第二部分单变量积分学 Ch6不定积分 计划课时:12时 P 2004.12.12. Ch6不定积分(12时) §1不定积分的概念及运算法则(2时) 引入:微分问题的反问题,运算的反运算 不定积分的定义: 原函数: 例1填空:( 1 --2 cos x Lxarctgx-=In(1+x ]=arctan 定义.注意∫(x)是f(x)的一个原函数 原函数问题的基本内容:存在性,个数,求法 原函数的个数 Th若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则对vc- Const,F(x)+c都是 f(x)在区间I上的原函数:若G(x)也是f(x)在区间I上的原函数,则必有 G(x)=F(x)+c (证) 可见,若f(x)有原函数F(x),则∫(x)的全体原函数所成集合为{F(x)+c|c∈R} 原函数的存在性:连续函数必有原函数.(下章给出证明)
第二部分 单变量积分学 Ch 6 不定积分 计划课时： 12 时 P 85—100 2004．12．12. Ch 6 不定积分 （ 12 时 ） § 1 不定积分的概念及运算法则（ 2 时 ） 引入： 微分问题的反问题，运算的反运算. 一、 不定积分的定义: 1．原函数： 例 1 填空: 2 1 1 ( ) + x ′ = ; ( ′ = − cos2) x ; 2 ) ( x dx d = ; xe dx d x −= sin) ( ; d ) ( = xdx ; ) ( ′ = arctgx . ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +− ′ = .])1ln( 2 1 [ 2 xarctgx x arctgx 定义. 注意 xf )( 是 ′ xf )( 的一个原函数. 原函数问题的基本内容：存在性，个数，求法. 原函数的个数: Th 若 是 在区间 上的一个原函数 xF )( xf )( I , 则对∀c — Const， 都是 )( + cxF xf )( 在区间I 上的原函数；若 也是 在区间 xG )( xf )( I 上的原函数， 则必有 )()( += cxFxG . ( 证 ) 可见，若 有原函数 xf )( xF )( ，则 xf )( 的全体原函数所成集合为 { │ )( + cxF c ∈Ｒ}. 原函数的存在性: 连续函数必有原函数. ( 下章给出证明 )
可见,初等函数在其定义域内有原函数;若∫(x)在区间I上有原函数,则f(x)在区间 I上有介值性 例2已知F(x)为f(x)=2x的一个原函数,F(2)=5.求F(x) 2.不定积分—原函数族::定义,不定积分的记法,几何意义 例3 arctan +c x dx=-x+c 3.不定积分的基本性质:以下设f(x)和g(x)有原函数 )(f(x)dx)=f(x),df(x)x=f(x)dr.(先积后导,形式不变) )jf(xk=f(x)+c,j4(x)=fx)+c.(先导后积多个常数) )a≠0时,jaf(x)x=!「f(x)d (4)」(f(x)±g(x)dtx=f(x)dr±g(x)dh 由(3)、(4可见,不定积分是线性运算,即对Va,B∈R,有 ∫((x)+8(x)k=a(x)+(g(x 当a=β=0时,上式右端应理解为任意常数.) 例4「f(2x-1)d=x3+x+c.求f(1) (f(1)=2) 不定积分基本公式:基本积分表P37238公式1-17 例5 dx 三.利用初等化简计算不定积分:参阅[4P81 例6P(x)=2ax”+ax“+…+an1x+an,求「P(x)dk 例7 (x2-1+ x2+1 1+x
可见, 初等函数在其定义域内有原函数; 若 在区间 I 上有原函数, 则 在区间 上有介值性. xf )( xf )( I 例 2 已知 为xF )( xf )( = 2x 的一个原函数, F )2( =5 . 求 xF )( . 2．不定积分—— 原函数族：: 定义, 不定积分的记法, 几何意义. 例 3 ∫ += + carctgx x dx 2 1 ; ∫ += cxdxx 2 3 3 1 . 3．不定积分的基本性质: 以下设 和 有原函数 xf )( xg )( . ⑴ ( ) ∫ ∫ = = ′ )()( ),( )( dxxfdxxfdxfdxxf . (先积后导, 形式不变). ⑵ . (先导后积, 多个常数) ∫ ∫ ′ += )()( ,)()( += cxfxdfcxfdxxf ⑶ α ≠ 0时， ∫ ∫ = αα dxxfdxxf .)()( ⑷ ∫ ∫ ∫ =± ± dxxgdxxfdxxgxf .)