Ch14偏导数和全微分 计划课时:16时 P144—185 2005.06.06. Ch14偏导数和全微分(16时) §1偏导数和全微分的概念 可微性与全微分 可徽性:由一元函数引入,o(√(△x)2+(4y)2)亦可写为aAx+y, (△x,Ay)→>(0,0)时(a,B)→>(0,0) 2.全微分: 例1考查函数f(x,y)=x在点(x,y)处的可微性 偏导数 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义 3.求偏导数 例2,3,4.P143-144 例5f(x,y)=(x2+2x+3)sin(2y+1).求偏导数 例6f(x,y)=xlm(x+1)+√y2+1.求偏导数 例7f(x,y)= x+y 求偏导数,并求f2(2,-1) B]8 f(x,y)=xy+(x-2)In 求f,(2,y)和J,(2,1) 解J(2,y)=f(2,y)=(2y)=4y f(2,1)=f(2,y==4 例9f(x,y)={√x2+ ,证明函数∫(x,y)在点(0,0)连续,并求 0 0 f2(0,0)和f,(0,0)
Ch 14 偏导数和全微分 计划课时： 1 6 时 P 144 — 185 2005. 06. 06 . Ch 14 偏导数和全微分 ( 1 6 时 ) § 1 偏导数和全微分的概念 一、可微性与全微分： 1 ．可微性： 由一元函数引入 . ))()(( 2 2 ο Δ+Δ yx 亦可写为 αΔ + βΔyx , yx ) , ( →ΔΔ ) 0 , 0 ( 时 α β ) , ( → ) 0 , 0 ( . 2． 全微分: 例 1 考查函数 ),( = xyyxf 在点 处的可微性 ) , ( . 00 yx 二、偏导数: 1．偏导数的定义、记法: 2．偏导数的几何意义: 3．求偏导数: 例 2 , 3 , 4 . P143—144 . 例 5 yxf ),( = )12sin()32( . 求偏导数. 2 yxx +++ 例 6 yxf ),( = 1)1ln( 2 yxx +++ . 求偏导数. 例 7 yxf ),( = 22 yx yx + + . 求偏导数, 并求 − ) 1 , 2 ( x f . 例 8 yxf ),( = 12 23 ln)2( 22 22 2 ++ ++ −+ xy yx xxy . 求 和 yf ) , 2 ( . y ) 1 , 2 ( y f 解 yf ) , 2 ( = , y 4)2() , 2 ( yyyf 2 ′ = ′ = =) 1 , 2 ( y f 4) , 2 (′ yf y=1= . 例9 , 0 . 0 , , 0 ),( 22 22 22 23 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+ ≠+ + + = yx yx yx yx yxf ，证明函数 在点 连续 , 并求 和 . yxf ),( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( x f ) 0 , 0 ( y f
f(x,y) 0(pcos+sin20 (x,y)→(0,0) p→+0 limp(pcos3O+sin2O)=0=f(0,0).f(x,y)在点(0,0)连续 f2(0,0)=lim f(x,0)-f(0,0) f(0,0)=1m/(0,)-/(0.0)=m "yy)不存在 ErP153-1541-8 可微条件: 1.必要条件: Th1设(x,y)为函数∫(x,y)定义域的内点f(x,y)在点(x0,y)可微,→ fx(x0,y0)和f,(x0,y)存在,且 dl=d(x,y0)=f(x,y)△x+f(x,y)Ay.(证) 由于△x=a,Ay=d,微分记为 df(o, yo)=f(o, yo)dx+ f, (xo,yo)dy 定理1给出了计算可微函数全微分的方法 两个偏导数存在是可微的必要条件,但不充分 例10考查函数 y f(x,y) 在原点的可微性 2.充分条件: Th2若函数z=f(x,y)的偏导数在的某邻域内存在,且Jx和f在点(x0,y)处连续 则函数∫在点(x0,y)可微(证) Th3若f,(x,y)在点(x0,y)处连续,f(x,y)点(x0,y)存在,则函数∫在点 (x,y)可微 证f(x+Ax,y+△y)-f(x0,y0)= [f(x0+△x,yo+4y)-f(x+△x,y)+[f(xo+△x,y)-f(x0,%0) 215
