Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D Q. Dai, 2003 第四章多分辨率分析与小波 本章将讨论小波基的构造。我们将主要利用多分辨率分析这一工具。在第一节中将引入多分 辨率分析的定义,并给出两个经典的例子,Har基和 Shannon基。第二节将介绍平移不变子 空间的概念和 Riesz基的刻划,并给出正交化方法。第三节和第四节分别介绍算尺度方程和 滤波函数。第五节将介绍尺度函数的平移系标准正交的充分必要条件。第六节将讨论平移与 伸缩族完备的条件。第七节将讨论滤波器系数的长度和双尺度方程解的支集的关系。第八节 给出求解双尺度方程的两种直接方法。第九节将给出小波函数的构造。第十节将给出样条小 波基( Battle- Lemarie)和 Meyer小波基。第十一节将给出 Daubechies小波基. 1.多辨率分析 多分辨率分析MRA( Multi-resolution Analysis是S.Mllt与Y. Meyer于1986年左右共同引入 的。这一程序是构造小波基的一种有效的方法。I. Daubechies在1988年成功的构造了具有紧 支集的光滑小波基 定义:设{V}是L(R)的闭子空间族,满足 CVo CVi (2)UV=L2(R),∩V={0}, (3)f(t)∈V分∫(21)∈V+1, (4)f(t)∈W兮∫(t-k)∈W,k∈Z, (5)存在φ∈V,使得{y(t-k)}k构成V的一个标准正交基。 则称{V}是L2的MRA 通常称φ为尺度函数( scaling function,或有时称为父小波( father wavelet)。 注:有时,将条件中的标准正交基改为 Riesz基,甚至框架 我们首先给出几个例子。 例1:Haar基 设V={f:∫∈L,且在k,k+1)上取常数值,k∈Z}。而 V={f(2):f(t) 则(1)(2)(3)(4)是显然的。令 p()=x0.1( 则{φ(t-k)}是V的标准正交基,故(5)也成立。这是最早出现的小波,它没有光滑性 例2: Shannon基。 设V={f:f∈L2,supc[-x,}定义V为的2伸缩,即 v={0):2)∈tb}={f:/∈r2mc-2x,2
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai,2003 1 第四章 多分辨率分析与小波 本章将讨论小波基的构造。我们将主要利用多分辨率分析这一工具。在第一节中将引入多分 辨率分析的定义，并给出两个经典的例子，Haar基和Shannon基。第二节将介绍平移不变子 空间的概念和Riesz基的刻划，并给出正交化方法。第三节和第四节分别介绍算尺度方程和 滤波函数。第五节将介绍尺度函数的平移系标准正交的充分必要条件。第六节将讨论平移与 伸缩族完备的条件。第七节将讨论滤波器系数的长度和双尺度方程解的支集的关系。第八节 给出求解双尺度方程的两种直接方法。第九节将给出小波函数的构造。第十节将给出样条小 波基（Battle－Lemarie）和Meyer小波基。第十一节将给出Daubechies小波基. 1． 多辨率分析 多分辨率分析MRA(Multi-resolution Analysis)是S. Mallat与Y. Meyer于1986年左右共同引入 的。这一程序是构造小波基的一种有效的方法。I. Daubechies在1988年成功的构造了具有紧 支集的光滑小波基。 定义：设{Vj}是L 2 (R)的闭子空间族，满足 (1) · · · V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ · · · , (2) ∪jVj = L 2 (R), ∩jVj = {0}, (3) f(t) ∈ Vj ⇔ f(2t) ∈ Vj+1, (4) f(t) ∈ V0 ⇔ f(t − k) ∈ V0, ∀k ∈ Z, (5) 存在ϕ ∈ V0，使得{ϕ(t − k)}k构成V0的一个标准正交基。 则称{Vj}是L 2的MRA。 通常称ϕ为尺度函数（scaling function), 或有时称为父小波（father wavelet）。 注：有时，将条件中的标准正交基改为Riesz基，甚至框架。 我们首先给出几个例子。 例1：Haar基。 设V0 = {f : f ∈ L 2 , 且在[k, k + 1) 上取常数值, k ∈ Z}。而 Vj = © f(2j t) : f(t) ∈ V0 ª . 则(1)(2)(3)(4)是显然的。令 ϕ(t) = χ[0,1](t). 则{ϕ(t − k)}是V0的标准正交基，故（5）也成立。这是最早出现的小波，它没有光滑性。 例2：Shannon基。 设V0 = n f : f ∈ L 2 ,supp ˆf ⊂ [−π, π] o . 定义Vj为V0的2 j伸缩，即 Vj = © f(t) : f(2−j t) ∈ V0 ª = n f : f ∈ L 2 ,supp ˆf ⊂ [−2 jπ, 2 jπ] o
