Ch8定积分的应用和近似计算 计划课时:8时 P306-336 2005,02.20. Ch8定积分的应用和近似计算(8时) §1平面图形的面积(2时) 直角坐标系下平面图形的面积 1.简单图形:X-型和Y-型平面图形 2.简单图形的面积:给出X-型和Y-型平面图形的面积公式.对由曲线F(x,y)=0 和G(x,y)=0围成的所谓“两线型”图形,介绍面积计算步骤.注意利用图形的几何特征 简化计算.(参阅[4]P232-240E86-93) 例1求由曲线xy=1,x-y=0,x=2围成的平面图形的面积 例2求由抛物线y2=x与直线x-2y-3=0所围平面图形的面积 3.参数方程下曲边梯形的面积公式:设区间[a,b]上的曲边梯形的曲边由方程 x=x(1),y=y(),a≤t≤B,x(a)=a,x(B)=b给出又设x'(1)>0,就有 x(),于是存在反函数t=x-(x).由此得曲边的显式方程 y()=yx(x)] La,b] S=lly(x)]l dx=ly(ol x'(ndt 亦即S=「ylar=「y(o)ldz() 具体计算时常利用图形的几何特征 例3求由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a>0)的一拱与X轴所围平面图 形的面积.(3ma2) 二、极坐标下平面图形的面积:推导由曲线r=r(O)和射线O=a,O=B (α<β)所围“曲边扇形”的面积公式.(简介微元法,并用微元法推导公式,半径为 r,顶角为△b的扇形面积为r2△O.)
Ch 8 定积分的应用和近似计算 计划课时： 8 时 P 306—336 2005．02．20. Ch 8 定积分的应用和近似计算 （ 8 时 ） § 1 平面图形的面积 （ 2 时 ） 一、直角坐标系下平面图形的面积 ： 1．简单图形： X − 型和 型平面图形 Y − . 2．简单图形的面积 : 给出 X − 型和 型平面图形的面积公式. 对由曲线 和 围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征 简化计算. ( 参阅[4]P232—240 E86—93 ) Y − yxF = 0),( yxG = 0),( 例 1 求由曲线 xyxxy ==−= 2 , 0 , 1 围成的平面图形的面积. 例 2 求由抛物线 与直线 = xy 2 yx −− = 032 所围平面图形的面积. 3．参数方程下曲边梯形的面积公式： 设区间 上的曲边梯形的曲边由方程 ba ],[ = χ = , )( , )( α ≤ ttyytx ≤ β χ α = a χ β )( , )( , = b 给出 . 又设 χ′ t > 0)( , 就有 χ t)( ↗↗, 于是存在反函数 )( . 由此得曲边的显式方程 1 xt − = χ ],[ , )]([)( . 1 = ∈ baxxyty − χ , ∫ ∫ = = ′ − b a dtttydxxyS β α χ χ )(| )( || )]([ | 1 亦即 . ∫∫ == β α β α χ tdtydxyS )(| )( || | 具体计算时常利用图形的几何特征 . 例3 求由摆线 −= = − atayttax > 0)( ) cos1 ( , ) sin ( 的一拱与 X 轴所围平面图 形的面积. ( 3 ) 2 πa 二、极坐标下平面图形的面积 : 推导由曲线 = rr θ )( 和射线 θ = α θ = β , α < β ) ( 所围“曲边扇形”的面积公式 . (简介微元法 ，并用微元法推导公式 . 半径为 r , 顶角为Δθ 的扇形面积为 Δθ 2 2 1 r . )
A=52(e)de 例4求由双纽线r2=a2cos20所围平面图形的面积 解20,→0∈-x,2或|3x,x(可见图形夹在过极点,倾角为 ±z的两条直线之间).以-日代θ方程不变,→图形关于X轴对称;以丌-日代 ,方程不变,→图形关于Y轴对称。因此A=4·「a2cos2aO=ai EP3101-3 §2曲线的弧长(1时) 弧长的定义:定义曲线弧长的基本思想是局部以直代曲,即用折线总长的极限定 义弧长.可求长曲线 弧长计算公式:光滑曲线的弧长 设L:x=x(),y=y(1),a≤1≤B,又A((a),y(a),B((B),B),x()和 y(1)在区间[a,月上连续可导且x"2(1)+y2()≠0.则L上以A和B为端点的弧段的 弧长为 s=√z(o)2+y()hm 为证明这一公式,先证以下不等式:对Va,b,c∈R+,有 +c2|≤|b-c(Ch1§1Ex第5题P4).其几何意义是 在以点(ab),(a,c)和(0.0)为项点的三角形中两边之差不超过第三边.)事实上 b a2+b2+va2+c2 b1+lcl Ib+cl 为证求弧长公式,在折线总长表达式中,先用 Lagrange中值定理,然后对式 √x"2(5,)+y2(5;)插项进行估计.参阅P347 如果曲线方程为极坐标形式r=r(0),θ∈[a,,r(6)连续可导,则可写出其参数方 程x=r(6)cosb,y=r()sin6.于是
