Ch21曲线积分与曲面积分的计算 计划课时:12时 P296334 2005.Il.15. Ch21曲线积分与曲面积分的计算(12时) §1第一型曲线积分的计算(1时) Th21设有光滑曲线L:x=(t),y=v(t),t∈[a,B].∫(x,y)是定义在L上 的连续函数.则 (xy)d=/(,)o°(+02(oh 若曲线方程为L:y=v(x),x∈[a,b],则 「(x,y=/(x,wx1+v(x)d L的方程为x=(y)时有类似的公式 例1设L是半圆周x= a cos t,y= asin t,0≤t≤丌 (x+y )ds 例2设L是曲线y2=4x上从点O(0,0)到点A(1,2)的一段.计算第一型曲线分 yds 空间曲线L上的第一型曲线积分:设空间曲线L:x=p(1),y=v(t),=x(t) ∈[a,B]函数o(t),v(t),z()连续可导,则对L上的连续函数f(x,y,z),有 「(xy:)k=(o(),(),2x)0°(0)+2(0)+x2(M 例2计算积分[x2ds,其中L是球面x2+y2+2=a2被平面x+y+z=0 截得的圆周 解由对称性知,Jx=yd=2
Ch 21 曲线积分与曲面积分的计算 计划课时：12 时 P 296—334 2005. 11.15 . Ch 21 曲线积分与曲面积分的计算 ( 12 时 ) § 1 第一型曲线积分的计算 (1 时 ) Th21.1 设有光滑曲线 = ϕ =ψ tytxL )( , )( : , t ∈ α β ],[ . yxf ),( 是定义在 L 上 的连续函数 . 则 ( ) dtttttfdsyxf ∫ ∫ L = ′ + ′ β α ),( ψϕψϕ )()()( , )( 2 2 . 若曲线方程为 L : =ψ ∈ baxxy ],[ , )( , 则 ( ) ∫ ∫ = + ′ L b a xxfdsyxf )(1)( , ),( dxx 2 ψψ . L 的方程为 = ϕ yx )( 时有类似的公式. 例 1 设 L 是半圆周 = = sin , cos taytax , 0 ≤ t ≤ π . . ∫ + L )( dsyx 22 例 2 设 L 是曲线 上从点 到点 的一段. 计算第一型曲线分 . 4xy 2 = O ) 0 , 0 ( A ) 2 , 1 ( ∫L yds 空间曲线 L 上的第一型曲线积分: 设空间曲线 = ϕ =ψ = χ tztytxL )( , )( , )( : , t ∈ α β ],[ . 函数ϕ ψ χ ttt )( , )( , )( 连续可导, 则对 L 上的连续函数 zyxf ),,( , 有 ( ) ∫ ∫ = ′ + ′ + ′ L dtttttttfdszyxf β α ),,( χψϕχψϕ )()()()( , )( , )( 2 2 2 . 例 2 计算积分 ∫ , 其中 L dsx 2 L 是球面 被平面 2222 =++ azyx + + zyx = 0 截得的圆周. 解 由对称性知 , , ∫ = L dsx 2 ∫ = L dsy 2 ∫L dsz 2 ⇒
xhb=1(x2+y2+=)Mb=∫=2m,(注意L是大圆) P2991、3、5、7 §2第一型曲面积分的计算(2时) Th212设有光滑曲面S:z=(x,y),(x,y)∈D.f(x,y,z)为S上的连续函数,则 f(x,y,=)dS=Lf(x,y, =(x, y)1+=2+=2dxdy 例4计算积分,其中S是球面x2+y2+2=a2被平面=b (0<h<a)所截的顶部 Ex P308 263
= ∫L dsx 2 ∫ ∫ ==++ L L ads a dszyx 3 2 222 3 2 3 ( ) 3 1 π . ( 注意 L 是大圆 ) Ex P299 1、3、5、7. § 2 第一型曲面积分的计算(2 时 ) Th21.2 设有光滑曲面 = ),( , ),( : ∈ DyxyxzzS . zyxf ),,( 为 上的连续函数 S ,则 ( ) ∫∫ ∫∫ = ++ S D yx dxdyzzyxzyxfdSzyxf 22 ),,( 1),(,, . 例 4 计算积分 ∫∫S z dS , 其中 是球面 被平面 所截的顶部 . S 2222 =++ azyx = hz << ah )0( Ex P308. 263