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai, 2005 2 显然条件(1)(3)是满足的。对条件(4),可由公式f(t-k)=f()ek推得。关于条件 (5),由取样定理,对任何f∈V,有 (t-k) 令y(t)=sint/(t),则上式表明,任意∫可由φ(t)及其平移线性表出。因 )=ks, 0,其它 由 Plancherel公式,得 广+(=-n)(=mi=7(-m(a)md 2∫cn-m d 所以{y(t-k)}k∈z是V的标准正交基 关于条件(2),第二式是显然的。对第一式,设∫∈L2,在 Fourier域,令 f()=∑() 其中 f()=f(u)x2m2+11( 显然f∈V。这时,我们有 f()=∑() 这证明(2)的第一式。故我们得到一个MRA 对于Har函数y(t)=x.n(t)与 Shannon函数g(t)=sint/(xt),它们虽然都能满足MRA的 要求,但前者不光滑,后者局部性太差。我们的目标是构造局部性好的光滑函数。 2.平移不变子空间 设∫,g∈L2(R),定义方括号积 ,9(t)=∑f(+2xa)(t+2ra) 引理:上式几乎处处绝对收敛,且[f,g]∈D0.,2]为周期函数,其 Fourier系数是
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai,2003 2 显然条件(1)(3)是满足的。对条件（4），可由公式f\(t − k) = ˆf(ω)e −ikω推得。关于条件 （5），由取样定理，对任何f ∈ V0，有 f(t) = X k f(k) sin π(t − k) π(t − k) . 令ϕ(t) = sin πt/(πt)，则上式表明，任意f可由ϕ(t)及其平移线性表出。因 ϕˆ(ω) = ( 1, |ω| ≤ π, 0, 其它. 由Plancherel公式，得 R +∞ −∞ ϕ(t − n)ϕ(t − m)dt = 1 2π + R∞ −∞ ϕˆ(ω)e −inωϕˆ(ω)e −imωdω = 1 2π Rπ −π e −i(n−m)ωdω = δn,m. 所以{ϕ(t − k)}k∈Z是V0的标准正交基。 关于条件（2），第二式是显然的。对第一式，设f ∈ L 2，在Fourier域，令 ˆf (ω) = X j ˆfj (ω) 其中 ˆfj (ω) = ˆf (ω) χ(2jπ,2 j+1π] (|ω|). 显然fj ∈ Vj。这时，我们有 f (t) = X j fj (t) 这证明（2）的第一式。故我们得到一个MRA。 对于Haar函数ϕ (t) = χ[0,1] (t)与Shannon函数ϕ (t) = sin πt/(πt)，它们虽然都能满足MRA的 要求，但前者不光滑，后者局部性太差。我们的目标是构造局部性好的光滑函数。 2． 平移不变子空间 设f, g ∈ L 2 (R),，定义方括号积 [f, g](t) = X α f(t + 2πα)g(t + 2πα). 引理：上式几乎处处绝对收敛，且[f, g] ∈ L 1 [0, 2π]为周期函数，其Fourier系数是
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai, 2005 f(tg(t-k)dt f, g(w)e 证明:由 ∑|f(t+2xl)‖lg(t+2xl)|dt ∑|(+2/≈ ∑l(+2r2)dt ≤(∑|f(t+2r)2d)12(∫∑lg(t+2x)2d)/2 ∫|f(t)2dt lg(t)2dt 证得前两个断言。现看 Fourier系数 ∫f(t)gy(t-k)dt 2∫f(u)9(a)edu 27L+2T 2∑∫f(u)()ekdu 4∫∑f(+2x1)(u+2r1)edu 故得证 推论:{y(t-k)}kz是标准正交系,当且仅当,)=1,a,e,即 ∑(u+27k)2=1,ae (1) 设函数φ∈L2(R)。用S(y)表示由φ生成的整平移不变子空间,即 S(9)={f:f (t-k),{ck}为有限序列 练习:设∫,g∈L2,导出S()与S(g)正交的充要条件 注意到,{9(t-k)}kez不必是标准正交系,甚至可以不是它生成的S(9)的 Riesz基。我 们有如下表示定理 定理1:空间S(y)可表示为 s()={f:∫∈2(R),=m,r()a.e.有限值,以2x为周期,使rp∈L2(R)