证 = + =========== → == → ρ θθρρ ρ θρθρ )sincos( ),(lim lim 2 3 2 0 sin,cos )0,0(),( yx yx yxf = )0,0(0)sincos(lim 3 2 0 ==+ f → θθρρ ρ . yxf ),( 在点 连续 ) 0 , 0 ( . ) 0 , 0 ( x f = 0 || lim )0,0()0,( lim 3 0 0 = = − → → xx x x fxf x x , ) 0 , 0 ( y f || lim )0,0(),0( lim 2 0 0 yy y y fyf y→ y→ = − = 不存在 . Ex P153—154 1 — 8 . 三、可微条件: 1．必要条件: Th 1 设 为函数 定义域的内点 . 在点 可微, 和 存在 , 且 ) , ( 00 yx yxf ),( yxf ),( ) , ( 00 yx ⇒ ) , ( 00 yxf x ) , ( 00 yxf y ),( = 00 ),( = 00 df yxdf yx ) , ( 00 yxf x Δx + ) , ( 00 yxf y Δy . ( 证 ) 由于 , =Δ=Δ dyydxx , 微分记为 ),( = . 00 yxdf ) , ( 00 yxf x dx + ) , ( 00 yxf y dy 定理 1 给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例 10 考查函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+ ≠+ = + , 0 0 , , 0 ),( 22 22 22 yx yx yx xy yxf ， 在原点的可微性. 2．充分条件: Th 2 若函数 的偏导数在的某邻域内存在 , 且 和 在点 处连续. 则函数 在点 可微. ( 证 ) = yxfz ),( x f y f ) , ( 00 yx f ) , ( 00 yx Th 3 若 在点 处连续, 点 存在 , 则函数 在点 可微 . yxf ),( y ) , ( 00 yx yxf ),( x ) , ( 00 yx f ) , ( 00 yx 证 ) , ( −Δ+Δ+ fyyxxf 0 0 ) , ( 00 yx = [ ] [ ) , () , () , () , ( ] 0 0 0 0 0 0 00 +Δ+−Δ+Δ+= + Δ − yxfyxxfyxxfyyxxf 215
f(xo +Ax, yo +BAyAy+f(xo, yo )Ax+aAx 00 f(x0,y)+/小y+f(x0,y)△x+a△x=B→0 =f(ro, yo )Ax+f, ( ro, yo )Ay+aAx+ BAy 即∫在点(x,y)可微 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 (x +y-)sin 0 例11f(x,y) 0 验证函数f(x,y)在点(0,0)可微,但f和厂,在点(0,0)处不连续 证f(xy)=+s(xy→0,0 因此f(x,y)=o(p),即f(x,y)-f(00)=0△x+0△y+o(p) ∫在点(0,0)可微,2(00)=0,f(0.0)=0.但(x,y)≠(0,0)时,有 f(x, y)=2xsin xcO 沿方向y=kx,1mx=im不存在,→沿方向y=k,极限 cos 不存在;又(x,y)→>(0,0)时,2x 因此,1im。Jx(x,y)不存在,fx在点(0,0)处不连续由∫关于x和y对称,f 也在点(0,0)处不连续 四、中值定理: Th4设函数∫在点(x,y)的某邻域内存在偏导数.若(x,y)属于该邻域,则存在 5=x0+61(x-x0)和n=y+62(y-y),0<61<1,0<62<1,使得 f(x,y)-f(x0,y0)=f1(5,yx-x)+f,(x0,7(y-y0) 例12设在区域D内fx=f,=0.证明在D内f(x)≡C 五、连续、偏导数存在及可微之间的关系: 六、可微性的几何意义与应用: 216
),() , ( 0 1,0 y 0 0 θ ΔΔ+Δ+= + x 00 Δ +αΔxxyxfyyyxxf < θ < α → = [ y 00 ),( β ] +Δ+ x 00 ),( αΔ+Δ xxyxfyyxf = β → 0 yxyyxfxyxf = x 00 +Δ y 00 ) , () , ( Δ α βΔ+Δ+ . 即 在点 可微 f ) , ( . 00 yx 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 . 例 11 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+ ≠+ + + = , 0 . 0 , , 0 1 sin)( ),( 22 22 22 22 yx yx yx yx yxf 验证函数 在点 可微 yxf ),( ) 0 , 0 ( , 但 和 在点 处不连续. x f y f ) 0 , 0 ( 证 ).0 , 0(),( , 0 1 sin ),( 22 22 → → + += yx yx yx yxf ρ 因此 yxf = ο ρ)(),( , 即 − fyxf = Δ + Δyx + ο ρ)(00)0,0(),( , f 在点 可微 )0 , 0( , = = 0)0,0( , 0)0,0( x y f f . 