Ch11函数项级数、幂级数 计划课时:12时 P156170 2005.03.27 Ch11函数项级数、幂级数(12时) §1函数项级数的一致收敛性(6时 函数列及极限函数:对定义在区间I上的函数列{n(x)},介绍 概念:收敛点,收敛域(注意定义域与收敛域的区别),极限函数等概 逐点收敛(或称为“点态收敛”)的“E-N”定义 例1对定义在(-∞,+∞)内的等比函数列∫n(x)=x",用“E-N” 定义验证其收敛域为(-1,1],且 lim f(x)=lim x"= ∫0,1x|∞) (1)fn(x)= fn(x)→>sgnx R f (x)=xin+l fn(x)→>Sgnx,x∈R (3)设n1,2…,rn,…为区间[0,1上的全体有理数所成数列.令
Ch 11 函数项级数、幂级数 计划课时： 1 2 时 P 156—170 2005. 03.27 . Ch 11 函数项级数、幂级数 （ 1 2 时 ） § 1 函数项级数的一致收敛性（ 6 时 ） 一、函数列及极限函数：对定义在区间 I 上的函数列 ，介绍 概念：收敛点，收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ），极限函数等概 念. xf )}({ n 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“ε − N ”定义. 例 1 对定义在 ∞− + ∞ ) , ( 内的等比函数列 xf )( n = n x , 用“ε − N ” 定义验证其收敛域为 − ] 1 , 1 ( , 且 n ∞→ lim xf )( n = n ∞→ lim n x = ⎩ ⎨ ⎧ = < . 1 , 1 , 1 || , 0 x x 例 2 xf )( n = n sin nx . 用“ ε − N ”定义验证在 − ∞ + ∞ ) , ( 内 . n ∞→ lim xf )( n = 0 例 3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: n → ∞ ) ( . ⑴ xf )( n = xx xx nn nn − − + − . xf )( n → x,sgn x ∈R . ⑵ xf )( n = 12 1 n+ x . xf )( n → x,sgn x ∈R . ⑶ 设 ,,,, "" 为区间 上的全体有理数所成数列. 令 21 nrrr ] 1 , 0 [
x =r.I 0,x∈[0,11x≠F,12…J(x)→D(x) x∈[0,1] (4)f(x)=2n'xe- fn(x)→>0, x∈R 4′ 0≤x∫(x),(n→∞).试问:通项fn(x)的 解析性质是否必遗传给极限函数∫(x)?答案是否定的.上述例1、例 3(1)②)说明连续性未能遗传,而例3(3)说明可积性未能遗传.例3(4)(5)说明 虽然可积性得到遗传,但 r'SCxdrxajlim f,(Gx)ber 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段.特别是表达非初 等函数的一种手段.对这种函数, lim f,(x)就是其表达式.于是,由通 项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要.那末,在 什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢?一个充分条件就 是所谓“一致收敛”.一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛” 的结果 定义(一致收敛) 致收敛的几何意义 Th1(一致收敛的 Cauchy准则)函数列{/n}在数集D上一致收 敛,分VE>0,彐N,Vm,n>N, m-f 介绍
xf )( , n = ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ≠ = .,,, ] 1 , 0 [ , 0 ,,,, , 1 21 21 n n x rrrx rrrx " " 且 xf )( n → xD )( x∈ ] 1 , 0 [ . ⑷ xf )( . , n = 22 2 2 xn xen − xf )( n → 0 x ∈R . ⑸ xf )( n = ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤ − ∀ , 0 N , ∀ > Nnm , , ⇒ <− ε nm ff . ( 介绍 156