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai,2003 3 Z +∞ −∞ f(t)g(t − k)dt = 1 2π Z 2π 0 [ ˆf, gˆ](ω)e ikωdω 证明：由 R 2π 0 P l |f(t + 2πl)||g(t + 2πl)|dt ≤ R 2π 0 µP l |f(t + 2πl)| 2 ¶1/2 µP l |g(t + 2πl)| 2 ¶1/2 dt ≤ ( R 2π 0 P l |f(t + 2πl)| 2dt) 1/2 ( R 2π 0 P l |g(t + 2πl)| 2dt) 1/2 = µ + R∞ −∞ |f(t)| 2dt¶1/2 µ + R∞ −∞ |g(t)| 2dt¶1/2 证得前两个断言。现看Fourier系数 + R∞ −∞ f(t)g(t − k)dt = 1 2π + R∞ −∞ ˆf(ω)gˆ(ω)e ikωdω = 1 2π P l 2πl R +2π 2πl ˆf(ω)gˆ(ω)e ikωdω = 1 2π R 2π 0 P l ˆf(ω + 2πl)gˆ(ω + 2πl)e ikωdω 故得证。 推论：{ϕ(t − k)}k∈Z是标准正交系，当且仅当[ ˆϕ, ϕˆ](ω) = 1, a.e., 即 X k |ϕˆ(ω + 2πk)| 2 = 1,a.e. (1) 设函数ϕ ∈ L 2 (R)。用S (ϕ)表示由ϕ生成的整平移不变子空间，即 S(ϕ) = ( f : f = X k ckϕ(t − k), {ck} 为有限序列 ) . 练习：设f, g ∈ L 2，导出S (f)与S (g)正交的充要条件。 注意到，{ϕ (t − k)}k∈Z不必是标准正交系，甚至可以不是它生成的S (ϕ)的Riesz基。我 们有如下表示定理。 定理1：空间S (ϕ)可表示为 S (ϕ) = n f : f ∈ L 2 (R), ˆf = τϕ, τ ˆ (ω) a.e. 有限值，以2π 为周期，使τϕˆ ∈ L 2 (R) o
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai, 2005 记重=引在四上,=同[小 证:见龙p.64 我们现在讨论S(y)中另一函数φ及其平移所生成的线性平移不变子空间S(v) 定理2:设∈S(y),则下列条件等价: (1)S(v)=S(g), (2)supp=supp2(差零测集) (3)supp,=spp|,(差零测集) 证:(1)→(2)。则v=n1,=n2,所以supp=supp (2)→(1)。由于如∈S(y),故存在r使=Ty。由于在 suppan上不为零,故p=r-1, 所以φ∈S(v)。故S(v)=S(y (2)→(3)。设u∈[.,2,,()=0,则(u+2xk)=0,Wk,故亦有v(u+27k)= 0k。从而supp,supp|v,。反向包含可类似的证明 ()().我们有=,所以叫p[,小mP,列,设的∈R,使9(n)≠0 但()=0,则必有r(uo)=0。故由r的周期性,有v(u+2rk)=r(uo)p(uo+2rk)= 0k∈z,这样,有v,()=0,故,(∞)=0,但这与(∞)≠0矛盾。从 而 supp C suppy 序列{(t-k)}k∈z不一定是S()的Resz基。这由下面的条件所刻划 定理3:设φ∈L2(R)则{p(-k)}kez是S()的 Riesz基,当且仅当存在正常数A,B使得 A≤1,(a)=∑|(+2xk)2≤B,ae 证:设条件(2)成立。对V{ck}∈P,令∫(t)=∑c9(t-k),r(u)=∑cke-,则 /P=2 广|()d Mm T(w)l lp(w)l dw 2x|r()2[p,引](u) 由于{∈}是L210.27的标准正交基,故有 r(u)2d=2x∑|a2 从(2)式推得 A∑s∑e(t-)≤B∑aP