但 yx ),( ≠ ) 0 , 0 ( 时, 有 22 22 22 1 cos 1 sin2),( yxyx x yx xyxf x + + − + = , 沿方向 = kxy , 0 22 0 2 1|| lim lim kx x yx x x x + = + → → 不存在 , ⇒ 沿方向 = kxy , 极 限 0 22 22 1 lim cos yxyx x x + + → 不存在 ; 又 yx ),( → ) 0 , 0 ( 时, 0 1 sin2 22 → + yx x , 因此, ),(lim 不存在 , 在点 处不连续. 由 关于 )0,0(),( yxf x yx → x f ) 0 , 0 ( f x 和 对称, 也在点 处不连续 . y y f ) 0 , 0 ( 四、 中值定理: Th 4 设函数 在点 的某邻域内存在偏导数 f yx 00 ) , ( . 若 yx ),( 属于该邻域 , 则存在 )(10 0 ξ θ −+= xxx 和 )( 20 0 η = +θ − yyy , 10 , 10 < θ1 < < θ 2 < , 使得 ))( , ())( , (),(),( 00 0 0 0 yyxfxxyfyxfyxf − = x ξ − + y η − . 例 12 设在区域 D 内 = ff yx = 0 . 证明在 D 内 )( ≡ cxf . 五、 连续、偏导数存在及可微之间的关系： 六、 可微性的几何意义与应用： 216
1.可微性的几何意义:切平面的定义 Th5曲面z=f(x,y)在点P(x,y,f(x,y)存在不平行于Z轴的切平面的充要条 件是函数f(x,y)在点P0(x0,y0)可微 2.切平面的求法:设函数∫(x,y)在点P(x0,y)可微,则曲面z=f(x,y)在点 P(x,yo,f(x0,y)处的切平面方程为(其中z0=f(x0,y0)) 2-0=f(x0,y0(x-x0)+J,(x0,y0)y-y) 法线方向数为±(f(x0,y),f(x,y),-1) 法线方程为 f(x0,y0)f,(x0,y0)-1 例13试求抛物面z=ax2+by2在点M(x0,y0,二0)处的切平面方程和法线方程 3.作近似计算和误差估计:与一元函数对照,原理 例14求1.0836的近似值 例15应用公式S=- absin c计算某三角形面积.现测得a=1250 b=830,C=30°.若测量a,b的误差为±0.01,C的误差为±0.1°.求用此公式计 算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限 §2复合函数微分法 简介二元复合函数:z=f(x,y),x=p(s,1),y=y(S,1) 以下列三种情况介绍复合线路图 ==f(, y),x=O(s, 0),y=y(s, 1); =f(x,y,),x=p(s,1),y=v(S,1),==n(s,1) =f(x,y,2),x=(s,t,=),y=v(s,t,=) 链导法则:以“外二内二”型复合函数为例 设函数x=p(s,1),y=v(s,1)在点(S,D)∈D可微,函数z=f(x,y)在点 (x,y)=((s,),y(s,1)可微,则复合函数z=f(o(s,1),v(s,1)在点(s,)可微,且 ax l(,y) as l(s dyl(x. as(sd)
1．可微性的几何意义： 切平面的定义. Th 5 曲面 = yxfz ),( 在点 00 yxfyxP 00 )) , ( , , ( 存在不平行于 Z 轴的切平面的充要条 件是函数 在点 可微 yxf ),( ),( . 000 yxP 2. 切平面的求法: 设函数 在点 yxf ),( yxP 000 ),( 可微 ，则曲面 = yxfz ),( 在点 00 yxfyxP 00 )) , ( , , ( 处的切平面方程为 （ 其中 ),( 0 00 = yxfz ） ))(,())(,( 0 00 0 00 0 yyyxfxxyxfzz =− x − + y − ， 法线方向数为 ( 1 , ),( , ),( ) ± x 00 y yxfyxf 00 − ， 法线方程为 1),(),( 0 00 0 00 0 − − = − = − zz yxf yy yxf xx x y . 例 13 试求抛物面 在点 处的切平面方程和法线方程。 22 += byaxz ),,( 000 zyxM 3. 作近似计算和误差估计: 与一元函数对照 , 原理 . 例 14 求 的近似值. 96.3 08.1 例 15 应用公式 sinCabS 2 1 = 计算某三角形面积 . 现测得 a = 50.12 , . 若测量 的误差为 D b = C = 30 , 30.8 , ba ± , 01.0 C 的误差为 . 求用此公式计 算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. D ± 1.0 § 2 复合函数微分法 简介二元复合函数 : = = φ =ψ tsytsxyxfz ),( , ),( , ),( . 