另一种形式m-ff(x),(n→∞).若存在数列 {xn}cD,使|f(xn)-f(xn)|0,则函数列{n(x)}在数集D上 非一致收敛 应用系2判断函数列{n(x)}在数集D上非一致收敛时,常选xn为函 数Fn(x)=fn(x)-f(x)在数集D上的最值点 验证函数一致收敛性 例4f(x)=当.证明函数列{(x)}在R内一致收敛 例5fn(x)=2n2xemx.证明在R内f(x)→>0,但不一致收敛 证显然有fn(x)→0,|f(x)-f(x)|=Jn(x)在点xn=一一处 取得极大值|=√2me→0,、(n→∞),由系2,/() 不一致收敛 例6S(x) 1+n2x 证明在(-∞,+∞)内Sn(x)二0 n→
另一种形式 <− ε + npn ff .) 证 ⇒) ( 利用式 ffffff . mnm n −+−≤− ) ⇐) 易 见 逐 点 收 敛 . 设 n ∞→ lim xf )( n = xf )( , … … , 有 2 |)()(| ε m n xfxf <− . 令 m ∞→ , ⇒ ε ε <≤− 2 xfxf |)()(| n 对 ∀ x ∈ D 成立 , 即 xf )( , n ⎯⎯→ ⎯⎯→ xf )( n → ∞ ) ( ， x∈D. 系 1 在 D 上 f n ⎯ ⎯ ⎯→ ⎯→ f , n ∞→ ) ( ，⇔ − = 0|)()(|suplim∞→ xfxf n D n . 系 2 设在数集 D 上 xf )( , n → xf )( n → ∞ ) ( . 若存在数列 xn }{ ⊂ D , 使 − →/ 0 |)()(| nn n xfxf , 则函数列 在数集 D 上 非一致收敛 . xf )}({ n 应用系 2 判断函数列 在数集 D 上非一致收敛时, 常选 为函 数 ― 在数集 D 上的最值点. xf )}({ n n x n xF )( = xf )( n xf )( 验证函数一致收敛性: 例 4 xf )( n n sin nx = . 证明函数列 xf )}({ 在 R 内一致收敛. n 例 5 xf )( . 证明在 R 内 , 但不一致收敛. n 22 2 2 xn xen − = xf )( n → 0 证 显然有 xf )( , n → 0 xfxf |)()(| n − = n xf )( 在点 n x = 2n 1 处 取得极大值 02 2 1 2 1 ⎟ = →/ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ne n f n , n → ∞ ) ( . 由系 2 , 不一致收敛. xf )}({ n 例 6 22 1 )( n x x n xS + = . 证 明 在 ∞− + ∞ ) , ( 内 , . xS )( n ⎯⎯→ ⎯⎯→ 0 n ∞→ ) ( 157
证易见 lim s(x)=S(x)=0.而 Sn(x)-(x),|x|1.2n|x x-,就有厂n(x)=0.因此,在(0,1]上 有f(x)= lim(x)=0.fn(0)=0,→f(0)= lim f(0)=0.于 是,在[0,1]上有∫(x)= lim f(x)=0.但由于 ma(x)-() 2n/-“》0,(n→∞),因此,该函数 列在[0,1]上不一致收敛 例8fn(x)=Sin 考查函数列{n(x)}在下列区间上的一致 收敛性:(1)[-l,l],(>0) 三.函数项级数及其一致收敛性 1.函数项级数及其和函数;∑u1(x),前n项部分和函数列{S1(x)} 收敛点,收敛域,和函数,余项 例9定义在(-∞,+∞)内的函数项级数(称为几何级数)