()())()(( 由⑶、⑷可见, 不定积分是线性运算, 即对∀α β ∈ , R , 有 ∫ ∫ ∫ + βα ))()(( = α + β dxxgdxxfdxxgxf .)()( ( 当α β == 0时,上式右端应理解为任意常数. ) 例 4 ∫ ++=− cxxdxxf 3 3 1 )12( . 求 f ) 1 ( . ( f ) 1 ( =2 ). 二. 不定积分基本公式: 基本积分表. P237—238 公式 1—17. 例 5 ∫ .3 xx dx . 三．利用初等化简计算不定积分: 参阅[4]P181. 例 6 )( 0 n 1 n−1 " n−1 ++++= axaxaxaxP n . 求 ∫ )( dxxP . 例 7 ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + +−= + + .) 1 2 1( 1 1 2 2 2 4 dx x dx x x x . 85
例8 例9 dx 例10()「(102-10-)2atx 例n∫|=「 -2SIn x sIn x 例12 cos- 0sin-0 ExP2411,2, §2不定积分的计算(换元积分法与分部积分法)(10时) 第一类换元法凑微法: H d sin'2x=5sin* 2xd sin 2x= 5sin* 2x(sin 2x)dx=10sin* 2xcos 2xdx ∫losm2xcs2odk=sn2x(sm2x)d=5」sin2 C xd sin2.x ussin 2x 5udu=u'+=sin 2x+c 引出凑微公式 Ih若「f(x)dx=F(x)+c,(x)连续可导,则 ∫/()()h=F()+c 该定理即为:若函数g(1)能分解为 g(0=fL(Jo(), 就有g()h=n)()h=jo)d(
例 8 ∫ + 2 2 1 x dxx . 例 9 ∫ + + dx xx x )1( )1( 2 2 . 例 10 ⑴ ; ⑵ ∫ ∫ − − dx x x 2 )1010( +− .2 132 dxe xx 例 11 ∫ ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − = dx " x x dx x x 2 2 2 sin sin21 sin 2cos . 例 12 ∫ θ θ θ 22 sincos d . Ex P241 1，2， § 2 不定积分的计算（换元积分法与分部积分法）（1 0 时 ） 一. 第一类换元法 ——凑微法： 由 ,2cos2sin10)2(sin2sin52sin2sin52sin5 4 4 4 xd = = ′dxxxxxd = xdxx ⇒ ∫ ∫ ∫ xdxx = ′dxxx = 2sin2sin5)2(sin2sin52cos2sin10 xxd 4 4 4 = 2sin xu ===== ∫5 +=+= .2sin 4 5 5 cxcuduu 引出凑微公式. Th 若 ∫ += cxFdxxf ,)()( φ x)( 连续可导, 则 ∫ φφ ′ φ += ctFdtttf .)]([)()]([ 该定理即为： 若函数 能分解为 tg )( = φ φ′ ttftg ),()]([)( 就有 ∫ ∫ ∫ = φφ ′ = φφ tdtfdtttfdttg )()]([)()]([)( 86
=p() =∫/(x)=F(x)+c=Fp(+c 例1∫(ax+b)”a,m≠-1,a≠ 例2sec2(5-3x)dhx Bid 3cos 3x cos 2xdx=-(cos x+cos 5x)dx= 常见微分凑法:[4]P183-190 凑法1f(ax+b)1 f(ax+b)(ar +b)If(udu 例4「mxk=J(-cxnk=…=(x-lsm2 例5 g 2+x 例6 x2+2x+312+(x+1) 2 arte x+I 2 dx 例7 x2+2x-3J(x+3)(x-1)4 由例4-7可见,常可用初等化简把被积函数化为∫(ax+b)型,然后用凑法1 例8()「x (2) 4+x054+x x5-2arctg 凑法2xf(x2)、Nf(x)d(x)=f(u)dhn,特别地,有 f(x)xdx=5/(r)d(x)=)f(u)du Fu /(x)dx=2Nxk
