小波分析讲义 2003年春 参考书籍 I Daubechies, Ten lectures on wavelets, Siam, Philadelphia, PA 1992 2. S Mallat, A wavelet tour to signal processing, Academic Press, Boston, 1998 3.Y. Meyer,小波与算子,第一卷,世界图书出版社,1992 4.龙瑞麟,高维小波分析,世界图书出版社,1995 5.关肇直,张慕庆,冯德兴,线性泛函分析入门,上海科学技术出版社,1979 第一章准备知识 本章将介绍一些必要的准备知识。第一节为 Hilbert空间中基的概念,第二节为线性算子的 定义,第三节为有关积分的性质,第四节将介绍框架与 Riesz基 1. Banach空间与 Hibert空间 设X为数域K上的线性空间,若函数u:X→R+满足如下三个条件 1.三角不等式:u(x+y)≤u(x)+u(y),r,y∈X, 2.齐次性:u(ar)=|alu(x),va∈K,x∈X, 3.正定性:(x)=0兮x=0 则称ω为X上的赋范函数,X为线性赋范空间。通常记ω(x)=‖x‖,并称之为元素x的范数 完备性:若{x}CX为 Cauchy列,即对ve>0,N=N(e),使得当j,l>N时有|x;-l< e,则{x}有极限 Banach空间:完备的线性赋范空间称为 Banach空间 1
小波分析讲义 2003年春 参考书籍 1. I. Daubechies, Ten lectures on wavelets, Siam, Philadelphia, PA 1992. 2. S. Mallat, A wavelet tour to signal processing, Academic Press, Boston, 1998. 3. Y. Meyer, 小波与算子，第一卷，世界图书出版社，1992. 4. 龙瑞麟，高维小波分析，世界图书出版社，1995。 5. 关肇直,张慕庆,冯德兴, 线性泛函分析入门，上海科学技术出版社，1979. 第一章 准备知识 本章将介绍一些必要的准备知识。第一节为Hilbert空间中基的概念，第二节为线性算子的 定义，第三节为有关积分的性质，第四节将介绍框架与Riesz基。 1. Banach空间与Hibert空间 设X为数域K上的线性空间，若函数ω：X → R +满足如下三个条件： 1. 三角不等式：ω(x + y) ≤ ω(x) + ω(y), ∀x, y ∈ X, 2. 齐次性：ω(αx) = |α| ω(x), ∀α ∈ K, x ∈ X, 3. 正定性：ω(x) = 0 ⇔ x = 0, 则称ω为X上的赋范函数，X为线性赋范空间。通常记ω(x)= kxk，并称之为元素x的范数。 完备性：若{xj} ⊂ X 为Cauchy列，即对∀² > 0, ∃N = N(²), 使得当j, l > N时有kxj − xlk < ², 则{xj}有极限. Banach空间: 完备的线性赋范空间称为Banach空间。 1
Lecture Note on Wavelets, Chapter 1, by D.Q. Dai, 2003 例:LP(B)(1≤P≤∞).设∫在R上可测,且 +∞ / f(x)Pdx1 p q c) Cauchy- Schwarz不等式(即p=q=2时的 Holder不等式) fall1≤‖f2·|g|2 内积:设X为数域K上的线性空间,函数u:X×X→K,若下列三个条件满足 (i)w(a,y)=w(y, ) V,yE X, (ii)w(a.+ By, 2)=aw(a, a)+Bw(y, 2), V, 1, zE X,a, BEK, i)lu(x,x)≥0,且(x,x)=0当且仅当x=0 则称函数u为X上的内积函数。此时称X为内积空间。常记=u(x,y).它是欧氏空间 中两向量间内积的推广。 Hilbert空间:完备的内积空间称为 Hilbert空间 练习:证明内积函数√ω(x,x)是一赋范函数 例 1)P(Z)={f:f=()=,∑P=∑所 2)L2(R),内积为=∫f(x)9(a)d