证 易见 n ∞→ lim = xSxS = .0)()( n 而 nx n xn xn n x xSxSn 2 1 )(1 ||2 2 1 1 || |)()(| 22 2 ≤ + ⋅= + =− 在 − ∞ + ∞ ) , ( 内 成立. 由系 1 , ⇒ …… 例7 对定义在区间 上的函数列 ] 1 , 0 [ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ xn −1 , 就有 xf )( n = 0. 因此, 在 上 有 ] 1 , 0 ( xf )( = n ∞→ lim xf )( n = 0. = 0)0( n f , ⇒ f )0( = n ∞→ lim )0( n f = 0.于 是 , 在 ] 1 , 0 [ 上 有 xf )( = n→∞ lim xf )( n = 0 . 但 由 于 0 2 1 |)()(|max]1,0[ ⎟ = →/ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =− ∈ n n fxfxf n n x , n → ∞ ) ( ,因此 , 该函数 列在 ] 1 , 0 [ 上不一致收敛. 例 8 xf )( n = 12 sin 2 n + x . 考查函数列 在下列区间上的一致 收敛性: ⑴ xf )}({ n − lll > )0( , ] , [ ; ⑵ + ∞) , 0 [ . 三. 函数项级数及其一致收敛性: 1．函数项级数及其和函数：，∑ xu )( n , 前 n 项部分和函数列 ， 收敛点，收敛域, 和函数, 余项. xS )}({ n 例 9 定义在 ∞− + ∞ ) , ( 内的函数项级数( 称为几何级数 ) 158
xn=1+x+x2+…+x+… 的部分和函数列为Sn(x) (x≠1),收敛域为(-1,1) 2.一致收敛性:定义一致收敛性. Th2(achy准则)级数∑u1(x)在区间D上一致收敛,台 VE>0,N,Wn>N,Vp∈N,→ un(x)+ln2(x)+…+u n+p(x)|E对x∈D成立 系级数∑un(x)在区间D上一致收敛,→n(x)二0, Th3级数∑un(x)在区间D上一致收敛,台 R, (x)lim sup S(x)-S(x)=0 例10证明级数(-1) 在R内一致收敛 证今2(1)=( 则n→∞时 n lun(x)+um+2(x)+.+un+,(x)1= +x(=1)1≤ →0对Ⅴx∈R成立 n+1√n+1 例11几何级数∑x”在区间[-a,a1(0<a<1)上一致收敛;但在 (-1,1)内非一致收敛. 证在区间[-a,a]上,有 sup S,(x)-s(x)=sup
∑ +++++= "" ∞ = n n n xxxx 2 0 1 的部分和函数列为 ) 1 ( 1 1 )( ≠ − − = x x x xS n n , 收敛域为 − ) 1 , 1 ( . 2． 一致收敛性: 定义一致收敛性. Th2 ( Cauchy 准则 ) 级数 ∑ xu )( 在区间 D 上一致收敛, n ⇔ ε ∃>∀ ,0 N , >∀ ∀pNn ∈ N, , ⇒ )()(| |)( ε n+1 + n+2 +"+ + pn xuxuxu < 对∀x ∈D 成立. 系 级 数 ∑ 在区间 D 上 一 致收 敛 , , . xu )( n ⇒ un x)( ⎯⎯→ ⎯⎯→ 0 n ∞→ ) ( Th3 级数 在区间 ∑ xu )( D 上一致收敛, n ⇔ n ∞→ lim = ∈ n xR |)(|sup x D n ∞→ lim − = 0|)()(|sup∈ n xSxS x D . 例 10 证明级数∑ ∞ = − + − 1 2 1 ) 1( n n nx 在 R 内一致收敛 . 证 令 = un x)( nx n + − − 2 1 ) 1( , 则 n ∞→ 时 ≤ ++ − +− ++ =+++ + + + + | ) 1( 1 1 )()(| | |)( 2 1 2 1 2 nx pnx xuxuxu p n n " pn " 0 1 1 1 1 2 → + ≤ ++ ≤ nnx 对∀x ∈R 成立. …… 例 11 几何级数 ∑ 在区间 ∞ n=0 n x − aa ] , [ < a < )10( 上一致收敛；但在 − ) 1 , 1( 内非一致收敛. 证 在区间 − aa ] , [ 上 , 有 0 11 sup|)()(|sup ],[ ],[ → − = − − =− − − a a a x xSxS n n aa n aa , n → ∞ ) ( . ⇒ 159