=φ tx )( ==== . ∫ φ )]([)()( +=+= ctFcxFdxxf 例 1 + ≠−≠ 0 , 1 ,)( . ∫ amdxbax m 例 2 . ∫ − )35(sec dxx 2 例 3 ∫ ∫ xdxx = + )5cos(cos dxxx = " 2 1 2cos3cos 常见微分凑法：[4]P183—190. 凑法 1 .)( 1 )()( 1 )( duuf a baxdbaxf a dxbaxf =++=+ 例 4 ∫ ∫ −==−= + .)2sin 2 1 ( 2 1 )cos1( 2 1 sin 2 xdx dxx " cxx 例 5 ∫ == + + . 2 2 2 2 2 c x arctg x dx " 例 6 ∫ ∫ + + == ++ = ++ . 2 1 2 2 )1(232 2 2 c x arctg x dx xx dx " 例 7 ∫∫ ∫ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = −+ = −+ dx xx xx dx xx dx 3 1 1 1 4 1 32 )1)(3( 2 . 3 1 ln 4 1 c x x + + − " == 由例 4—7 可见，常可用初等化简把被积函数化为 + baxf )( 型，然后用凑法 1. 例8 ⑴ ∫ + 2 1 x xdx . ⑵ ∫ ∫ == + = + 10 " 510 10 14 4 )( 5 1 4 x xdx x dxx c x arctgx +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= 2 2 5 1 5 5 . 凑法 2 duuf k xdxf k dxxfx kk kk )( 1 )()( 1 )( 1 = = − . 特别地, 有 )( duufxdxfxdxxf 2 1 )()( 2 1 )( 2 22 = = 和 ( ) xdxfdx x xf 2 )( = . 87
例9「 xsin dx 例10 dx 例11 2 =2 arcsin√x+c (1 dx d(x2) 1=x 例12 x(x2+1)x2(x2+1) (x2+1) uu+ 凑法3f(sinx) cos xdx=f(sinx) d sin x=f(u)dar; f(cos x )sin xdx =-f(cos x)d cos x=-f(u)du; f(gx)sec xdx=f(gx)dtg=f(u)du 例13(1)|sin3 x cos xdx.(2)「sin3xdh sin x 例14「 sec xdx ]P247E6 例15sec0xdx +tg 例16∫ g'xsec xdx= tgxsec d sec x=Jex-) 凑法4f(e2)e2dx=f(e2)dle2=f(n)lh dt 例17 dx 凑法5f(lnx)==f( nx)dInx=f()l 例18 x(1+2In x)
例 9 . ∫ dxxx 2 sin 例 10 ∫ . sin dx x x 例 11 ∫ = − xx )1( dx ( ) ∫ = + − cx x xd arcsin2 1 2 2 . 例 12 ∫ ∫ ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ==== − + = + = + = du xx uu xd xx xdx xx dx xu 1 11 2 1 )1( )( 2 1 )1()1( 2 22 2 2 22 = c x x c u u + + =+ + 1 ln 2 1 1 ln 2 1 2 2 . 凑法 3 cos)(sin = = duufxdxfxdxxf ;)(sin)(sin sin)(cos = − = − duufxdxfxdxxf ;)(cos)(cos sec)( .)()( 2 tgxf = = duufdtgxtgxfxdx 例 13 ⑴ ⑵ ∫ .cossin3 xdxx ∫ .sin3 xdx 例 14 ∫ + − + == . sin1 sin1 ln 2 1 sec c x x xdx " [1]P247 E6 例 15 ( ) ∫ ∫ xdx += dtgxxtg = " 2 6 2 sec 1 . 例 16 ( ) ∫ ∫ ∫ sec = secsec −= = .secsec1sec 2 2 35 24 2 xdxxdxtgxdxxtg " 凑法 4 duufdeefdxeef .)()()( . xx xx = = 例 17 ∫ − − . 2 t e dt 凑法 5 duufxdxf .)(ln)(ln)(ln x dx xf = = 例 18 ∫ + . xx )ln21( dx 88