§3第二型曲线积分(3时) 第二型曲线积分的定义 1.力场F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)沿平面曲线L从点A到点B所作的功 先用微元法,再用定义积分的方法讨论这一问题,得 W=F(ad),即W=F 2.稳流场通过曲线(从一侧到另一侧)的流量:解释稳流场.(以磁场为例)设有 流速场v(x,y)=(P(x,y),Q(x,y).求在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的 流量E.设曲线AB上点M/处的切向量为r=(cosa,sina),(a是切向量方向与 X轴正向的夹角.切向量方向按如下方法确定:法线方向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向.切向量方向与法线方向按右手法则确定 即以右手拇指所指为法线方向,则食指所指为切线方向)在弧段M1M1上的流量 dE=(v, n )ds. n=cos(a-L), sin(a-I)|=(sin a, -cosa) dE=(P(x, y), g(x,y).(sina, -cosa)Ids= =P(x,y)sina·|ds|-Q(x,y)cosa·|dsl 由ds=(dx,d),→sina·ds=d, cosa. ds I=dx,得 dE= P(x, y)dy-o(x, y)dx 于是通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为 P(x, y)dy-o(, y)dx 3.第二型曲线积分的定义:闭路积分的记法.按这一定义,有力场 F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)沿平面曲线L从点A到点B所作的功为 w=L Pdx+Ody 流速场v(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的总流量 E为 E=LPdy-Odx 第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性,对二型曲线积分有∫=-,因此 定积分是第二型曲线积分中当曲线为X轴上的线段时的特例 可类似地考虑空间力场F(x,y,x)=(P(x,y,),Q(x,y,x),R(x,y,=)沿空间曲线 264
§ 3 第二型曲线积分( 3 时 ) 一 第二型曲线积分的定义: 1． 力场 = ( yxQyxPyxF ),( , ),(),( )沿平面曲线 L 从点 A 到点 B 所作的功: 先用微元法 , 再用定义积分的方法讨论这一问题 , 得 dydxFW ),( AB ⋅= ∫ ∩ , 即 dsFW L ⋅= ∫ . 2. 稳流场通过曲线 ( 从一侧到另一侧 ) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场为例 ).设有 流速场 yxv ),( = ( yxQyxP ),( , ),( ). 求在单位时间内通过曲线 AB 从左侧到右侧的 流量 E . 设曲线 AB 上点 处的切向量为 Mi−1 = αατ )sin , (cos , ( α 是切向量方向与 X 轴正向的夹角. 切向量方向按如下方法确定: 法线方向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向. 切向量方向与法线方向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向 .) .在弧段 上的流量 ∩ −1MM ii = ) , ( dsnvdE . )cos , (sin) 2 sin( , ) 2 cos( αα π α π α ⎟ −=⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n −= − , 因此 , = ( yxQyxPdE )⋅ α − α ds ||)cos , (sin),( , ),( = = α⋅ − α⋅ |cos),(||sin),( dsyxQdsyxP |. 由 = dydxds α =⋅⇒ dyds α ||cos , ||sin ), , ( =⋅ dxds , 得 = − ),(),( dxyxQdyyxPdE . 于是通过曲线 AB 从左侧到右侧的总流量 E 为 . ∫ ∫ = − AB AB ),(),( dxyxQdyyxPdE 3. 第二型曲线积分的定义 : 闭路积分的记法 . 按这一定义 , 有力场 = ( yxQyxPyxF ),( , ),(),( )沿平面曲线 L 从点 A 到点 B 所作的功为 . ∫ += AB QdyPdxW 流速场 yxv ),( = ( yxQyxP ),( , ),( )在单位时间内通过曲线 AB 从左侧到右侧的总流量 E 为 . ∫ −= AB QdxPdyE 第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有 , 因此, 定积分是第二型曲线积分中当曲线为 X 轴上的线段时的特例. ∫∫ −= AB BA 可类似地考虑空间力场 = ( ) zyxRzyxQzyxPzyxF ),,( , ),,( , ),,(),,( 沿空间曲线 264