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 1, by D.Q. Dai,2003 2 例：L p (R)(1 ≤ p ≤ ∞). 设f在R上可测，且 Z +∞ −∞ |f(x)| p dx 1. b) H¨older不等式: kfgk1 6 kfkp · kgkq, 1 p + 1 q = 1, p ≥ 1, q ≥ 1. c) Cauchy-Schwarz不等式（即p = q = 2时的H¨older不等式): kfgk1 ≤ kfk2 · kgk2. 内积: 设X为数域K上的线性空间，函数ω : X × X −→ K, 若下列三个条件满足： (i) ω(x, y) = ω(y, x), ∀x, y ∈ X, (ii) ω(αx + βy, z) = αω(x, z) + βω(y, z), ∀x, y, z ∈ X, α, β ∈ K, (iii) ω(x, x) ≥ 0, 且ω(x, x) = 0当且仅当x = 0 则称函数ω为X上的内积函数。此时称X为内积空间。常记= ω(x, y). 它是欧氏空间 中两向量间内积的推广。 Hilbert空间: 完备的内积空间称为Hilbert空间. 练习：证明内积函数 p ω(x, x)是一赋范函数. 例： 1) l 2 (Z) = {f : f = (fj ) +∞ j=−∞, P j∈Z |fj | 2 = P j∈Z fjgj . 2) L 2 (R),内积为= R +∞ −∞ f(x)g(x)dx
Lecture Note on Wavelets, Chapter 1, by D.Q. Dai, 2003 我们仅考虑可分的 Hilbert空间(也即它有可数的稠密子集)。(关于不可分 Hilbert空间 的例,可参考文献5的p152) 正交性:若(f,9)=0,则称f与g正交 单位矢量:若f=1,则称f为单位矢量。 标准正交系:设Ⅰ为可数指标集{e}erCX,若 Vk,l∈I 则称{e}er为标准正交系 Bessel/等式:对任意标准正交系{e3}in,#(1)|2≤|z‖ 上式有可能是真的不等式(练习:举例)。若等式成立,由Beel不等式的证明,我们 有 →0(n→∞)。即有 当(2)成立时,称{e}1为 Hilbe空间X的标准正交基 定理1:标准正交系{e}=1为x的基的充分必要条件是: 0,j=1,2
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 1, by D.Q. Dai,2003 3 我们仅考虑可分的Hilbert空间（也即它有可数的稠密子集）。（关于不可分Hilbert空间 的例，可参考文献5 的p.152）。 正交性: 若hf, gi = 0，则称f与g正交。 单位矢量: 若kfk = 1，则称f为单位矢量。 标准正交系: 设I为可数指标集{ej}j∈I ⊂ X，若 hek, eli = δk,l, ∀k, l ∈ I 则称{ej}j∈I为标准正交系。 Bessel不等式: 对任意标准正交系{ej}j∈I , #(I) | 2 收敛（自证：正项级数，有上界） 从Bessel不等式推得: X∞ j=1 | | 2 ≤ kxk 2 . (1) 上式有可能是真的不等式（练习：举例）。若等式成立，由Bessel不等式的证明，我们 有 ° ° ° ° ° x − Pn j=1 ej ° ° ° ° ° → 0(n → ∞)。即有 x = X∞ j=1 ej (2) 当(2)成立时，称{ej} ∞ j=1为Hilbert空间X的标准正交基。 定理1：标准正交系{ej} ∞ j=1为X的基的充分必要条件是： = 0, j = 1, 2, · · · , ⇒ x = 0 (3)