凑法6 f(arcsinx)a=f( arcsin x )d arcsin x=/(ld flarctgxdarctgx=f(u) arct arct 例19 x(1+x 其他凑法举例 例20 d(e+e-)」 e-)+c Inx+1 例21 d(xIn x) (xIn x) 例22 dx sec x(secx+tgx) sec x + sec xtgx x 例23 例24 x 例25 2 例26 +2x+2 Ex[1P253-2541(1)-(24 4]254-25674-8
凑法 6 arcsin)(arcsin ;)( 1 )(arcsin 2 duufxdxfdx x xf = = − arctgxfdx duufdarctgx x arctgxf )( )( 1 )( 2 = = + . 例 19 ∫∫ ∫ = + ===== + = + = dt t arctgt xd x xarctg dx xx xarctg xt 2 1 2 1 2 )1( ∫ = arctgtdarc = =+ + cxarctgcarctgttgt 2 2 2 )()( . 其他凑法举例: 例 20 cee ee eed dx ee ee xx xx xx xx xx ++= + + = + − − − − − − ∫ ∫ )ln( )( . 例 21 ∫ ∫ = = + 2 2 " )ln( )ln( )ln( 1ln xx xxd dx xx x 例 22 ∫ ∫ ∫ = + + = + + = dx tgxx xtgxx dx tgxx tgxxx xdx sec secsec sec )(secsec sec 2 ∫ ++= + + = ctgxx tgxx tgxxd |sec|ln sec )(sec . 例 23 ∫ − + dx xx xx 5 cossin sincos . 例 24 ∫ + + dx x x xx n cossi sin5cos . 例 25 ∫∫ ∫ = ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + + = + + " 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 2 x x x xd dx x x x dx x x 例 26 ∫ + + − dx x x x 22 5 2 . Ex [1]P253—254 1⑴—(24)； [4] 254—256 74—81. 89
、第二类换元法 拆微法:P24 从积分jcos2t出发,从两个方向用凑微法计算,即 JVi-x'dr==1-sin Id sint=cos'idr 2(+)b=2+1mx+ 引出拆微原理 Th2设x=Q(1)是单调的可微函数,并且p()≠0,又[(1)]q'(1)具有原函数.则有 换元公式∫(x)=o(l(M1((证)参P245 常用代换有所谓无理代换,三角代换,双曲代换,倒代换,万能代换, Euler代换等我们着 重介绍三角代换和无理代换 1.三角代换:P245 )正弦代换:正弦代换简称为“弦换”.是针对型如Va2-x2(a>0)的根式施 行的,目的是去掉根号.方法是:令x= a sin t,(a>0),则 a--x=acost. dx= acos tdt. t= arcsin d x 例27 (a>0).解法一直接积分;解法二用弦换 sin t cos t 例28 dt=2t+c=2 arcsin√x+c x(1-x) sin t cos t r=x-1 例29「√2+2x-xd=」 cos ud,3 3 u+-sin 2u+ arcsin +2x-x-+C (2)正切代换:正切代换简称为“切换”.是针对型如√a2+x2(a>0)的根式施行的 目的是去掉根号.方法是:利用三角公式sec21-g2t=1,即1+g2t=sec2t,令 x=ag,=aec2h,此时有√a2+x2= a sect,t=arc0 变量还原时
二、 第二类换元法 —— 拆微法：P244 从积分 ∫ cos 2 tdt 出发，从两个方向用凑微法计算，即 ∫ ∫ − −==== = dxx tdt tx 1 sinsin1 2 sin 2 = tdt ∫ 2 cos = = ∫ + ++= ,2sin 4 1 2 1 )2cos1( 2 1 cttdtt 引出拆微原理. Th2 设 = ϕ tx )( 是单调的可微函数,并且ϕ′ t ≠ ;0)( 又 ϕ ϕ′ ttf )()]([ 具有原函数. 则有 换元公式 (证)参 P245. ∫ ∫ − = = ′ .])()]([[)( )( 1 xt dtttfdxxf ϕ ϕϕ 常用代换有所谓无理代换, 三角代换, 双曲代换, 倒代换, 万能代换, Euler 代换等.我们着 重介绍三角代换和无理代换. 1. 