以下列三种情况介绍复合线路图: = = φ =ψ tsytsxyxfz ),( , ),( , ),( ; = zyxfu , ),,( = φ =ψ tsytsx ),( , ),( , = η tsz ),( ; = zyxfu , ),,( = φ =ψ ztsyztsx ),,( , ),,( . 一、链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例. Th 设函数 = φ =ψ tsytsx ),( , ),( 在 点 ts ),( ∈ D 可 微 , 函 数 = yxfz ),( 在 点 yx ),( = (φ ψ tsts ),( , ),( )可微 , 则复合函数 = fz (φ ψ tsts ),( , ),( )在点 可微 ts ),( , 且 ts ),( tsyx ),(),( tsyx ),(),( s y y z s x x z s z ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ , 217
at l(s 0) ax 2 (x,y)a,(s/) 称这一公式为链导公式.该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加,沿线乘”(或 并联加,串联乘”)来概括。对所谓“外三内 外二内 外一内二”等 复合情况,用“并联加,串联乘”的原则可写出相应的链导公式.链导公式中内函数的可 微性可减弱为存在偏导数但对外函数的可微性假设不能减弱.对外m元 f(u1,u2,…,un),内n元lk=(x,x2,…,xn)(k=1,2,…,m),有 a-s a ouk i=1,2 外n元内一元的复合函数为一元函数.特称该复合函数的导数为全导数 例1二=ln(2+),u v=x2+y.求一和 Ox av 12E="-p2,u= x y,"= xsin y.求和na 例 例3=(x2+y)…,求江时 例4设函数f(u,v,w)可微.F(x,y,)=f(x,xy,xy2).求F2、F和F 例5用链导公式计算下列一元函数的导数 i>y=x ii>y= (1+x2)nx sin x+ cos x 例6设函数u=l(x,y)可微.在极坐标变换x=rcos6,y=rsin下,证明 au 例7设函数f(u)可微,z=y/(x2-y2).求证 二、复合函数的全微分:全微分和全微分形式不变性 例8==esin(x+y).利用全微分形式不变性求d,并由此导出一和 ExP160-1611-10 三、高阶偏导数 1.高阶偏导数的定义、记法:
ts ),( tsyx ),(),( tsyx ),(),( t y y z t x x z t z ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ . 称这一公式为链导公式 . 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加 ，沿线乘”（ 或 “并联加 ，串联乘” ）来概括。对所谓“外三内二”、 “外二内三”、 “外一内二”等 复合情况，用“并联加 ，串联乘”的原则可写出相应的链导公式. 链导公式中内函数的可 微性可减弱为存在偏导数 . 但对外函数的可微性假设不能减弱 . 对 外 m 元 21 " uuuf m ),,,( , 内n 元 ),,,(ik 21 n = φ " xxxu k = " m) , , 2 , 1( , 有 ∑= ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ m k i k i k x u u f x f 1 ， i = " , , 2 , 1 n . 外n 元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数. 例 1 yxveuvuz . 求 yx =+= += 2 + 2 , )ln( , 2 x z ∂ ∂ 和 y z ∂ ∂ . 例 2 2 −= uvvuz 2 , = = sin , cos yxvyxu . 求 x z ∂ ∂ 和 y z ∂ ∂ . 例 3 ( ) , 求 )3( 2 2 2 yx yxz + += x z ∂ ∂ 和 y z ∂ ∂ . 例 4 设函数 可微 wvuf ),,( . = xyzxyxfzyxF ),,(),,( . 求 、 和 . Fx Fy Fz 例 5 用链导公式计算下列一元函数的导数 : ⅰ> ; ⅱ> x = xy xx xx y cossin ln)1( 2 + + = . 例6 设函数 = yxuu ),( 可微. 在极坐标变换 = θ = ryrx sin , cos θ 下 , 证明 2 2 2 2 2 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ y u x uu r r u θ . 例7 设函数 可微 uf )( , )( . 求证 22 −= yxyfz xz y z xy x z y = ∂ ∂ + ∂ 2 ∂ . 二、复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性 . 例8 yxez )sin( . 利用全微分形式不变性求 , 并由此导出 xy += dz x z ∂ ∂ 和 y z ∂ ∂ . Ex P160—161 1—10. 三、高阶偏导数: 1． 高阶偏导数的定义、记法： 218