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai,2003 4 记Φ = [ ˆϕ, ϕˆ]，在suppΦ上，τ = [ ˆϕ, ϕˆ] −1 h ˆf, ϕˆ i 。 证：见龙p.64。 我们现在讨论S (ϕ)中另一函数ϕ及其平移所生成的线性平移不变子空间S (ψ)。 定理2：设ψ ∈ S (ϕ)，则下列条件等价： （1）S (ψ) = S (ϕ)， （2）sup pψˆ = sup pϕˆ （差零测集） （3）sup p [ ˆϕ, ϕˆ] = sup p h ψ, ˆ ψˆ i （差零测集） 证：(1) ⇒ (2)。则ψˆ = τ1ϕ, ˆ ϕˆ = τ2ψˆ，所以suppψˆ = supp ˆϕ。 (2) ⇒ (1)。由于ψ ∈ S (ϕ)，故存在τ使ψˆ = τϕˆ。由于τ在suppψˆ上不为零，故ϕˆ = τ −1ψˆ， 所以ϕ ∈ S (ψ)。故S (ψ) = S (ϕ)。 (2) ⇒ (3)。设ω ∈ [0, 2π] , [ ˆϕ, ϕˆ] (ω) = 0,则ϕˆ (ω + 2πk) = 0, ∀k，故亦有ψˆ (ω + 2πk) = 0, ∀k。从而supp [ ˆϕ, ϕˆ] ⊃ supp h ψ, ˆ ψˆ i 。反向包含可类似的证明。 (3) ⇒ (2)。我们有ψˆ = τϕˆ，所以supp h ψ, ˆ ψˆ i ⊂ supp [ ˆϕ, ϕˆ]。设ω0 ∈ R, 使ϕˆ (ω0) 6= 0, 但ψˆ (ω0) = 0，则必有τ (ω0) = 0。故由τ的周期性，有ψˆ (ω0 + 2πk) = τ (ω0) ˆϕ (ω0 + 2πk) = 0, ∀k ∈ Z，这样，有 h ψ, ˆ ψˆ i (ω) = 0，故 [ ˆϕ, ϕˆ] (ω0) = 0，但这与ϕˆ (ω0) 6= 0矛盾。从 而supp ˆϕ ⊂ suppψˆ。 序列{ϕ (t − k)}k∈Z不一定是S (ϕ)的Riesz基。这由下面的条件所刻划。 定理3：设ϕ ∈ L 2 (R)。则{ϕ (t − k)}k∈Z是S (ϕ)的Riesz基，当且仅当存在正常数A，B使得 A ≤ [ ˆϕ, ϕˆ] (ω) = X k |ϕˆ (ω + 2πk)| 2 ≤ B, a.e. (2) 证：设条件（2）成立。对∀ {ck} ∈ l 2，令f (t) = P k ckϕ (t − k), τ (ω) = P k cke −ikω . 则 kfk 2 = 1 2π ° ° ° ˆf ° ° ° 2 = 1 2π R +∞ −∞ ¯ ¯ ¯ ˆf (ω) ¯ ¯ ¯ 2 dω = 1 2π R +∞ −∞ |τ (ω)| 2 |ϕˆ (ω)| 2 dω = 1 2π R 2π 0 |τ (ω)| 2 [ ˆϕ, ϕˆ] (ω) dω. 由于n √ 1 2π e −ikωo2 k 是L 2 [0, 2π]的标准正交基，故有 Z 2π 0 |τ (ω)| 2 dω = 2π X k |ck| 2 . 从（2）式推得 A X k |ck| 2 ≤ ° ° ° ° ° X k ckϕ (t − k) ° ° ° ° ° 2 ≤ B X k |ck| 2 (3)
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai, 2005 即{9(t-k)}kez是 Riesz基 反之设(3)对任何{c}∈P2成立,则由 Plancherel公式,我们有 A|r2≤/r()(1,引(a)ub≤B|r1,r∈22 (4) 设0(0<u0<2m)是[,的 Lebesque点,取e<。令r(u)为2π周期函数,且在,2丌], 它等于(2)-12x0-+()。则T=1,在(4)中令→0,证得(2)。 由于Haar函数与 Shannon函数的正则性与局部性较差。我们希望有较好性质的函数,即要 求MRA具有某种正则性。 定义:设r≥0为整数。称MRA{V分}e是r正则的,若存在函数p,使{y(t-k)}kez构成V的 标准正交基,且φ及其直到r阶导数在无穷远处快速下降,即 po(t)|≤Kn(1+1)-m,wm∈z+,vt∈R,v0≤a≤r 我们常常能较容易地获得V的 Riesz基。通过一个正交化过程,我们进而可以得到V的标 准正交基,如下定理所示 定理4:设{V}/ez是一个MRA,g∈V使{9(t-k)}k构成了V的Resz基。则存在φ∈V使{y(t k)}k构成V的标准正交基。且若g是r-正则的,则yp也可选得是r-正则的。 证:由于{9(t-k)}k∈z是V的 Riesz基,故由定理3,存在正常数A,B,使得 A≤C)-(∑间+2m0)≤Bae 令 由表示定理2知,y∈V,且每个f∈V均有 f(a)=a()9(a)=a(a)G(a)A(u) 其中a(ω)是某个2π周期可测函数。再由定理2,得f∈S(y),从而VcS(φ).但显然 有S(y)CV故S(y)=V 因为 ∑(+2x6)2=(G)2∑[+276)=1,ae 由(1)式推得{(t-k)}kez是标准正交系。从而为V的标准正交基 由于g是r-正则的,由关于 Fourier变换的结果(第二章),知(u)是无穷可微的。因 为G(u)有正的下界,故(G(u)-是无穷次可微的周期函数,其 Fourier系数是速将的(自 证),即