AB所作的功.导出空间曲线上的第二型曲线积分 「P(x,y:)+Q(xy)+R(xy= 第二型曲线积分的性质 第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题与我们以前讨论过的积 分相比,除多了一层方向性的考虑外,其余与以前的积累问题是一样的,还是用 Riemma的思想建立的积分.因此,第二型曲线积分具有(R)积分的共性,如线性、关 于函数或积分曲线的可加性但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性,这是 由于一方面向量值函数不能比较大小,另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段 方向与向量方向之间的夹角有关 二.第二型曲线积分的计算 曲线的自然方向:设曲线L由参数式给出.称参数增大时曲线相应的方向为自然方向 设L为光滑或按段光滑曲线,L:x=(1),y=v(1),a≤t≤B A(o(a),va),B(0(B),v(B),函数P(x,y)和Q(x,y)在L上连续,则沿L的自 然方向(即从点A到点B的方向)有 「Pxy)+x,y)d=Po.yo)如()+g0.o)kyot(证略) 例1计算积分「xax+(y-x)d,L的两个端点为A(1,1),B(2,3)积分从点A 到点B或闭合,路径为 i>直线段AB i>抛物线y=2(x-1)2+1 ⅲi)A(1,1)→>D(2,1)→>B(2,3)→A(1,1),折线闭合路径 例2计算积分x+y,这里L i>沿抛物线y=2x2从点00,0)到点B(1,2) ⅱ>沿直线y=2x从点0(0,0)到点B(1,2) i)沿折线闭合路径00,0)→>A(1,0)→B(1,2)→>00,0) 例3计算第二型曲线积分I=xya+(x-y)d+x2d,其中L是螺旋线 x= a cos t,y= asin t,z=bt,从t=0到t=丌的一段 例4求在力场F(y,-x,x+y+z)作用下, i>质点由点A(a,0,0)沿螺旋线到点B(a,0,2mb)所作的功,其中 x= a cos t,y= a sin t,z=bt,(0≤t≤2x) i>质点由点A(a,0,0)沿直线L2到点B(a,0,2mb)所作的功
AB 所作的功. 导出空间曲线上的第二型曲线积分 . ∫ + + AB ),,(),,(),,( dzzyxRdyzyxQdxzyxP 4. 第二型曲线积分的性质: 第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论过的积 分相比, 除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的, 还是用 Riemma 的思想建立的积分 . 因此 , 第二型曲线积分具有(R )积分的共性 , 如线性、关 于函数或积分曲线的可加性 . 但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性 , 这是 由于一方面向量值函数不能比较大小, 另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段 方向与向量方向之间的夹角有关. 二. 第二型曲线积分的计算: 曲线的自然方向: 设曲线 L 由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向. 设 L 为光滑或按段光滑曲线 , L : = ϕ =ψ , )( , )( α ≤ ttytx ≤ β . A( ) ϕ α ψ α)( , )( , B( ) ϕ β ψ β)( , )( ; 函数 和 在 L 上连续, 则沿 L 的自 然方向( 即从点 A 到点 B 的方向)有 yxP ),( yxQ ),( [ ] ( )( ) ∫ ∫ + = ′ + ′ L dttttQtttPdyyxQdxyxP β α ),(),( ψψϕϕψϕ )()( , )()()( , )( . (证略) 例 1 计算积分 , L 的两个端点为 A( 1, 1 ) , B( 2 , 3 ). 积分从点 A 到点 B 或闭合, 路径为 ∫ −+ L )( dyxyxydx ⅰ> 直线段 AB ⅱ> 抛物线 1)1(2 ; 2 xy +−= ⅲ> A( 1, 1 )→D( 2 , 1 ) → B( 2 , 3 ) → A( 1, 1 ), 折线闭合路径 . 