= =1 由∫(x)→a1a2…an a1+a2+…+an 对 a2a∈R·用上述已证结果,即得均值不等式的左半端 例3证明:对Vx1,x2…,xn∈R,有不等式 x1+x,+…+x x+· (平方根平均值) 例4设x+y+z=6,证明x2+y2+z2≥12 解取f(x)=x2,应用 Jensen不等式 例6在△ABC中,求证sinA+sinB+smCs 解考虑函数∫(x)=sinx,0≤x≤丌.∫"=-sinx0,B>0,a3+B3≤2.求证a+B≤2.(留为作业) 解函数f(x)=x3在(0,+∞)内严格下凸由 Jensen不等式,有 (a+B)3 a+B).f(a)+f(B)_a3+B32 (a+B)≤8,→a+B≤2 Ex[P2l-216
aaa n n 111 21 "+++ n aaa aaa n n n + + + ≤ ≤ " " 21 21 . 证 先证不等式 n aaa aaa n n n + + + ≤ " " 21 21 . 取 = ln)( xxf . 在 内严格上凸, 由 Jensen 不等式, 有 xf )( ∞+ ) , 0 ( ∏ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ≤ n k n k k n k k k n k k n n k k x n x n fxf n x n x 1 1 1 1 1 1 ln 1 )( 1 ln 1 ln . 由 ↗↗ xf )( ⇒ n aaa aaa n n n +++ ≤ " " 21 21 . 对 + ∈ R n aaa 1 ,, 1 , 1 21 " 用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端. 例 3 证明: 对∀ 21 ",,, xxx n ∈ R , 有不等式 n xxx n xxx n n 2 2 2 2 21 1 +++ ≤ "+++ " . ( 平方根平均值 ) 例 4 设 zyx =++ 6 ，证明 12 . 222 zyx ≥++ 解 取 , 应用 Jensen 不等式. 2 )( = xxf 例 6 在⊿ 中 ABC , 求证 2 33 sinsinsin CBA ≤++ . 解 考虑函数 = ≤≤ π ′′ = − > α + β ≤ 2 . ( 留为作业 ) 解 函数 在3 )( = xxf + ∞ ) , 0 ( 内严格下凸. 由 Jensen 不等式, 有 = + ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + 2 )()( 8 2 2 )( 3 3 ff βαβαβαβα f ⇒=≤ + ,1 2 2 2 33 βα 2 , 8)( 3 βα βα ≤+⇒≤+ . Ex [1]P215-216 59