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai,2003 5 即{ϕ (t − k)}k∈Z是Riesz基。 反之设（3）对任何{ck} ∈ l 2成立，则由Plancherel公式, 我们有 A kτk 2 ≤ Z 2π 0 |τ (ω)| 2 [ ˆϕ, ϕˆ] (ω) dω ≤ B kτk 2 , ∀τ ∈ L 2 [0, 2π] . (4) 设ω0 (0 < ω0 < 2π)是 [ ˆϕ, ϕˆ]的Lebesque点，取² < ω0。令τ (ω)为2π周期函数，且在[0, 2π]， 它等于(2²) −1/2 χ[ω0−ε,ω0+ε] (ω)。则kτk = 1。在（4）中令ε → 0，证得（2）。 由于Haar函数与Shannon函数的正则性与局部性较差。我们希望有较好性质的函数, 即要 求MRA具有某种正则性。 定义：设r ≥ 0为整数。称MRA{Vj}j∈Z是r-正则的，若存在函数ϕ，使{ϕ(t−k)}k∈Z构成V0的 标准正交基，且ϕ及其直到r阶导数在无穷远处快速下降，即 ¯ ¯ϕ (α) (t) ¯ ¯ ≤ Km(1 + |t|) −m, ∀m ∈ Z +, ∀t ∈ R, ∀0 ≤ α ≤ r. 我们常常能较容易地获得V0的Riesz基。通过一个正交化过程，我们进而可以得到V0的标 准正交基，如下定理所示。 定理4：设{Vj}j∈Z是一个MRA，g ∈ V0使{g(t−k)}k构成了V0的Riesz基。则存在ϕ ∈ V0使{ϕ(t− k)}k构成V0的标准正交基。且若g是r-正则的，则ϕ也可选得是r-正则的。 证：由于{g(t − k)}k∈Z是V0的Riesz基，故由定理3，存在正常数A, B，使得 A ≤ G(ω) = ÃX k ¯ ¯ ¯ ∧ g(ω + 2πk) ¯ ¯ ¯ 2 !1/2 ≤ B a.e. 令 ∧ ϕ(ω) = ∧ g(ω)/G(ω). (5) 由表示定理2知，ϕ ∈ V0，且每个f ∈ V0均有 ∧ f(ω) = a(ω) ∧ g(ω) = a(ω)G(ω) ∧ ϕ(ω) 其中a(ω)是某个2π周期可测函数。再由定理2，得f ∈ S(ϕ)，从而V0 ⊂ S(ϕ). 但显然 有S(ϕ) ⊂ V0 故S(ϕ) = V0 因为 X k |ϕˆ(ω + 2πk)| 2 = (G(ω))−2X k ¯ ¯ ¯ ∧ g(ω + 2πk) ¯ ¯ ¯ 2 = 1, a.e. 由（1）式推得{ϕ(t − k)}k∈Z是标准正交系。从而为V0的标准正交基。 由于g是r－正则的，由关于Fourier变换的结果（第二章），知gˆ(ω)是无穷可微的。因 为G(ω)有正的下界，故(G(ω))−1是无穷次可微的周期函数，其Fourier系数是速将的（自 证），即
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D Q. Dai, 2003 (G(a)1=∑ac,lh≤Cm|m,wm,k 从(5)式得 ()=cg(t-k) 所以 (t) +∑k)g(-) ≤∑sla|Em(1+|t-k)-m+∑km2Cm|k叫go(t-k ≤Mm(1+1)-m∑s2lck+Kmm∑k>9o(t-k)川 ≤Km(1+1)-m∑k(ck+gyo(t-k) 因为∑|go(t-k)关于t以1为周期,故有 ≤sp∑|go(t-k) 0≤t≤1 ≤ kim sup∑(1+|t-k) 0<t<1 从而推得是r-正则的。 定理4类似于代数中的Gram- Schmidt正交化过程。它虽然保持正则性,但不保持紧支集 性质 例:设r∈Z+,令 t)=X10 米···水 (t) 即g是x的r次卷积。显然 suppy C0,r+1],且g在整区间上为多项式,g∈Cm-1(R) 设V=S(9) 因为 lw 所以 r+1 e-i(r+1)/2 由此得
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai,2003 6 (G(ω))−1 = X k cke ikω , |ck| ≤ Cm |k| −m , ∀m, k. 从(5)式得 ϕ(t) = X k ckg(t − k), 所以 ¯ ¯ϕ (α) (t) ¯ ¯ ≤ ³P |k|≤t/2 + P |k|>t/2 ´ |ckg α (t − k)| ≤ P |k|≤t/2 |ck|Km(1 + |t − k|) −m + P |k|>t/2 Cm|k| −m|g (α) (t − k)| ≤ M0 m(1 + |t|) −m P |k|≤t/2 |ck| + K00 mt −m P |k|>t/2 |g (α) (t − k)| ≤ K00 m(1 + |t|) −m P k (|ck| + |g (α) (t − k)|). 