∑一致收敛;而在区间(-1,1)内,取xn="∈(-11),有 sup Sm, (x)-s(x)sup →∑非一致收敛.。(亦可由通项n(x)=x”在区间(-1,1)内非 致收敛于零,→∑非一致收敛 几何级数∑x“虽然在区间(1,1)内非一致收敛,但在包含于 (-1,1)内的任何闭区间上却一致收敛·我们称这种情况为“闭一致收 敛”.因此,我们说几何级数∑x在区间(-1,1)内闭一致收敛 四、函数项级数一致收敛判别法 1.M-判别法: Th4( Weierstrass判别法)设级数∑un(x)定义在区间D上, ∑M,是收敛的正项级数.若当n充分大时,对Wx∈D有 un(x)|sMn,则∑在D上一致收敛 x)s∑un(x)s∑Mn=∑Mm,然后用 Cauchy准则 亦称此判别法为优级数判别法称满足该定理条件的正项级数∑Mn 是级数∑u1(x)的一个优级数.于是Th4可以叙述为:若级数 ∑un(x)在区间D上存在优级数,则级数∑n(x)在区间D上一致收 斂·应用时,常可试取Mn=sp{un(x)}但应注意,级数∑un(x)
∑ 一致收敛 ; 而在区间 − ) 1 , 1( 内 , 取 ∈ + = n 1 n xn − ) 1 , 1( , 有 ⎟ ∞→ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ≥ − =− − − − 1 )1,1( )1,1( 1 1 1 1 1 sup|)()(|sup n n n n n n n n n n n x x xSxS ⇒ ∑ 非一致收敛. ( 亦可由通项 在区间 n n )( = xxu − ) 1 , 1( 内非 一致收敛于零,⇒ ∑ 非一致收敛.) 几何级数 虽然在区间 内非一致收敛 , 但在包含于 内的任何闭区间上却一致收敛 . 我们称这种情况为“闭一致收 敛”. 因此 , 我们说几何级数 在区间 ∑ ∞ n=0 n x − ) 1 , 1( − ) 1 , 1( ∑ ∞ n=0 n x − ) 1 , 1( 内闭一致收敛 . 四、 函数项级数一致收敛判别法: 1．M - 判别法: Th 4 ( Weierstrass 判别法 ) 设级数 定义在区间 D 上, 是收敛的正项级数.若当 充 分 大 时 , 对 ∑ xu )( n ∑ M n n ∀x ∈ D 有 | n n xu |)( ≤ M , 则∑ 在 D 上一致收敛 . 证 , |)(| )( 1 1 1 1 ∑ ∑ ∑ ∑ = = + = + + = + ≤ =≤ p i p i in p i in in p i in Mxuxu M 然后用 Cauchy 准则. 亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数 ∑ M n 是级数 的一个优级数. 于是 Th 4 可以叙述为 : 若级数 在区间 D 上存在优级数 , 则级数 ∑ xu )( n ∑ xu )( n ∑ xu )( n 在区间 D 上一致收 敛 . 应用时, 常可试取 M n xu |})({|sup Dx n ∈ = .但应注意, 级数∑ xu )( n 160
在区间D上不存在优级数,级数∑u1(x)在区间D上非一致收敛 注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别 例12判断函数项级数 coS nx 和 在R内的一致收敛性 例13设un(x)(n=1,2,…)是区间[a,b]上的单调函数,试证明: 若级数∑un(a)与∑un(b)都绝对收敛,则级数∑un(x)在区间 [a,b]上绝对并一致收敛.简证,留为作业 u,(x)slu, (a)1+u, (b)... 2.Abel判别法 Th5设i>级数∑un(x)在区间I上收敛;i>对每个x∈I,数 列{vn(x)}单调;i)函数列{vn(x)}在I上一致有界,即彐M>0 使对Wx∈I和Ⅶn,有v(x)|M.则级数∑un(x)n(x)在区 间I上一致收敛 3. Dirichlet判别法 Th6设1>级数∑u1(x)的部分和函数列U2(x)=∑u4(x)在区间 I上一致有界;ⅱ〉对于每一个x∈I,数列{vn(x)}单调;ⅲ)在 区间1上函数列{n(x)一致收敛于零.则级数∑un(x),(x)在区 间I上一致收敛 例14判断函数项级数S(-1)"(x+n) 在区间[0,1]上的一致收敛性 解记n()=(=1,,()=(1+2).则有1)级数∑()收 敛:i>对每个x∈[0,1,n,(x):i>1n(x)=(1+x)≤e