例9二=e+2y,求二阶偏导数和 aL 例10=amcg2.求二阶偏导数 关于混合偏导数:[lP167-170 3.求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数:公式 a2- 例11 f(x,-).求2和 4.验证或化简偏微分方程: 例12=ln√x2+ 证明 0.( Laplace方程) 例13将方程x-y-=0变为极坐标形式 解x=rcos,y=rsn.→r=√x2+y2,=avgy 06 06x ax ax ar ax a0 ax r ar r-a0 Ou- au or a 08 -y ou x au ay ar ay a0 ay r ar ra8 此, ar r-a0 r20 060 方程化简为v≠0 例9试确定a和b,利用线性变换S=x+ay,t=x+by将方程 ax andy ay u=0化为ast a2u 0 解 ax as ax at ax as at au au as au at ay as ay at ay =a-+ 219
例 9 , 求二阶偏导数和 2 yx ez + = 2 3 xy z ∂∂ ∂ . 例 10 x y = arctgz . 求二阶偏导数. 2．关于混合偏导数: [1]P167—170. 3．求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数: 公式 例 11 ) , ( y x = xfz . 求 2 2 x z ∂ ∂ 和 yx z ∂∂ ∂ 2 . 4. 验证或化简偏微分方程: 例 12 22 ln += yxz . 证明 2 2 x z ∂ ∂ + 2 2 y z ∂ ∂ = 0. ( Laplace 方程 ) 例 13 将方程 = 0 ∂ ∂ − ∂ ∂ x u y y u x 变为极坐标形式. 解 x y = θ = ryrx θ .sin , cos yxr , θ =+=⇒ arctg 22 . r x yx x x r = + = ∂ ∂ 22 , r y y r = ∂ ∂ , 2 r y x −= ∂ ∂θ , 2 r x y = ∂ ∂θ . θ θ θ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ u r y r u r x x u x r r u x u 2 , θ θ θ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ u r x r u r y y u y r r u y u 2 ; 因此, θ θ ∂θθ ∂ = ∂ ∂+ = ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ uu r yxu r y r u r xyu r x r u r xy x u y y u x 2 22 2 2 2 2 . 方程化简为 = 0 ∂ ∂ θ u . 例9 试确定a 和b , 利用线性变换 += , = + byxtayxs 将方程 034 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂∂ ∂ + ∂ ∂ y u yx u x u 化为 0 2 = ∂∂ ∂ ts u . 解 t u s u x t t u x s s u x u ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ , t u b s u a y t t u y s s u y u ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ . 219
au a2u as a2u at a2u as a2u at as2 ax asat ax atas ax at2 ax a2u au a2u asat at au as a2u at au as a2u ar as- ay asat ay atas ay at2 ay a-u, a-u =a2+(a+b) asat a-u 2ab Csat boz 因此n +4 lL ax andy ay (1+4a+3a2)2+(2+4a+4b+6b)+(1+4b+3b2) 令1+4a+3a2=0,1+4b+3b2=0,→a=-,b=-1或a=-1,b=- 或 此时方程”+4“+3”=0化简为 a-u av asat EP1549 §3方向导数和梯度 、方向导数: 方向导数的定义 定义设三元函数∫在点P0(x0,y0,0)的某邻域∪(P0)cR内有定义.为从点P 出发的射线.P(x,y,)为l上且含于∪()内的任一点,以P表示P与P0两点间的 距离.若极限 lim /(P)-f(Po)