Lecture Note on Wavelets, Chapter 1, by D.Q. Dai, 2003 证:若{e}=1为基,由(2)推得,当=0时,有x=0.反之,若{e}=1不是 基,故存在xo使(1)成为严格不等式,从而x=x0-∑;e;≠0.但有= 0,Vj,从而与(3)矛盾。故{e}1是X的基 条件(3)称为系{e3}=1的完全性 例:20,1]中的Har系。定义Har函数x()为 x0(t)=1,0≤t≤1(尺度函数) 1,0≤t0 i)当j>k≥1时,由定义有 0(t)x)(t)≡0.(同一水平n上) )当m>n时,使x(1)≠0的子空间完全包含在x取常值的子区间中,因此对任j, 有 xA)(1)0()=常数/“m xCn)(t)d=常数 (2k-2)/2m+1 2m+12 2)完全性。设f∈L2[0,1由 Cauchy-Schwarz不等式, 1/2 f(t)dt(<(/f2(t)dt 故f(t)∈L10,1]。令
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 1, by D.Q. Dai,2003 4 证：若{ej} ∞ j=1为基，由（2）推得，当= 0时，有x = 0。反之，若{ej} ∞ j=1不是 基，故存在x0使(1)成为严格不等式，从而x 0 = x0 − P j ej 6= 0。但有= 0, ∀j, 从而与(3)矛盾。故{ej} ∞ j=1是X的基。 条件(3)称为系{ej} ∞ j=1的完全性。 例：L 2 [0, 1]中的Haar系。定义Haar函数χ (k) n (t)为： χ (0) 0 (t) = 1, 0 ≤ t ≤ 1 (尺度函数) χ (1) 0 (t) = 1, 0 ≤ t 0。 ii) 当j > k ≥ 1时，由定义有： x (j) n (t)x (k) n (t) ≡ 0. (同一水平n上). iii) 当m > n时，使χ (k) m (t) 6= 0的子空间完全包含在χ (j) n 取常值的子区间中，因此对任j ， 有 Z 1 0 χ (k) m (t)χ (j) n (t)dt = 常数 Z 2k/2m+1 (2k−2)/2m+1 χ (k) m (t)dt = 常数[ √ 2m 2m+1 − √ 2m 2m+1 ] = 0. 2）完全性。设f ∈ L 2 [0, 1]。由Cauchy-Schwarz不等式， | Z 1 0 f(t)dt| ≤ µZ 1 0 f 2 (t)dt¶1/2 故f(t) ∈ L 1 [0, 1]。令
Lecture Note on Wavelets, Chapter 1, by D.Q. Dai, 2003 F(t 则F(t)是连续函数。设 ∫, f(s)xb(s)ds=0,k=1,2,…,2mn,m=0,1,2 故有 F(2k-1)/2m+1)-F(2k-2)/2m+)-F(2k/2m+1)+F(2k-1)/2m+1)=0 F(2k-2)/2m+1)-2F(2k-1)/2m+1)+F(2k/2m+1)=0 得 F(0)-2F(1/2)+F(1)=0 此为三点(0,F(0),(1/2,F(1/2),(1,F(1)共线的条件。又取m=1,k=1,知曲线y=F(t)在 横坐标t=0,1/4,1/2处的点也在一条直线上。再取m=1,k=2,这条曲线在t=1/2,3/4,1处 的点位于一条直线上。所以y=F(t)在横坐标t=0,1/4,1/2,3/4,1处的点位于同一直线上 继续下去,y=F(t)在横坐标k/2m处的点(k=0,1,2,…,2mn,m=0,1,2,…)都位于一条直 线上。由于F(t)是连续函数,y=F(t)的图像是一条直线。因此能写成 F(t)=at+B,a,B是常数. 由于F()=0故=0.而F(1)=bf()ds=/f()(0()ds=0,所以a=0,即F(t)= 0.故f(t)=0ae.,这证明了Haar系的完全性 (另证:F(0)=0,F(1)=0→F(1/2)=0.再由m=1,k=1推得F(1/4)=0,m=1,k 2推得F(3/4)=0,…,最后F(k/2m)=0.由连续性F(t)=0) 练习:构造L2(R)中的Har系 2.线性算子与同构 我们只考虑可分的 Hilbert空间 设T:X→Y,它为线性算子,若 T(ar+ By)=aT()+BT(y) 连续:若xn→x(X)→Trn→Tx(Y) 有界:存在常数K>0,使得‖Tly≤K‖l 范数:‖T为上式中最小的K,即|T=sup