因为 P k ¯ ¯g (α) (t − k) ¯ ¯ 关于t 以1 为周期，故有 P k ¯ ¯g (α) (t − k) ¯ ¯ ≤ sup 0≤t≤1 P k ¯ ¯g (α) (t − k) ¯ ¯ ≤ km sup 0≤t≤1 P k (1 + |t − k|) −m ≤ ∞ 从而推得ϕ是r－正则的。 定理4类似于代数中的Gram－Schmidt正交化过程。它虽然保持正则性，但不保持紧支集 性质。 例：设r ∈ Z +，令 g(t) = χ[0,1] ∗ · · · ∗ χ[0,1](t) 即g 是χ[0,1] 的r次卷积。显然suppg ⊂ [0, r + 1]，且g在整区间上为多项式，g ∈ C r−1 (R)。 设V0 = S(g)。 因为 χˆ[0,1](ω) = 1 − e −iω iω 所以 ∧ g(ω) = µ 1 − e −iω iω ¶r+1 = e −i(r+1)ω/2 ( ω 2 ) −r−1 (sin ω 2 ) r+1 . 由此得
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai, 2005 u+2πk)=|sin (兰+k)2+2 利用复变函数中的公式 (2+k7)2 sin 2 2 并对z两边求导数,可得,例如 故当r=0时 +2丌k 所以{9(t-k)}k∈z是标准正交系 当r=1时 ∑|+27 (+k丌)4 由定理3推得{9(t-k)}kez是S(g)的 Riesz基,但不是正交基 令 y(u)=9()/∑ (sn/=)2/(1-2sm2)2 则{y(t-k)}k∈z是S(g)的标准正交基。但φ没有紧支集(理由?) 3.双尺度方程 双尺度方程( two scale equation)在小波基的构造中起重要的作用 设p∈L2(R),记9k(t)=212y(2t-k),j,k∈Z 设{V}e是一个给定的MRA,这里只假定y的整平移构成V的 Riesz基. 由于{(2t-k)}k∈z是V的Resz基,故每个∫∈V与一个P序列一一对应。而φ∈Voc V,故存在P序列{hk}使得 (t-k){hk}∈P2 (6)式称为双尺度方程
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai,2003 7 X k ¯ ¯ ¯ ∧ g(ω + 2πk) ¯ ¯ ¯ 2 = ¯ ¯ ¯ sin ω 2 ¯ ¯ ¯ 2r+2X k 1 ( ω 2 + kπ) 2r+2 . 利用复变函数中的公式： X k 1 (z + kπ) 2 = 1 sin2 z 并对z两边求导数，可得，例如 X k 1 (z + kπ) 4 = 1 sin4 z − 2 3 1 sin2 z 故当r = 0时 X k ¯ ¯ ¯ ∧ g(ω + 2πk) ¯ ¯ ¯ 2 = 1 所以{g(t − k)}k∈Z 是标准正交系。 当r = 1时 X k ¯ ¯ ¯ ∧ g(ω + 2πk) ¯ ¯ ¯ 2 = (sin ω 2 ) 4X k 1 ( ω 2 + kπ) 4 = 1 − 2 3 sin2 ω 2 . 由定理3推得{g(t − k)}k∈Z是S(g)的Riesz基，但不是正交基。 令 ∧ ϕ(ω) = ∧ g(ω)/( P k ¯ ¯ ¯ ∧ g(ω + 2πk) ¯ ¯ ¯ 2 ) 1/2 = (sin ω 2 / ω 2 ) 2/(1 − 3 2 sin2 ω 2 ) 1/2 则{ϕ(t − k)}k∈Z是S(g)的标准正交基。但ϕ没有紧支集（理由？）. 3． 双尺度方程 双尺度方程（two scale equation）在小波基的构造中起重要的作用。 设ϕ ∈ L 2 (R)，记ϕj,k(t) = 2j/2ϕ(2j t − k), j, k ∈ Z. 设{Vj}j∈z是一个给定的MRA，这里只假定ϕ的整平移构成V0的Riesz基. 由于{ϕ(2t − k)}k∈Z是V1的Riesz基，故每个f ∈ V1与一个l 2序列一一对应。而ϕ ∈ V0 ⊂ V1，故存在l 2序列{hk}使得 ϕ(t) = X k hkϕ(2t−k) {hk} ∈ l 2 (6) (6)式称为双尺度方程