三角代换: P245. ⑴ 正弦代换: 正弦代换简称为“弦换”. 是针对型如 22 − xa a > )0( 的根式施 行的, 目的是去掉根号. 方法是: 令 = atax > )0( ,sin , 则 ,cos 22 =− taxa = tdtadx ,cos .arcsin a x t = 例 27 ∫ − , 22 xa dx a > ).0( 解法一 直接积分; 解法二 用弦换. 例 28 ∫ ∫ ====== =+= + − = ctdt cx tt tt xx dx tx arcsin22 cossin cossin 2 )1( 2 sin . 例 29 ∫ ∫ ∫ −= = −−=−+ ===== − ===== xt ut dxxx dxx dtt sin3 2 1 2 2 22 )1(3 3 ∫ +−+ − − − = ==++= cxx xx cuuudu 2 2 22 2 1 3 1 arcsin 2 3 2sin 4 3 2 3 cos3 " . ⑵ 正切代换: 正切代换简称为“切换”. 是针对型如 22 + xa a > )0( 的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式 sec ,1 即 令 2 2 ttgt =− 1 ,sec 2 2 =+ tttg x = atgt, = sec 2 tdtadx . 此时有 ,sec 22 =+ taxa . a x = arctgt 变量还原时, 90
常用所谓辅助三角形法 dx 例30 解令x=√2g,有dx=√2sec2h.利用例22的结果并用辅助三角形,有 1= sec tdt=In/sect+tgt +c=In C In(vx+2 +x+c c'-ln√2 例31 []P249-250El1 )割代换:正割代换简称为“割换”.是针对型如√x2-a2(a>0)的根式施 行的,目的是去掉根号.方法是:利用三角公式sec2t-1=1g2t,令x=asec, 有√x2-a2=agt,dk= x sec t·gdh.变量还愿时,常用辅助三角形法 例32 asec ttgtdt 二二二 sec tdt= t+tgt+c 例33 解法一 secr·lg dt=costdt=sint+c=-vx-1+c cr·lgl 解法 (凑微)参阅[1P250E12 2.无理代换:「4P192
常用所谓辅助三角形法. 例 30 ∫ + 2 2 x dx . 解 令 = tgtx ,2 有 dx tdt 2 = sec2 . 利用例 22 的结果, 并用辅助三角形, 有 = ∫ = sec tdtI c xx ctgtt ++ ′ + ++ ′ = 22 2 secln ln 2 = ( ) ,2ln .2ln 2 =+++ cccxx ′ − 例 31 .0 , )( 222 > + ∫ a ax dx [1]P249—250 E11 ⑶正割代换: 正割代换简称为“割换”. 是针对型如 22 − ax a > )0( 的根式施 行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式 ,1sec 令 2 2 =− ttgt x = ta ,sec 有 , 22 =− atgtax = ⋅tgtdttxdx .sec 变量还愿时, 常用辅助三角形法. 例 32 ∫ − , 22 ax dx a > ).0( 解 ∫ − 22 ax dx = sec tax ===== ∫ ∫ ++== ctgtttdt ′ = atgt ttgtdta seclnsec sec ln ln , 22 22 caxxc a ax a x + ′ +−+= − += = ′ − |ln acc | . 例 33 ∫ −1 22 xx dx . 解法一 ∫ ∫ +−=+== ⋅ ⋅ ===== = .1 1 sincos sec sec 2 2 sec cx x cttdtdt tgtt tgtt I tx 解法二 （ 凑微 ）参阅[1]P250 E12. 2． 无理代换: [4]P192. 91
若被积函数是x,yx,…,x的有理式时,设n为n1(1≤≤k)的最小公倍数作代换 t=《x,有x=t",dx=nt"-dt.可化被积函数为t的有理函数 例34 t dt 例35 6(1+t)d+6 6x+√x+lnll-9x|+c 若被积函数中只有一种根式vax+b或y/ax+b x+e可试作代换=am+b或 ax+b 从中解出x来 例36 1+√x+2 例37 例38 给出两种解法 √x2-1 例3Jx-1k=5x3-10x2)=2J2+y,20m= t+12)d=++c=(x2-1)2+(x2-1)2+c 本题还可用割换计算,但较繁 3.双曲代换:利用双曲函数恒等式ch2x-sh2x=1,令x=asht,可去掉型如 +x2的根式.dx= achat.化简时常用到双曲函数的一些恒等式,如