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 1, by D.Q. Dai,2003 5 F(t) = Z t 0 f(s)ds. 则F(t)是连续函数。设 = Z 1 0 f(s)χ (k) m (s)ds = 0, k = 1, 2, · · · , 2 m, m = 0, 1, 2 · · · . 故有 F((2k − 1)/2 m+1) − F((2k − 2)/2 m+1) − F(2k/2 m+1) + F((2k − 1)/2 m+1) = 0, 即 F((2k − 2)/2 m+1) − 2F((2k − 1)/2 m+1) + F(2k/2 m+1) = 0 取m = 0,得 F(0) − 2F(1/2) + F(1) = 0. 此为三点(0, F(0)),(1/2, F(1/2)),(1, F(1))共线的条件。又取m = 1, k = 1,知曲线y = F(t)在 横坐标t = 0, 1/4, 1/2处的点也在一条直线上。再取m = 1, k = 2,这条曲线在t = 1/2, 3/4, 1处 的点位于一条直线上。所以y = F(t)在横坐标t = 0, 1/4, 1/2, 3/4, 1处的点位于同一直线上。 继续下去，y = F(t)在横坐标k/2 m处的点(k = 0, 1, 2, · · · , 2 m, m = 0, 1, 2, · · ·)都位于一条直 线上。由于F(t)是连续函数，y = F(t)的图像是一条直线。因此能写成 F(t) = αt + β, α, β 是常数. 由于F(0) = 0,故β=0。而F(1) = R 1 0 f(s)ds = R 1 0 f(s)χ (0) 0 (s)ds = 0.所以α=0。即F(t) = 0.故f(t) = 0 a.e. ,这证明了Haar系的完全性。 （另证：F(0) = 0, F(1) = 0 ⇒ F(1/2) = 0.再由m = 1, k = 1推得F(1/4) = 0, m = 1, k = 2推得F(3/4) = 0, · · · ,最后F(k/2 m) = 0.由连续性F(t) = 0） 练习：构造L 2 (R)中的Haar系。 2. 线性算子与同构 我们只考虑可分的Hilbert空间。 设T : X → Y ，它为线性算子，若 T(αx + βy) = αT(x) + βT(y). 连续：若xn → x(X) ⇒ T xn → T x(Y ) 有界：存在常数K > 0，使得kT xkY ≤ K kxkX 范数：kTk为上式中最小的K，即kTk = sup x6=0 kT xk kxk
Lecture Note on Wavelets, Chapter 1, by D.Q. Dai, 2003 对线性算子,连续性与有界性是等价的。 设X,Y为 Hilbert空间,则它们的对偶X*=X,Y*=Y。定义线性算子T:X→Y的共轭 算子T*:Y→X为 y=x,wx∈X,y∈Y, 其中x,y分别为X与Y中的内积 自共轭:若T是X到自身的算子,且T=T,则称T是自共轭的。 例:设{e}为Hibe空间X的标准正交基。定义T:X→P2为 <aT 其共轭算子T*:P2→X为 r{e}=∑e 同构映射:设T:X→Y是1-1的满映射。则称T是X到Y的同构映射 特别,若(Tx,Tx)y={x,x)x,Vx∈X.则称T是等距的 等距映射将标准正交基变为标准正交基 3.有关积分的性质 设ECRn为可测集。 上atou引理:设{为E上的可积函数列.若存在E上的可积函数g使得g≤f,j=1,2,…a.e,且 in/fdr<∞ 则函数lmf在E上可积,且 lim f; dr≤lim/fdr Lebesque控制收敛定理:设{/}是E上的可积函数列。函数F在E可积(常称为控制函 数)。若 (1)|(x)≤F(x),j=1,2,…, (2)f(x)→f(x),a.e. 则∫(x)可积,且 lim/ f(r)d f(a)dr 即求极限与积分次序可换)