在区间 D 上不存在优级数 , ⇒/ 级数∑ xu )( 在区间 D 上非一致收敛. n 注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别. 例 12 判断函数项级数∑ ∞ =in n nx 2 sin 和∑ ∞ =in n nx 2 cos 在 R 内的一致收敛性 . 例 13 设 nxu = ") , 2 , 1 ( )( n 是区间 上的单调函数. 试证明 : 若级数 与 ba ] , [ ∑ au )( n ∑ bu )( n 都绝对收敛, 则级数 ∑ xu )( n 在区间 上绝对并一致收敛 .简证 , 留 为 作 业 . .…… ba ] , [ buauxu |)(||)(| |)(| n n +≤ n 2. Abel 判别法: Th 5 设 ⅰ> 级数∑ xu )( n 在区间I 上收敛; ⅱ> 对每个 x∈ I , 数 列 n xv )}({ 单调 ; ⅲ> 函数列{ n (xv )}在 I 上一致有界, 即∃M > 0 , 使对 x ∈∀ I 和∀n , 有 Mxvn ≤ |)(| . 则级数 ∑ xvxu )()( nn 在区 间I 上一致收敛 . 3．Dirichlet 判别法: Th 6 设 ⅰ> 级数∑ xu )( n 的部分和函数列 在区间 上一致有界; ⅱ> 对于每一个 ∑= = n k n k xuxU 1 )()( I x ∈ I , 数列 单调; ⅲ> 在 区间 I 上函数列 一致收敛于零. 则级数 xv )}({ n xv )}({ n ∑ xvxu )()( nn 在区 间I 上一致收敛 . 例 14判断函数项级数∑ + +− 1 )() 1( n n n n nx 在区间 ] 1 , 0 [ 上的一致收敛性. 解 记 n n n n n x xv n xu ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += − = 1)( , ) 1( )( . 则有ⅰ> 级数∑ xu )( n 收 敛; ⅱ> 对每个 x∈ ] 1 , 0 [ , xv )( ↗；ⅲ> n e 161 n ⎠ x xv n n ⎟ ≤ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1|)(| +=
对Vx∈[0,11和m成立.由Abel判别法,∑在区间[0,1上 致收敛 例15设数列{an}单调收敛于零·试证明:级数∑ a cos nx 在区间[a,2x-a](0f(x),(n→∞),x∈D.an>0且 an→0,(n>∞).若对每个自然数n有|fn(x)-f(x)|≤an对 x∈D成立,则函数列{fn(x)}在D上一致收敛于函数f(x) 例2证明函数列{x"}在区间[0,1]上非一致收敛 例3fn(x)= 1+nx2,x∈[0,1l讨论函数列{fn(x)}的一致收 敛性
对 ∀ x ∈ ] 1 , 0 [ 和∀n 成立. 由 Abel 判别法, ∑ 在区间 上 一致收敛. ] 1 , 0 [ 例 15 设数列 }{ 单调收敛于零 . 试证明 : 级数 an ∑ n cosnxa 在区间 α π −α ] 2 , [ 0 an → 0 n ∞→ ) ( n xf )( n xf )( ≤ an 对 x ∈∀ D成立, 则函数列{ xf )( }在 上一致收敛于函数 . n D (xf ) 例 2 证明函数列 在区间 }{ 上非一致收敛. n x ] 1 , 0 [ 例 3 xf )( n = 22 1 n x nx + , x∈ ] 1 , 0 [ . 讨论函数列{ }的一致收 敛性. xf )( n 162
解 lim f,(x)=0,x∈[0,1].|f(x)-0|=f(x).可求得 max f(x)=fn(-)=→0,(n→∞) →函数列{厂n(x)}在区间[0,1]上非一致收敛 例4设函数f(x)在区间[ab]上连续.定义fm(x)=Jf()t 试证明,函数列{n(x)}在区间[a,b]上一致收敛于零 证法一由f(x)∈C[a,b],f1(x)有界.设在区间[a,b]上 lf(x)≤M I f2(x)=f lf s M(x-a)sM(b-a) 1f(x)=42(x-o)s2Mb-a) M 1m(x)11m(x-)2≤Mb-a) 意到对Vc, I cm +o,→ M(b-a) →0,(n→∞) →J二0,(n→∞),x∈[a,b 证法二fn1(x)=fn(x),fn1(a)=fn(a)=0, fn1(x)=fn1(x),f"(a)=fn1(a)=0, fr(x)=f(x) f(x)∈C[a,b],f1(x)有界.设在区间[a,b]上|f(x)|≤M.把函 数fm1(x)在点a展开成具 Lagrange型余项的n-1阶Tay1lor公式,注 意到 fn1(a)=f"1(a)=…=fm)(a)=0