∫ = β α )( drA θθ 2 1 2 . 例4 求由双纽线 2cos θ 所围平面图形的面积 . 22 = ar 解 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −∈⇒≥ 4 , 4 , 02cos ππ θ θ 或 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ππ 4 5 , 4 3 . ( 可见图形夹在过极点, 倾角为 4 π ± 的两条直线之间 ) . 以 −θ 代θ 方程不变, ⇒ 图形关于 X 轴对称 ; 以π −θ 代 θ , 方程不变, ⇒ 图形关于Y 轴对称。因此 ∫ ⋅= = 4 0 2 2 2cos 2 1 4 π θθ adaA . Ex P310 1—3 § 2 曲线的弧长 ( 1 时 ) 一. 弧长的定义: 定义曲线弧长的基本思想是局部以直代曲 , 即用折线总长的极限定 义弧长 . 可求长曲线 . 二. 弧长计算公式 : 光滑曲线的弧长. 设 L : = χ tx )( ， ， = tyy )( α t ≤≤ β, 又 (χ α yA α ) (χ β y β)( , )(B , )( , )( )，χ t)( 和 ty )( 在区间 α β ],[ 上连续可导且 0)()( . 则 2 2 χ′ + ′ tyt ≠ L 上以 A 和 B 为端点的弧段的 弧长为 dttyts ∫ = ′ + ′ β α χ 2 2 )]([)]([ . 为证明这一公式 , 先证以下不等式 : 对 ,有+ ,, ∈∀ Rcba | || | 22 22 −≤+−+ cbcaba , ( Ch 1 §1 Ex 第 5 题 (P4) . 其几何意义是: 在以点 caba ),( , ),( 和 为顶点的三角形中 )0,0( ,两边之差不超过第三边 . ) 事实上， || || || |||| |||| | | 22 22 22 22 22 22 22 cb cb cb cb cb caba cb caba −= + − ≤ + − ≤ +++ − =+−+ . 为证求弧长公式 , 在折线总长表达式中 , 先 用 Lagrange 中值定理 , 然后对式 )()( 2 *2 i i ′ + y′ ξξχ 插项进行估计 . 参阅 [1]P347. 如果曲线方程为极坐标形式 = rr θ θ ∈ α β r θ )( ], , [ , )( 连续可导, 则可写出其参数方 程 = rx θ θ = ry θ sin)( ,cos)( θ . 于是 129
s-y120+-=0+r0Mo 例1一3P314-315 P316 §2体积(2时 已知幂势立体的体积:设立体之幂为A(x),x∈[a,b]推导出该立体之体积 V=A(x)dx 祖曜原理:夫幂势即同,则积不容异.(祖系祖冲之之子,齐梁时人,大约在 五世纪下半叶到六世纪初) 例1求由两个圆柱面x2+y2=a2和x2+x2=a2所围立体体积 例2计算由椭球面++=1所围立体(椭球)的体积 、旋转体的体积:定义旋转体并推导出体积公式 V=J/(x)dx 例3推导高为h,底面半径为r的正圆锥体体积公式 例4求由曲线x-y2=0和x-y=0所围平面图形绕X轴旋转所得立体体积 例5求由圆x2+(y-20)2≤25绕X轴一周所得旋转体体积(1000x2) 例6D:y=e-x,x=0,X轴正半轴.D绕X轴旋转.求所得旋转体体积 Ex P319 4旋转曲面的面积(1时) 用微元法推出旋转曲面的面积公式
θθθθθθχ β α β α s drrdy ∫ ∫ = ′ + ′ )]([)]([ += ′ )()( 2 2 2 2 . 例 1 — 3 P314—315 . Ex P316. § 2 体积 （ 2 时 ） 一、已知幂势立体的体积: 设立体之幂为 ∈ baxxA ],[ , )( . 推导出该立体之体积 . ∫ = b a )( dxxAV 祖暅原理: 夫幂势即同 , 则积不容异 . ( 祖暅系祖冲之之子 , 齐梁时人 , 大约在 五世纪下半叶到六世纪初 ) 例1 求由两个圆柱面 和 所围立体体积。 ( 222 =+ ayx 222 =+ azx 3 3 16 a ) 例 2 计算由椭球面 1 2 2 2 2 2 2 =++ c z b y a x 所围立体 ( 椭 球 ) 的体积。 ( πabc 3 4 ) 二、旋转体的体积: 定义旋转体并推导出体积公式. . ∫ = b a )( dxxfV 2 π 例 3 推导高为 h , 底面半径为 r 的正圆锥体体积公式. 例 4 求由曲线 0 和 所围平面图形绕 2 yx =− yx =− 0 X 轴旋转所得立体体积. 例 5 求由圆 25)20( 绕 2 2 yx ≤−+ X 轴一周所得旋转体体积. ( 1000 ) 2 π 例 6 == ,0 , : − xeyD x X 轴正半轴 . D 绕 X 轴旋转 . 求所得旋转体体积. Ex P319 1—6， § 4 旋转曲面的面积 ( 1 时 ) 用微元法推出旋转曲面的面积公式 : 130
曲线方程为y=f(x),x∈[a,b]时 =2f(x)1+r(x) 曲线方程为x=x(),y=y(),t∈l时,…→S=2Jy(xx2(+y2(o 例1P322 ExP3221,2 §5质心(1时) 用微元法推出质心坐标公式 例1P324 ErP3251,2,3,4 §6平均值、功(2时) 用微元法推导出公式 例1P327 例2P328 EP3301-8 §7定积分的近似计算(省略) 131
曲线方程为 = ∈ baxxfy ],[ , )( 时， ∫ =⇒ + ′ b a )(1)(2S dxxfxf 2 "" π ； 曲线方程为 χ ttyytx ∈== α β ],[ , )( , )( 时， ∫ =⇒ ′ + ′ β α χπ )()()(2S dttytxy " 2 2 . 例 1 P322. Ex P322 1，2. § 5 质心 ( 1 时 ) 用微元法推出质心坐标公式 : 例 1 P324 Ex P325 1，2，3，4. § 6 平均值、功 ( 2 时 ) 用微元法推导出公式 : 例1 P327 例2 P328 Ex P330 1—8 § 7 定积分的近似计算 ( 省略 ) 131