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 1, by D.Q. Dai,2003 6 对线性算子，连续性与有界性是等价的。 设X, Y 为Hilbert空间，则它们的对偶X∗ = X, Y ∗ = Y 。定义线性算子T : X → Y 的共轭 算子T ∗ : Y → X为 Y =X, ∀x ∈ X, y ∈ Y, 其中X, Y 分别为X与Y 中的内积。 自共轭：若T是X到自身的算子，且T ∗ = T, 则称T是自共轭的。 例：设{ej}为Hilbert空间X的标准正交基。定义T : X → l 2为 T x = {} 其共轭算子T ∗ : l 2 → X为 T ∗ {cj} = X j cjej 同构映射：设T : X → Y 是1-1的满映射。则称T是X到Y 的同构映射。 特别，若hT x, T xiY = hx, xiX , ∀x ∈ X. 则称T是等距的。 等距映射将标准正交基变为标准正交基。 3. 有关积分的性质 设E ⊂ Rn为可测集。 Fatou引理: 设{fj}为E上的可积函数列. 若存在E上的可积函数g,使得g ≤ fj , j = 1, 2, · · · a.e.,且 lim j→∞ Z E fjdx < ∞ 则函数 lim j→∞ fj在E上可积,且 Z E lim j→∞ fjdx ≤ lim j→∞ Z E fjdx. Lebesque控制收敛定理：设{fj}是E上的可积函数列。函数F在E可积（常称为控制函 数）。若 (1) |fj (x)| ≤ F(x), j = 1, 2, · · · , (2) fj (x) → f(x), a.e. 则f(x)可积，且 lim j→∞ Z E fj (x)dx = Z E f(x)dx. (即求极限与积分次序可换)
Lecture Note on Wavelets, Chapter 1, by D.Q. Dai, 2003 bini定理:设A,B为可测集合,E=A×B是它们的笛卡尔乘积。∫在E上可测,而且∫的 两个累次积分∫∫f(x,g) Dyer,∫∫|f(x,y)drdy中有一个存在,则它的另一个二次积分以 及二重积分∫f(x,9) dady也存在,且有 f(a, y)d cdy ∫(x,y) f(a, y)dcdy 例:设∫∈L1(R1),对任u∈R1,定义函数 g(w)=e f(a) 则g在R1上连续 证:由于|f(x)e-m叫=|f(x),而且e-m是u的连续函数,取f(x)作为{e-mf(x):u∈ (-∞,+∞)}的控制函数,由控制收敛定理知g(u)是u的连续函数 下面的定理讨论算子序列的收敛性(文献问的p8282) 定理2:设X,Y为 Banach空间.T:X→Y,j=1,2, 为有界线性算子序列且对vx∈ X,{T}收敛,当且仅当 1){T是有界数列 2)对于X的某个稠密子集M中的每个元x,{Tx}收敛 注:若对每个x∈X,{Tx}收敛,令Tx=imy一Tx.则T是线性有界算子,且‖叫‖≤ 4. Hilbert空间中的投影算子,框架与 Riesz基 投影算子:幂等的有界线性算子 设P为X上的投影算子,则P可分解为 X=M+N,(+空间直和,即M∩N=0) 其中M={Px,x∈X},N={x-Pr,x∈X} 证:对vx∈X,显然有x=Px+(x-Pr)。次证M∩N=0.设x∈M∩N,则存 在1,2∈X,使得x=Px1=22-P2。对后一等式两边作用P,得P21=Pa2-P 由P2=P,得P1=0,故x=0 在 Hilbert空间中,我们更感兴趣于正交直和,即X=M⊕N 定理3:P为 Hilbert空间X中的正交投影算子,当且仅当P2=P,P=P
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 1, by D.Q. Dai,2003 7 Fubini定理：设A, B为可测集合，E = A × B是它们的笛卡尔乘积。f在E上可测，而且f的 两个累次积分 R A R B |f(x, y)|dydx, R B R A |f(x, y)|dxdy 中有一个存在，则它的另一个二次积分以 及二重积分 R E f(x, y)dxdy也存在，且有 Z E f(x, y)dxdy = Z A Z B f(x, y)dydx = Z B Z A f(x, y)dxdy 例：设f ∈ L 1 (R 1 )，对任ω ∈ R 1，定义函数 g(ω) = Z +∞ −∞ e −ixωf(x)dx. 