例 2 计算积分 , 这里 L : ∫ + L ydxxdy ⅰ> 沿抛物线 从点 O( 0 , 0 )到点 B( 1 , 2 ); 2 = 2xy ⅱ> 沿直线 = 2xy 从点 O( 0 , 0 )到点 B( 1 , 2 ); ⅲ> 沿折线闭合路径 O(0,0) →A(1,0 ) →B(1,2 ) → O(0,0). 例 3 计算第二型曲线积分 I = ∫ +−+ , 其中 L 是螺旋线 L dzxdyyxxydx 2 )( = = , sin , cos = btztaytax , 从t = 0 到t = π 的一段 . 例 4 求在力场 ++− zyxxyF ) , , ( 作用下, ⅰ> 质点由点 A a ) 0 , 0 , ( 沿螺旋线到点 B πba ) 2 , 0 , ( 所作的功, 其中 L1 : = = , sin , cos = btztaytax , ≤ t ≤ π ) 20 ( . 265 ⅱ> 质点由点 A a ) 0 , 0 , ( 沿直线 L 2 到点 B πba ) 2 , 0 , ( 所作的功
§4第二型曲面积分(3时) 曲面的侧: 单侧曲面与双侧曲面: 2.双侧曲面的定向:曲面的上、下侧,左、右侧,前、后侧.设法向量为 n=土(cosa,cosf,cosy) 则上侧法线方向对应第三个分量>0,即选“+”号时,应有cosy>0,亦即法线方向 与Z轴正向成锐角.类似确定其余各侧的法线方向闭合曲面分内侧和外侧 第二型曲面积分: 1.稳流场的流量:以磁场为例 2.第二型曲面积分的定义:闭合曲面上的积分及记法 3.第二型曲面积分的性质:线性,关于积分曲面块的可加性 4.第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系 设n为曲面S的指定法向,则 P(x, y, =)dydz +o(x, y, =dxdx+R(x, y, =)dxdy (x, y, a)cos(n, x)+O(x, y, =)cos(n, y)+R(x,y, =)cos(n, =) 三.第二型曲面积分的计算: Th215设R(x,y,)是定义在光滑曲面 S:z=z(x,y),(x,y)∈D 上的连续函数,以S的上侧为正侧(即cos(n,=)>0),则有 R(x,y, =)dxdy=R(x,y, =(x,y))dxdy 类似地,对光滑曲面S:x=x(y,=),(y,z)∈D1,在其前侧上的积分 P(x,y)h=』(x,),y,)v 对光滑曲面S:y=y(二,x),(=,x)∈Dx,在其右侧上的积分 Q(x, y, =)did=lo(x,y(=,x),=dex 计算积分Pahd+gdx+Rd时,通常分开来计算三个积分
§ 4 第二型曲面积分 ( 3 时 ) 一. 曲面的侧: 1． 单侧曲面与双侧曲面: 2. 双侧曲面的定向: 曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧. 设法向量为 n ±= γβα )cos , cos , (cos , 则上侧法线方向对应第三个分量 > 0 , 即选“+”号时，应有 γ > 0cos ，亦即法线方向 与 Z 轴正向成锐角. 类似确定其余各侧的法线方向 闭合曲面分内侧和外侧. 二. 第二型曲面积分: 1. 稳流场的流量: 以磁场为例. 2. 第二型曲面积分的定义: 闭合曲面上的积分及记法. 3. 第二型曲面积分的性质: 线性 , 关于积分曲面块的可加性. 4. 第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系: 设 n 为曲面 的指定法向 S , 则 ∫∫ + + = S ),,(),,(),,( dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP [ ] ∫∫ + + S ),cos(),,(),cos(),,(),cos(),,( dSznzyxRynzyxQxnzyxP . 三. 第二型曲面积分的计算: Th21.5 设 是定义在光滑曲面 zyxR ),,( = yxyxzzS ),( , ),( : ∈D xy 上的连续函数, 以 的上侧为正侧 S ( 即 zn > 0),cos( ), 则有 ( ) . ∫∫ ∫∫ = S Dxy ),,( ),(,, dxdyyxzyxRdxdyzyxR 类似地, 对光滑曲面 = zyzyxxS ),( , ),( : ∈D yz , 在其前侧上的积分 ( ) . ∫∫ ∫∫ = S Dyz ),,( , , ),( dydzzyzyxPdydzzyxP 对光滑曲面 D zx = xzxzyyS ),( , ),( : ∈ , 在其右侧上的积分 ( ) . ∫∫ ∫∫ = S Dyz ),,( , ),( , dzdxzxzyxQdzdxzyxQ 计算积分 ∫∫ ++ 时, 通常分开来计算三个积分 S Pdydz Qdzdx Rdxdy 266