若被积函数是 nn nk , , , xxx 1 2 " 的有理式时, 设 为n kin )1(i ≤ ≤ 的最小公倍数,作代换 n = xt , 有 dtntdxtx . 可化被积函数为 的有理函数. n n 1 , − == t 例 34 ∫ dx x e x . 例 35 ∫ ∫ ∫ == − ++−= − ===== − = " t dt dtt t dtt xx dx xt 1 6)1(6 1 6 2 3 2 6 ∫ ⎟ + cxxx ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −++−= 6 3 6 1ln 2 1 6 . 若被积函数中只有一种根式 n + bax 或 , n ecx bax + + 可试作代换 n += baxt 或 n. ecx bax t + + = . 从中解出 x 来. 例 36 ∫ ++ 3 x 21 dx . 例 37 ∫ + . 11 dx x x x 例 38 ∫ . sin dx x x (给出两种解法) 例 39 ∫∫ ∫ =− − ====== =⋅+ −= xdxxdxxx tdttt xt 2)1( 2 1 )( 1 2 1 1 2 1 23 22 2 2 ∫ xc +−+−=++=+= cx tt dttt 2 3 2 2 5 2 35 24 )1( 3 1 )1( 5 1 35 )( . 本题还可用割换计算, 但较繁. 3． 双曲代换: 利用双曲函数恒等式 2 2 xshxch =− 1 , 令 = ashtx , 可去掉型如 22 + xa 的根式 . = achtdtdx . 化简时常用到双曲函数的一些恒等式 , 如 : 92
ch't=-(ch2t +1), sht=-(ch2t-1),sh2t=2shtcht h-x=(x+√x2+1) B] Va+x dx=fact. achtdt =a'fchitdts I(ch2t-1)dt="-sh2t+t+c= +x)+c 本题可用切换计算但归结为积分「sec3ud,该积分计算较繁.参阅后面习题课例3 例41 (例30曾用切换计算过该题,现用曲换计算) dt=dt=t+c echt V2 n(x+ 2) c'-ln√2 例42丁一=(例3曾用割换计算过该题现用曲换计算) dt= dt=t +C 4.倒代换:当分母次数高于分子次数,且分子分母均为“因式”时,可试用倒代换 例483 d(x) sx l√l-+l
.22 ),12( 2 1 ),12( 2 2 1 2 −=+= = shtchttshtchtshtchtch ln( ).1 1 2 ++= − xxxsh 例 40 ∫ ∫ ∫ + ===== =⋅ = = dxxa tdtchaachtdtacht ashtx 22 22 = ++=− ′ = ∫ ct a tsh a dttch a 2 2 4 )12( 2 2 2 2 cxax a xa x ln( ) +++++= 2 2 22 2 22 . 本题可用切换计算,但归结为积分 ∫ tdt 3 sec , 该积分计算较繁. 参阅后面习题课例 3. 例 41 ∫ + . 2 2 x dx ( 例 30 曾用切换计算过该题. 现用曲换计算 ). 解 ∫ ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ====== +== ′ ++= = 1 2 2 ln 2 2 2 2 xx ctdtdt cht cht I shtx + c′ ln( 2ln .)2 2 +++= = cccxx ′ − . 例 42 ∫ − 22 ax dx . ( 例 32 曾用割换计算过该题. 现用曲换计算 ). 解 ==== +== ′ +−+= ′ = ∫ ∫ = c a x a x ctdtdt asht asht I achtx 1 ln 2 2 | ln .||ln .| 22 +−+= = ′ − acccaxx 4． 倒代换: 当分母次数高于分子次数, 且分子分母均为“因式”时, 可试用倒代换 . 1 , 1 2 dt t dx t x −== 例 43 ∫∫ ∫ >= = ===== + ==== + = + 0 1 242 2 2 24 2 1)( 2 1 2 t u xu uuu du xxx xd xxx dx 93