则g在R 1上连续。 证：由于|f(x)e −ixω| = |f(x)|，而且e −ixω是ω的连续函数，取|f(x)|作为{e −ixω f(x) : ω ∈ (−∞, +∞) }的控制函数，由控制收敛定理知g(ω)是ω的连续函数。 下面的定理讨论算子序列的收敛性(文献[5]的p.82-82). 定理2：设X,Y为Banach空间. Tj : X → Y ，j=1,2,. . . . . . .，为有界线性算子序列.且对∀x ∈ X, {Tjx} 收敛，当且仅当 1) {kTjk} 是有界数列, 2) 对于X的某个稠密子集M中的每个元x, {Tjx} 收敛。 注：若对每个x ∈ X, {Tjx} 收敛，令T x = limj→∞ Tjx. 则T 是线性有界算子，且kTk ≤ limj→∞kTjk. 4. Hilbert空间中的投影算子，框架与Riesz基 投影算子：幂等的有界线性算子. 设P为X上的投影算子，则P可分解为 X = M • + N,( • + 空间直和，即M ∩ N = 0) 其中M = {P x, x ∈ X} , N = {x − P x, x ∈ X}. 证：对∀x ∈ X，显然有x = P x + (x − P x)。次证M ∩ N = 0。设x ∈ M ∩ N，则存 在z1, z2 ∈ X，使得x = P z1 = z2 − P z2。对后一等式两边作用P，得P 2 z1 = P z2 − P 2 z2， 由P 2 = P，得P z1 = 0，故x = 0。 在Hilbert空间中，我们更感兴趣于正交直和，即X = M ⊕ N 定理3: P为Hilbert空间X中的正交投影算子，当且仅当P 2 = P, P∗ = P
Lecture Note on Wavelets, Chapter 1, by D.Q. Dai, 2003 证:设X=M⊕N,其中M=PX,N=X-PX,即M是P的值域,N是P的零空间 设P是正交投影算子,Z∈X可唯一分解为 +y,x∈M,y∈N,=0(即x⊥y) 故 2,P2>=== 所以P*=P 反之,由于对x∈X,有 iPxl=====0. 下面利用标准正交基推出正交投影算子的表示式 定理4:设P是X到M上的正交投影算子,{e}CM是M的任一标准正交基,则 Pf f,e;>e;f∈X 证:由于M上的正交投影算子是唯一的(自证),只需证上式右端所定义的算子P是正交 投影算子。由于{}是标准正交的,故Pe1=e,故P2=P 又由 Pf, f,2ej 所以P*=P 现讨论 Hilbert空间X中的框架( frame) 定义:设{e}cX,它是一个框架,若 f2≤∑(,e)}2≤Bf,f 其中A,B为正常数。 若A=B,则称{e}为紧框架( tight frame) 例:设n1=(01,e2=(-2-)“=(,-)在R中,对任x=(a1,有 ∑|(:e)}2=n2
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 1, by D.Q. Dai,2003 8 证: 设X = M ⊕ N，其中M = PX, N = X − P X, 即M是P的值域，N是P 的零空间。 设P是正交投影算子，Z ∈ X可唯一分解为 z = x + y, x ∈ M, y ∈ N, = 0( 即x⊥y) 故 ===== . 所以P ∗ = P. 反之，由于对x ∈ X, 有 kP xk 2 ===≤ kP xk · kxk 所以kP xk ≤ kxk。故P有界。 现证M⊥N。设x ∈ M, y ∈ N，则 ==== 0. 下面利用标准正交基推出正交投影算子的表示式. 定理4: 设P是X到M上的正交投影算子，{ej} ⊂ M是M的任一标准正交基，则 P f = X j ej∀f ∈ X. 证: 由于M上的正交投影算子是唯一的（自证），只需证上式右端所定义的算子P˜是正交 投影算子。由于{ej}是标准正交的，故P e˜ j = ej ，故P˜2 = P˜ 又由 ˜ = X j = ej >= ˜ 所以P˜∗ = P˜。 