2 2 x u ∂ ∂ = ∂x ∂ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ t u s u 2 2 s u ∂ ∂ x s ∂ ∂ + ts u ∂∂ ∂ 2 x t ∂ ∂ + st u ∂∂ ∂ 2 x s ∂ ∂ + 2 2 t u ∂ ∂ x t ∂ ∂ = 2 2 s u ∂ ∂ +2 ts u ∂∂ ∂ 2 + 2 2 t u ∂ ∂ . yx u ∂∂ ∂ 2 = ∂y ∂ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ t u s u = 2 2 s u ∂ ∂ y s ∂ ∂ + ts u ∂∂ ∂ 2 y t ∂ ∂ + st u ∂∂ ∂ 2 y s ∂ ∂ + 2 2 t u ∂ ∂ y t ∂ ∂ = = 2 2 s u a ∂ ∂ + + ba )( ts u ∂∂ ∂ 2 +b 2 2 t u ∂ ∂ . 2 2 y u ∂ ∂ = ∂y ∂ ⎟ ==⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ " t u b s u a 2 2 2 s u a ∂ ∂ + 2ab ts u ∂∂ ∂ 2 + 2 b 2 2 t u ∂ ∂ . 因此 , = ∂ ∂ + ∂∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 34 y u yx u x u )341( 2 ++= aa 2 2 s u ∂ ∂ + ( +++ abba )6442 ts u ∂∂ ∂ 2 + )341( 2 ++ bb 2 2 t u ∂ ∂ . 令 0341 , 2 aa =++ 1 , 3 1 , 0341 2 bb ba −=−=⇒=++ 或 3 1 , 1 ba −=−= 或 ……, 此时方程 034 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂∂ ∂ + ∂ ∂ y u yx u x u 化简为 0 2 = ∂∂ ∂ ts u . Ex P154 9 . § 3 方向导数和梯度 一、方向导数： 1．方向导数的定义： 定义 设三元函数 在点 f zyxP 0000 ),,( 的某邻域 )( ∪ P0 ⊂ 3 R 内有定义 . l 为从点 出发的射线 . 为 上且含于 内的任一点 , 以 P0 zyxP ),,( l )( ∪ P0 ρ 表示 P 与 两点间的 距离 . 若极限 P0 ρ ρ ρ ρ PfPf f Δl = − → + → + 0 0 0 lim )()( lim 220
存在,则称此极限为函数厂在点P沿方向的方向导数,记为12或() f(x0,y,20) 对二元函数z=f(x,y)在点P(x02,y),可仿此定义方向导数 易见,9、9和9是三元函数厂在点P分别沿X轴正向、y轴正向和Z轴正向 的方向导数 例1f(x,y,z)=x+y2+x3.求∫在点P(1,1,1)处沿l方向的方向导数,其中 i>7为方向(2,-2,1);ⅱ〉1为从点(1,1,1)到点(2,-2,1)的方向 解i>l为方向的射线为-y-1z-1令 =t(>0).即 2 x=21+1,y=-21+1,z=1+1,(t≥0) f(P0)=f(1,1,1)=3 f(P)=f(21+1,-2t+1,t+1)=(2t+1)+(-21+1)2+(1+1)3=t3+7t2+t+3 p=√(x-12+(y-1)2+(-1)2=√(2n)2+(2)2+t2=3n 因此, f(P)-f(Po) +712+t1 = lim al P 3t i)从点(1,1,1)到点(2,-2,1)的方向/的方向数为(1,-3,0),l方向的射线为 x=t+1,y=-3t+1,z=1,(t≥0) f(P)=f(t+1,-3+1,1)=9-5+3,∫(B0)=f(1,1,1)=3 p=√(x-12+(y-1)2+(=-12=√P2+(-32=√0 因此,91=mn(p-()=1m9=5 10t 2.方向导数的计算 Th若函数∫在点P(x0,y,=0)可微,则∫在点P处沿任一方向/的方向导数都存在, A. f(Po)=f(Po)cosa +f, (Po)cos B +f(Po)cosy 其中cosa、cosβ和cosy为l的方向余弦(证) 对二元函数f(x,y),f(B)=2(P)cosa+f,()cosB,其中a和B是/的方向角