Prydz Odc Rdxd小y 为此,分别把曲面S投影到YZ平面,ZX平面和XY平面上化为二重积分进行计算.投 影域的侧由曲面S的定向决定 例1计算积分x=dd,其中S是球面x2+y2+2=1在 x≥0,y≥0部分取外侧 例2计算积分(x+y)dhd+(y-)ddx+(x+3x)ddy ∑为球面x2+y2+二2=R2取外侧 解对积分(x+y),分别用Σ和∑后记前半球面和后半球面的外侧,则有 /R2-y R Dn:y2+z2≤R2 因此,(x+y)=,+ R +y kvd R2-y2 d D =2』yR2-y2-d=8r、R-rmb 4 3 对积分中(y-)dzdx,分别用∑和∑记右半球面和左半球面的外侧,则有 R D R R < 因此,A(y--)d ∫(R2-2-x2-)-1R-2-x2- 2∫R2-:2-xtk=4zR x2+2≤R2 对积分(二+3xxd,分别用∑上和∑下记上半球面和下半球面的外侧,则有
, , . ∫∫S Pdydz ∫∫S Qdzdx ∫∫S Rdxdy 为此, 分别把曲面 投影到 YZ 平面, ZX 平面和 XY 平面上化为二重积分进行计算. 投 影域的侧由曲面 的定向决定. S S 例1 计算积分 ∫∫ , 其中 是球面 在 S xyzdxdy S 1 222 zyx =++ yx ≥≥ 0 , 0 部分取外侧. 例 2 计算积分 ∫∫Σ ++−++ )3()()( dxdyxzdzdxzydydzyx ， Σ 为球面 取外侧. 2222 =++ Rzyx 解 对积分 ∫∫Σ + )( dydzyx , 分别用 和 Σ前 Σ后 记前半球面和后半球面的外侧, 则有 Σ前 : , 222 −−= zyRx ; 222 yz : ≤+ RzyD Σ后 : , 222 −−−= zyRx . 222 yz : ≤+ RzyD 因此, ∫∫Σ + )( dydzyx = + = ∫∫Σ前 ∫∫Σ后 ( ) ∫∫ −+−−= Dyz dydzyzyR 222 ( ) ∫∫ =+−−− Dyz dydzyzyR 222 = −− =========== =− ∫∫ ∫ ∫ ≤+ == 222 2 0 0 22 sin ,cos 222 2 8 Rzy R rzry dydzzyR rdrrRd π θθ θ ( ) 3 0 2 3 22 3 4 3 2 2 1 4 rR R Rr π r = π ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅−−= = = . 对积分 dxdzzy ∫∫Σ − )( , 分别用 和 记右半球面和左半球面的外侧 Σ右 Σ左 , 则有 Σ右 : , 222 −−= xzRy ; 222 zx : ≤+ RzxD Σ左 : , 222 −−−= xzRy . 222 zx : ≤+ RzxD 因此, =− ∫∫Σ )( dydzzy ∫∫Σ右 + = ∫∫Σ左 ( ) ( ) ∫∫ ∫∫ −−−−−−−−= D D zx zx dzdxzxzR dzdxzxzR 222 222 ∫∫ ≤+ = =−− 222 222 3 3 4 2 Rzx πRdzdxxzR . 对积分 dxdyxz ∫∫Σ + )3( , 分别用 和 记上半球面和下半球面的外侧 Σ上 Σ下 , 则有 267
Dn:x2+y2≤R2 因此,(z+3xh= R2 cardy -f 2 R2-x2-y2 dxdy 综上,(x+y)+(y-)k+(+3x1d3×3R=42 Ex P334
Σ上 : , 222 −−= yxRz ; 222 xy : ≤+ RyxD Σ下 : , 222 −−−= yxRx . 222 xy : ≤+ RyxD 因此, dxdyxz ∫∫Σ + )3( = + = ∫∫Σ上 ∫∫Σ下 ( ) ( ) ∫∫ ∫∫ =+−−−−+−−= D D xy xy 3 dxdyxyxR 3 dxdyxyxR 222 222 ∫∫ ≤+ = =−− 222 222 3 3 4 2 Ryx πRdxdyyxR . 综上, ∫∫Σ ++−++ )3()()( dxdyxzdzdxzydydzyx = 3 3 4 3 4 3 =× ππ RR . Ex P334. 268