现讨论Hilbert空间X中的框架（frame）. 定义：设{ej} ⊂ X，它是一个框架，若 A kfk 2 ≤ X j |hf, ej i|2 ≤ B kfk 2 , ∀f ∈ X, (4) 其中A, B为正常数。 若A＝B，则称{ej}为紧框架（tight frame）。 例：设e1 = (0, 1), e2 = ³ − √ 3 2 , − 1 2 ´ , e3 = ³ √ 3 2 , − 1 2 ´ .在R 2中,对任x = (x1, x2)，有 X 3 j=1 |hx, ej i|2 = x 2 2 + Ã − √ 3 2 x1 − 1 2 x2 !2 + Ã − √ 3 2 x1 + 1 2 x2 !2
Lecture Note on Wavelets, Chapter 1, by D.Q. Dai, 2003 2+2)=7(,x) 故{e1,e2e3}是紧框架,A=B= 由上例,框架一般不是基(即使A=B=1),但有如下的充分条件。 定理5:设{e}是紧框架,A=B=1,‖le引‖=1,ⅵ,则{e}是一个标准正交基 证:任何框架必张成整个空间,故只需证标准正交性。取∫=ey,有 e2=∑|e,)P=|+∑e, 由于|e‖=1,故(ey,k)=0当k≠j 注:当只是(4)中的右边不等式成立时,称{e}有框架上界,这时说{e3}为Bese序 列。类似地,当只是左边不等式成立时,称{e}有框架下界。 关于框架的上界性质,我们有 引理1:设{e}CX是任意元素列,则下述命题等价 c;<cllclI2{q}∈e, ,e)2)≤c‖fvf∈x, 证:不妨设求和为有限和,否则用极限过渡。设(5)成立,则 ∑f,e) SU c ,ei sup cje)≤cf {;J{e;l2≤1 类似地,由(6)可得 cje Ceo sp∑,e)scl f,‖≤1 关于 Bessel序列,我们有如下的刻划 设{e}Cx,则{e}是界为B的 Bessel序列,当且仅当 R{q}→∑ 确定一个由P到X的映射,且‖班≤ⅴB
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 1, by D.Q. Dai,2003 9 = 3 2 ¡ x 2 1 + x 2 2 ¢ = 3 2 hx, xi 故{e1, e2, e3}是紧框架，A = B = 3 2。 由上例，框架一般不是基（即使A = B = 1），但有如下的充分条件。 定理5: 设{ej}是紧框架，A = B = 1，kejk = 1，∀j，则{ej}是一个标准正交基。 证: 任何框架必张成整个空间，故只需证标准正交性。取f = ej，有 kejk 2 = X k |hej , eki|2 = kejk 4 + X k6=j |hej , eki|2 . 由于kejk = 1，故hej , eki = 0当k 6= j。 注：当只是（4）中的右边不等式成立时，称{ej}有框架上界，这时说{ej}为Bessel序 列。类似地，当只是左边不等式成立时，称{ej}有框架下界。 关于框架的上界性质，我们有 引理1: 设{ej} ⊂X是任意元素列，则下述命题等价 ° ° ° ° ° X j cjej ° ° ° ° ° ≤ c k{cj}k2 ∀ {cj} ∈ ` 2 , (5) ÃX j |hf, ej i|2 !1 2 ≤ c kfk ∀f ∈ X, (6) 证: 不妨设求和为有限和，否则用极限过渡。设(5)成立，则 ÃX j |hf, ej i|2 !1 2 = sup {cj},k{cj}k2≤1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ X j cj hf, ej i ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = sup {cj},k{cj}k2≤1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ * f,X j cjej +¯¯ ¯ ¯ ¯ ≤ c kfk . 