存在 , 则称此极限为函数 在点 沿方向 f P0 l 的方向导数 , 记为 P0 l f ∂ ∂ 或 、 . )(l Pf 0 ),,( 000 zyxfl 对二元函数 = yxfz ),( 在点 ),( , 可仿此定义方向导数 . 000 yxP 易见 , x f ∂ ∂ 、 y f ∂ ∂ 和 z f ∂ ∂ 是三元函数 在点 分别沿 f P0 X 轴正向、Y 轴正向和 Z 轴正向 的方向导数 . 例1 zyxf ),,( = . 求 在点 处沿l 方向的方向导数, 其中 32 ++ zyx f P0 ) 1 , 1 , 1 ( ⅰ> l 为方向 − ) 1 , 2 , 2 ( ; ⅱ> l 为从点 到点 ) 1 , 1 , 1 ( − ) 1 , 2 , 2 ( 的方向. 解 ⅰ> l 为方向的射线为 令 === − = − − = − 1 1 2 1 2 1 zyx t > )0 ( . 即 ttztytx ≥+=+−=+= ) 0 ( , 1 , 12 , 12 . 3) 1, 1 , 1 ()( 0 = fPf = , 37) 1 () 12 () 12 ( ) 1 , 12 , 12 ()( 2 233 ttttfPf ttttt +++=+++−++=++−+= zyx 3)2()2()1()1()1( tttt 2 2 2 2 22 ρ =+−+=−+−+−= . 因此 , . 3 1 3 7 lim )()( lim 23 0 0 0 0 = ++ = − = ∂ ∂ → + → + t PfPf ttt l f t P ρ ρ ⅱ> 从点 ) 1 , 1 , 1 ( 到点 − ) 1 , 2 , 2 ( 的方向l 的方向数为 − ), 0 , 3 , 1 ( l 方向的射线为 tztytx ≥=+−=+= ) 0 ( , 1 , 13 , 1 . 359) 1 , 13 , 1()( 2 ttttfPf +−=+−+= , 3) 1, 1 , 1 ()( 0 = fPf = ; 10)3()1()1()1( tttzyx 2 2 2 2 2 ρ =−+=−+−+−= . 因此 , . 10 5 10 59 lim )()( lim 2 0 0 0 0 −= − = − = ∂ ∂ → + → + t PfPf tt l f t P ρ ρ 2. 方向导数的计算: Th 若函数 在点 可微 , 则 在点 处沿任一方向 的方向导数都存在 , 且 f ),,( 0000 zyxP f P0 l l Pf 0 )( = )( x Pf 0 cosα + )( y Pf 0 cos β + )(z Pf 0 cosγ , 其中cosα 、cos β 和cosγ 为l 的方向余弦. ( 证 ) 对二元函数 yxf ),( , l Pf 0 )( = )( x Pf 0 cosα + )( y Pf 0 cos β , 其中α 和 β 是l 的方向角. 221
註由J(B)=f(B)cosa+f,(P)cosB+f:(B)cosy= =(S,(P),/,(PO), (Po)) cosa, cos B, cosy 可见,f(P)为向量(f(P),f(P),f(P))在方向l上的投影 例2(上述例1) 解i>l的方向余弦为cosa= cos B=-,cosy= 22+(-2)2+12 3 f(P)=1,f,(P)=2yx=2,f(P)=3-1=3 因此,y f (Po) cosa +f,(Po)coS B +f (Po)cosy=3+2. (-5)+3.1 ⅱ〉l的方向余弦为 CoSa= B cOs √10 f 因此,al 可微是方向导数存在的充分条件,但不必要 梯度(陡度) 梯度的定义:grdy=(f1(B),f,(P),f(P)) g=(P)+(,(2)+((P 易见,对可微函数∫,方向导数是梯度在该方向上的投影 2.梯度的几何意义:对可微函数,梯度方向是函数变化最快的方向.这是因为 f, (Po)=gradf.I=lgradf(Po)I cose 其中θ是与grad()夹角.可见θ=0时∫(P)取最大值,在/的反方向取最小值 3.梯度的运算 i> grad(u+c) i> grad(a u+Bv)=a grad u+B grad v ii> grad(uv)=u grad v+v grad u v> grad f(u)=f(gradu
註 由 l Pf 0 )( = )( x Pf 0 cosα + )( y Pf 0 cos β + )(z Pf 0 cosγ = = ( )( , , x Pf 0 )( y Pf 0 )(z Pf 0 ) ⋅( cosα , cos β , cosγ ), 可见 , )( 为向量( , , 在方向l 上的投影. l Pf 0 )( x Pf 0 )( y Pf 0 )(z Pf 0 ) 例 2 ( 上述例 1 ) 解 ⅰ> l 的方向余弦为cosα = 3 2 1)2(2 2 2 22 = +−+ , cos β = 3 2 − , cosγ = 3 1 . )( =1 , = x Pf 0 )( y Pf 0 22y y=1 = , )( = z Pf 0 1 33 2 z z= = . 因此 , l f ∂ ∂ = )( x Pf 0 cosα + )( y Pf 0 cos β + )(z Pf 0 cosγ = 3 1 3 1 3) 3 2 (2 3 2 =⋅+−⋅+ . ⅱ> l 的方向余弦为 cosα = 10 1 )11()12()12( 12 2 2 2 = −+−−+− − , cos β = 10 3 − , cosγ = 0 . 