解 0, n ∞→ lim xf )( n = x ∈ ] 1 , 0 [ . | xf )( ― 0| n = xf )( n . 可求得 10 maxx≤≤ xf )( n = ,0 2 1 ) 1 ( = →/ n f n n → ∞ ) ( . ⇒ 函数列{ xf )( }在区间 上非一致收敛. n ] 1 , 0 [ 例 4 设函数 在区间 上连续 . 定义 . 试证明，函数列{ }在区间 上一致收敛于零. )(1 xf ba ] , [ ∫ + = x a n n )()( dttfxf 1 xf )( n ba ] , [ 证法一 由 )( , ],[)(1 1 ∈ xfbaCxf 有 界 . 设 在 区 间 上 | | ba ] , [ )(1 xf ≤ M . | )( | ; 2 xf ∫∫ −≤−≤≤= x a x a abMaxMff )()(|||| 1 1 | )( | 3 xf ∫∫ −≤−≤≤= x a x a abMax M ff 2 2 2 2 )( 2 1 )( 2 |||| ; ……………………… | )( | 1 xf n+ ∫∫ −≤−≤≤= x a n n n x a n abM n ax n M ff )( ! 1 )( ! |||| . 注意到对 ∑ → − ∀ ⇒+∞< 0 ! )( , ! || , n abM n c c n n , n → ∞ ) ( . ⇒ 0, n f ⎯⎯→ ⎯⎯→ n → ∞ ) ( , x ∈ ba ] , [ . 证法二 , 0 )()( , )()( n ′ +1 = n n ′ +1 = n afafxfxf = , 0)()( , )()( n ′′ +1 = n−1 n ′′ +1 = n−1 afafxfxf = )()( , . 1 )( 1 xfxf n "" n+ = ],,[)(1 ∈ baCxf )( 有界. 设在区间 上| | 1 xf ba ] , [ )(1 xf ≤ M . 把函 数 在点 展开成具 n+1 xf )( a Lagrange 型余项的n −1阶 Taylor 公式 , 注 意到 )()( 0)( , )1( ′ 1 = ′′ 1 == 1 = − + + + afafaf n n n " n 163
就有1fm(x)=/((x-a) a≤5≤b, lf1() x-a)"≤ M(b-a) n→0 n x∈[a,b].所以,fn0,(n→∞),x∈[a,b 例5设∫:[a,b]→>(a,b).En>0且En→>0,(n→∞).令 f(x)=f(x),f(x)=f((x)=f(f(x), fn(x)=(n-(x)=f((…f(x)…) 试证明:若对Vn和Vx,y∈[a,b],有 J(x)-fn(y)≤En|x-y 则函数列{fn(x)}在区间[a,b]上一致收敛 证对vE>0,取N,使n>N时,有EnN时 对Vx∈D,有
就有 n n n n ax n f xf )( ! )( |)(| )( 1 1 = − + + ξ ≤ ξ ≤ ba , 0 ! )( )( ! |)(| 1 → − = ≤− n abM ax n f n ξ n , n → ∞ ) ( , x∈ ba ] , [ . 所以 , 0, , n f ⎯⎯→ ⎯⎯→ n ∞→ ) ( x∈ ba ] , [ . 例 5 设 → babaf ),(],[ : . ε n > 0 且ε n → 0 , n → ∞ ) ( . 令 )()( , 1 = xfxf 2 = ( ) = ( 1 xffxffxf ) , )()()( " , ( ) ( ) "" n层复合 n n xfffxffxf )(()()( = −1 = . ……. 试证明: 若对∀ n 和 ∀ , ] yx ∈ ba , [ , 有 yxyfxf || )()( n n ε n −≤− , 则函数列{ xf )( }在区间 上一致收敛 . n ba ] , [ 证 对 ε >∀ , 0 取 N , 使 > Nn 时, 有 ab n − NN x ∈∀ D 164