《高等数学》课程教学资源：不定积分的概念与性质

第一节不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 基本积分表 巴三、不定积分的性质 四、小结思考题

、原函数与不定积分的概念 定义:如果在区间内,可导函数F(x)的 导函数为f(x),即vx∈I,都有F(x)=f(x) 4戰WF(x)=/(x)dk,那么函数F(x)就称为f(x) 或∫(x)dx在区间内原函数 例(inx)= cos sInx是cosx的原函数 1 (mx)=-(x>0) 王mx是在区0+)内的原函数 上页

例 (sin x) = cos x  sin x是cos x的原函数. ( ) ( 0) 1 ln =   x x x l n x 是 x 1 在区间(0,+ ) 内的原函数. 定义： 如果在区间I 内，可导函数F( x) 的 即x I，都有F(x) = f (x) 或dF ( x ) = f ( x )dx ，那么函数F( x) 就称为f ( x) 导函数为f ( x) ， 或 f ( x)d x在区间I 内原函数. 一、原函数与不定积分的概念

王原函数存在定理: 如果函数f(x)在区间内连续, 生那么在区间内存在可导函(, 使vx∈I,都有F(x)=f(x) 简言之:连续函数一定有原函数 问题:(1)原函数是否唯 (2)若不唯一它们之间有什么联系? 工工 15(sin x)=cosx(sinx+C)=cosx (C为任意常数) 上页

原函数存在定理： 如果函数f (x) 在区间I 内连续， 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ 例 (sin x) = cos x  (sin x C) = cos x  + （ C 为任意常数） 那么在区间I 内存在可导函数F(x) ， 使xI ，都有F(x) = f (x). (2) 若不唯一它们之间有什么联系？

关于原函数的说明: (1)若F(x)=f(x),则对于任意常数C F(x)+C都是f(x)的原函数 (2)若F(x)和G(x)都是∫(x)的原函数, 则F(x)-G(x)=C(C为任意常数) 证∵:[F(x)-G(x)]=F(x)-G(x) =f(x)-∫(x)=0 :F(x)-G(x)=C(C为任意常数) 王页下

关于原函数的说明： （1）若 F(x) = f (x) ，则对于任意常数 C ， F( x) + C 都是f (x) 的原函数. （2）若 F ( x ) 和 G( x) 都是 f ( x ) 的原函数， 则 F( x) − G( x) = C （ C 为任意常数） 证 F(x) G(x) = F(x) − G(x)   − = f ( x) − f ( x) = 0  F( x) − G( x) = C （ C 为任意常数）

不定积分的定义: 在区间内,函数f(x)的带有任意 常数项的原函数称为∫(x)在区内的 不定积分,记为∫f(x) ∫/(x)x=F(x)+C 积被被 分积积积 号函表分 数达变 任意常数 式 量 上页

任 意 常 数 积 分 号 被 积 函 数 不定积分的定义： 在区间I 内，  f ( x)d x = F ( x) + C 被 积 表 达 式 积 分 变 量 函数 f ( x) 的带有任意 常数项的原函数 称 为 f ( x) 在区间I 内 的 不定积分，记为 f ( x )dx

例1求∫x5kx 6 解 9 rdx +C 6 6 例2求∫ dx 1+x 解∵( arctan x 1+x 29 dx= arctan+c 1+y 上页

例1 求 . 5  x dx 解 , 6 5 6 x x =         . 6 6 5 C x  x d x = +  解 例2 求 . 1 1 2  + d x x ( ) , 1 1 arctan 2 x x + =   arctan . 1 1  2 = + +  d x x C x

例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的 上切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程 解设曲线方程为y=∫(x), 根据题意知=2x, dx 即∫(x)是2x的一个原函数 2 2xdx=x +C, ∫(x)=x2+C, 由曲线通过点(1,2)→C=1, 所求曲线方程为y=x2+1 上页

例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 y = f ( x), 根据题意知 2 x, dx dy = 即 f ( x) 是2 x 的一个原函数. 2 , 2   xdx = x + C ( ) , 2  f x = x +C 由曲线通过点（1，2）  C = 1, 所求曲线方程为 1. 2 y = x +

函数f(x)的原函数的图形称为(x)的积分曲线 显然,求不定积分得到一积分曲线族 由不定积分的定义,可知 1=f(x)dx, 生∫F(k=F()+C,∫uF(x)=F(+c 结论:微分运算与求不定积分的运算是互逆的 上页

函数f (x) 的原函数的图形称为f (x) 的积分曲线. 显然，求不定积分得到一积分曲线族. 由不定积分的定义，可知  f ( x)d x f ( x), d x d =  d[ f ( x)d x] = f ( x)d x,  ( ) ( ) ,  F  x d x = F x + C ( ) ( ) .  d F x = F x + C 结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的

士 庄三、基本积分表 +1 +1 实例 =x“→「xd +1 uf*C (≠-1) 启示能否根据求导公式得出积分公式? 王结论既然积分运算和微分运算是互逆的, 公 上页

实例    x x =        + + 1 1 . 1 1 C x x dx +  +  = +   启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式. (  −1) 二、 基本积分表

基(1)∫kdx=kx+C(k是常数) 本 μ+1 (2)「x"dx= A+I+C (≠-1); 积 分 (3) =Inx+c 表 说明:x>0,→=x+ C 工工工 x<0,n(-x)=(-x)= =m(-x)+C,:∫2=lm1x|C, dx 简写为|=Inx+C. 上页

基 本 积 分 表  (1) kdx = k x + C (k 是常数); ( 1); 1 (2) 1 +   −  + = +   C x x dx (3) ln ;  = x + C x d x 说明： x  0,  ln ,  = x + C x d x x  0, [ln(−x)] = , 1 ( ) 1 x x x −  = − ln( ) ,   = − x + C x d x ln | | ,   = x +C x d x 简写为 ln .  = x + C x d x