因此 , l f ∂ ∂ = 10 5 10 3 2 10 1 1 −=⋅−⋅ . 可微是方向导数存在的充分条件 , 但不必要 . 二. 梯度 ( 陡度 ): 1. 梯度的定义: gradf = ( )( , , . x Pf 0 )( y Pf 0 )(z Pf 0 ) | gradf |= ( ) ( ) ( )2 0 2 0 2 0 PfPfPf )()()( x + y + z . 易见 , 对可微函数 f , 方向导数是梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义: 对可微函数 , 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为 )( = | l Pf 0 lgradf =⋅ |)(Pgradf 0 cosθ . 其中θ 是 与l Pgradf 0 )( 夹角. 可见θ = 0 时 取最大值 )( , 在l 的反方向取最小值 . l Pf 0 3. 梯度的运算: ⅰ> grad cu )( =+ grad u . ⅱ> grad (α u + β v ) = α grad u + β grad v . ⅲ> grad (u v ) = u grad v + v grad u . ⅳ> grad 2 u ugradv vgradu u v − = . ⅴ> grad f (u ) = ′ )( graduuf . 222
In -ll 1 rU. l 1 =am,uy,)-( ll v,v= iigraav (v,v)-v(u,,u gradu EvP1831-6 §4 Taylor公式 中值定理:凸区域 Th1设二元函数∫在凸区域DcR2上连续,在D的所有内点处可微则对D内任意 两点P(a,b),Q(a+h,b+k)∈intD,存在b(0<<1),使 f(a+h,b+k)-f(a,b)=fx(a+,b+欧+∫(a+历,b+欧片 证令Φ(D)=f(a+h,b+k),…在闭凸区域上的情况 系若函数∫在区域D上存在偏导数,且∫x≡f,≡0,则∫是D上的常值函数 Taylor公式: Th2(ayor公式)若函数∫在点P(x,y)的某邻域∪(P)内有直到n+1阶连续偏导 数,则对U(P)内任一点(x+h,y+k)存在相应的b∈(0,1),使 f(xo +h, yo +k) f(x0,y0) h-+k (x. +oh (n+1)!(ax ay 例1求函数f(x,y)=x在点(1,4)的ayor公式(到二阶为止).并用它计算 EP185
证ⅳ> 2 u vuuv u v xx x − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ , 2 u vuuv u v yy y − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ . grad = − ) , ( =− 1 2 vuuvvuuv u u v xx yy = [ ] − ) , ( ) , ( = 1 2 vuvuvuuv u yx yx = [ − ) , () , ( ] = 1 2 yx uuvvvu yx u 2 u ugradv − vgradu . Ex P183 1 — 6 . § 4 Taylor 公式 一． 中值定理： 凸区域 . Th 1 设二元函数 在凸区域 f D 2 ⊂ R 上连续 , 在 D 的所有内点处可微 . 则对 D 内任意 两点 ++ kbhaQbaP ∈ int) , ( , ),( D , 存在θ < θ < ) 10 ( , 使 kkbhafhkbhafbafkbhaf x θ ++=−++ θ + +θ +θ ) , () , (),() , ( . 证 令 ++=Φ tkbthaft , ) , ()( ". 在闭凸区域上的情况: 系 若函数 在区域 f D 上存在偏导数 , 且 x f ≡ y f ≡ 0 , 则 是f D 上的常值函数. 二. Taylor 公式: Th 2 (Taylor 公式) 若函数 在点 的某邻域 内有直到 f ),( 000 yxP )( ∪ P0 n +1阶连续偏导 数 , 则对 内任一点 ∪ P0 )( 0 0 ++ kyhx ) , ( ,存在相应的θ ∈ ) 1 , 0( , 使 0 0 kyhxf ) , ( =++ ∑= + ++ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = n i i n kyhxf y k x h n yxf y k x h i 0 0 0 1 00 ). , ( )!1( 1 ),( ! 1 θθ 例1 求函数 在点 的 Taylor 公式 ( 到二阶为止 ) . 并用它计算 y ),( = xyxf ) 4 , 1 ( .) 08.1 ( 96.3 Ex P185 1 — 2 . 223