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai, 2005 在(6)式两边作 Fourier变换,得 ∑hk(2t-k -itw 号∑he/2∫g(2t-k)e-(-)/2d(2t-k) 其中m0()=是∑he是由{h}∈P定义的2x周期函数,称之为对应的MRA的滤波函 数 例:对Har函数y(1)=xon(t),我们有 g(t)=y2(21)+(2t-1), 即h=h1=1 我们现在考察方程(6)有解时{hk}所应满足的必要条件 定理5:设y∈D是(6)的解,且∫(t)d≠0,则 h=2 证:由于y∈L1,p(u)连续,所以在等式y(u)=mo(u/2)(u/2)中令u=0,推得m0(0 即(7)成立 定理6:设φ连续,|(t)≤C(1+|)-1-,且构成S()的 Riesz基。则 y(t-k)=常数 当且仅当 即mo(x)=0. 证:由于φ∈L,φ(ω)连续,从定理3推得(练习:证明从ae.过渡到所有,参考 Daubechies 183 ∑|(u+27k)2≥A>0.∈R 考虑函数f(t)=∑p(t-k)。由 1∑(-k)≤∑bl(t-k)d 推得f∈L1(0,1,且周期为1。故可展开为 Fourier级数
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai,2003 8 在(6)式两边作Fourier变换，得 ∧ ϕ(ω) = R∞ −∞ P k hkϕ(2t − k)e −itωdt = 1 2 P k hke −ikω/2 + R∞ −∞ ϕ(2t − k)e −i(2t−k)ω/2d(2t − k) = m0(ω/2) ∧ ϕ(ω/2) 其中m0(ω) = 1 2 P k hke −ikω 是由{hk} ∈ l 2定义的2π周期函数，称之为对应的MRA的滤波函 数。 例：对Haar函数ϕ(t) = χ[0,1](t)，我们有 ϕ(t) = ϕ(2t) + ϕ(2t − 1), 即h0 = h1 = 1。 我们现在考察方程(6)有解时{hk}所应满足的必要条件。 定理5：设ϕ ∈ L 1是(6)的解，且 R ϕ(t)dt 6= 0，则 X k hk = 2. (7) 证：由于ϕ ∈ L 1，ϕˆ(ω)连续，所以在等式ϕˆ(ω) = m0(ω/2) ˆϕ(ω/2) 中令ω = 0，推得m0(0) = 1，即(7)成立。 定理6：设ϕ连续, |ϕ(t)| ≤ C(1 + |t|) −1−² , 且构成S(ϕ)的Riesz基。则 X k ϕ(t − k) ＝常数, a.e. (8) 当且仅当 X k h2k = X k h2k+1 = 1, 即m0(π) = 0. 证：由于ϕ ∈ L 1，ϕˆ(ω)连续，从定理3推得(练习: 证明从a.e.过渡到所有, 参考Daubechies p.183). X k |ϕˆ(ω + 2πk)| 2 ≥ A > 0, ∀ω ∈ R. (9) 考虑函数f(t) = P k ϕ(t − k)。由 R 1 0 | P k ϕ(t − k)|dt ≤ P k R 1 0 |ϕ(t − k)|dt = R +∞ −∞ |ϕ(t)|dt 推得f ∈ L 1 (0, 1]，且周期为1。故可展开为Fourier级数
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai, 2005 f()=∑ Chet2krt 其中 Fourier系数 ck=J∑y(t-l)e-axdt ∑J dt 由(8)式推得,(=0当k≠0,即(2k丌)=0,对任何k≠0 在等式(u)=m(u/2)(/2)两边取模并令u=2k丌,再求和得 P(0)P2 (2kr) ∑|mo(kπ)|2|(kπ)2 ∑(mo(2kx)2|2(2kr)2+|mo(2k+1)r)2|(2k+1)r)2) =|m0(0)∑|(2kr)2+|mo(r)2∑|(x+2kr)2 (0)2+|m0()2∑|2(x+2kr) 在第三个等式中,我们将求和分为奇数部分与偶数部分,第四个等式中利用了m0(u)的周期 为2 在(9)式中,令山=丌,得 所以∑h 反之,由双尺度关系,有 f(t)= hip(2t-2k-7) h-2ky(2t-1) ∑A∑kh-2k)(2t-1) ∑ng(2t-D) f(2) 所以f(2t)=f(2-1).由于f连续,令j→∞,得f(t)=f(0) 方程(8)称为单位分划( partition of unity)。当φ构成S(y)的标准正交基时,它自动地满 足,这时有