类似地，由(6)可得 ° ° ° ° ° X j cjej ° ° ° ° ° = sup f,kfk≤1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ * f,X j cjej +¯¯ ¯ ¯ ¯ = sup f ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ X j cj hf, ej i ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ c k{cj}k2 . 关于Bessel序列，我们有如下的刻划. 设{ej} ⊂X，则{ej}是界为B的Bessel序列，当且仅当 R {cj} → X j cjej 确定一个由l 2到X的映射，且kRk ≤ √ B
证:设{e}为 Bessel序列,且界为B。设{c}∈P2 (i)R({e;})有定义,即∑ce收敛.对vn,m,n>m,有 Cjej cjej chen ∑cfe,g)≤sup∑|e;,9) l=1=m+ l=1lj-=m+1 <√B lc 由于{c}∈P,∑|e2,n∈N,是 Cauchy序列,故∑ce也是 cauchy序列,因而收 敛.所以R({(c})有定义 (i)显然R是线性的 i)|({(G川=sup|(r({c}),9),类似于上面的推理,可得R有界且‖fH≤√B 反之,若R有定义且界为√B,由引理1推得{e}为 Bessel序列 对于标准正交基{e},定义算子 T:f→{(f,e,} 由定理4,T是X到P2的等距同构。而它的共轭算子(验证) 也是从2到X的等距同构 而对于框架,我们将建立某种意义下的对偶框架 设{e}是X的一个框架,则 T:f→{(f,e)} 是ⅹ到P内的有界线性算子(称为框架算子),算子范数≤B。它的共轭算子 Chef 也是P到X内有界的,界<B1/2
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 1, by D.Q. Dai,2003 10 证: 设{ej}为Bessel序列，且界为B。设{cj} ∈ l 2 . (i) R({ej})有定义，即 Pcjej收敛. 对∀n, m, n > m，有 ° ° ° ° ° P |j|≤n cjej − P |j|≤m cjej ° ° ° ° ° = ° ° ° ° ° Pn |j|=m+1 cjej ° ° ° ° ° ＝ sup kgk=1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ * Pn |j|=m+1 cjej , g+¯¯ ¯ ¯ ¯ ≤ sup kgk=1 Pn |j|=m+1 |hcjej , gi| ≤ à Pn |j|=m+1 |cj | 2 !1 2 sup kgk=1 " Pn |j|=m+1 |hej , gi|2 # 1 2 ≤ √ B à Pn |j|=m+1 |cj | 2 !1 2 . 由于{cj} ∈ l 2， P |j|≤n |cj | 2，n∈ N，是Cauchy序列，故 P |j|≤n cjej也是Cauchy序列，因而收 敛. 所以R({cj})有定义. (ii) 显然R是线性的. (iii) 由kR ({cj})k = sup kgk=1 |hT ({cj}), gi|，类似于上面的推理，可得R有界且kRk ≤ √ B。 反之，若R有定义且界为 √ B，由引理1推得{ej}为Bessel序列。 对于标准正交基{ej}，定义算子 T : f → {hf, ej i} . 由定理4，T是X到l 2的等距同构。而它的共轭算子（验证） T ∗ : {cj} → X j cjej 也是从l 2到X的等距同构。 而对于框架，我们将建立某种意义下的对偶框架。 设{ej}是X的一个框架，则 T : f → {hf, ej i} (7) 是X到l 2内的有界线性算子（称为框架算子），算子范数≤ B 1 2 。它的共轭算子 T ∗ : {cj} → X j cjej (8) 也是l 2到X内有界的，界≤ B1/2