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai,2003 9 f(t) = X k cke i2kπt 其中Fourier系数 ck = R 1 0 P l ϕ(t − l)e −i2kπtdt = P l R 1 0 ϕ(t − l)e −i2kπtdt = R +∞ −∞ ϕ(t)e −i2kπtdt = ˆϕ(2kπ). 由(8)式推得，ck = 0当k 6= 0，即ϕˆ(2kπ) = 0，对任何k 6= 0。 在等式ϕˆ(ω) = m0(ω/2) ˆϕ(ω/2)两边取模并令ω = 2kπ，再求和得 |ϕˆ(0)| 2 = P k |ϕˆ(2kπ)| 2 = P k |m0(kπ)| 2 |ϕˆ(kπ)| 2 = P k (|m0(2kπ)| 2 |ϕˆ(2kπ)| 2 + |m0((2k + 1)π)| 2 |ϕˆ((2k + 1)π)| 2 ) = |m0(0)| 2 P k |ϕˆ(2kπ)| 2 + |m0(π)| 2 P k |ϕˆ(π + 2kπ)| 2 = |ϕˆ(0)| 2 + |m0(π)| 2 P k |ϕˆ(π + 2kπ)| 2 . 在第三个等式中，我们将求和分为奇数部分与偶数部分，第四个等式中利用了m0(ω)的周期 为2π。 在(9)式中，令ω = π，得 m0(π) = 0 所以 P k h2k = P k h2k+1 。 反之, 由双尺度关系, 有 f(t) = P k ϕ(t − k) = P k P l hlϕ(2t − 2k − l) = P k P l hl−2kϕ(2t − l) = P l ( P k hl−2k)ϕ(2t − l) = P l ϕ(2t − l) = f(2t). 所以f(2t) = f(2−j t). 由于f连续, 令j → ∞, 得f(t) = f(0). 方程(8)称为单位分划（partition of unity）。当ϕ构成S(ϕ)的标准正交基时，它自动地满 足，这时有
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai, 2005 ∑(t-k)=(0) 定理7:设φ∈∩D2是双尺度方程(6)的解。若{(t-k)}kez为标准正交系,则 mo(u)2+|mo(u+r)2=1,wu∈[0,2x] 证:由等式(2u)=m0(u)2()和定理3,得 ∑|2(2u+2kr)2 ∑|m(+kr)2|2(u+kr)2 ∑(mo(a+2k)2|2(u+2kr)2+1m(+x+2kx)2|2(u+n+2kr)) ∑(mo()2|(a+2kr)2+|mo(u+n)2|(++2km)/) mo(u)2+|mo(u+丌) 定理8:在定理7的条件下,有 ∑hnn=2=250,k∈z (11) 证:由m0(u)的定义,有 Imo(w ∑hk ∑hn 4∑(∑hn 和 hno+x)2=∑(-1∑mn=)c 利用(10),即证得(11 注:条件(10)和条件(11)是等价的 4.滤波函数mo(u) 当给定{hk},也即m0(u)时,由关系式 p(u)=m0(/2)(u/2) m()mo(2)……m0(数)(数) 令J→∞,我们得到
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai,2003 10 X k ϕ(t − k) = ˆϕ(0). 定理7：设ϕ ∈ L 1 ∩ L 2是双尺度方程(6)的解。若{ϕ(t − k)}k∈Z为标准正交系，则 |m0(ω)| 2 + |m0(ω + π)| 2 = 1, ∀ω ∈ [0, 2π] . (10) 证：由等式ϕˆ(2ω) = m0(ω) ˆϕ(ω)和定理3，得 1 = P k |ϕˆ(2ω + 2kπ)| 2 = P k |m0(ω + kπ)| 2 |ϕˆ(ω + kπ)| 2 = P k ¡ |m0(ω + 2kπ)| 2 |ϕˆ(ω + 2kπ)| 2 + |m0(ω + π + 2kπ)| 2 |ϕˆ(ω + π + 2kπ)| 2 ¢ = P k ¡ |m0(ω)| 2 |ϕˆ(ω + 2kπ)| 2 + |m0(ω + π)| 2 |ϕˆ(ω + π + 2kπ)| 2 ¢ = |m0(ω)| 2 + |m0(ω + π)| 2 . 定理8：在定理7的条件下，有 X n hnhn−2k = 2δk,0, ∀k ∈ Z. (11) 证：由m0(ω)的定义，有 |m0(ω)| 2 = µ 1 2 P k hke −ikω¶ µ1 2 P k hne ikω¶ = 1 4 P k µP n hnhn−k ¶ e −ikω . 和 |m0(ω + π)| 2 = 1 4 X n (−1)k ( X n hnhn−h)e −ikω 利用(10)，即证得(11)。 注：条件(10)和条件(11)是等价的。 4． 滤波函数m0(ω) 当给定{hk}, 也即m0(ω)时，由关系式 ϕˆ(ω) = m0(ω/2) ˆϕ(ω/2) = m0( ω 2 )m0( ω 4 )· · · · · · m0( ω 2 J ) ˆϕ( ω 2 J ) 令J → ∞，我们得到