《高等数学》课程教学资源：空间曲线及其方程

第六节空间曲线及其方程 巴一、空间曲线的一般方程 空间曲线的参数方程 巴三、空间曲线在坐标面上的投影 四四、小结思考题

生一、空间曲线的一般方程 c空间曲线C可看作空间两曲面的交线 F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 空间曲线的一般方程 S 王特点:曲线上的点都满足 方程,满足方程的点都在 0 J 曲线上,不在曲线上的点 不能同时满足两个方程 上页

   = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程. x o z y 1 S 2 S C 空间曲线C可看作空间两曲面的交线. 特点： 一、空间曲线的一般方程

=1 例1方程组 tt y 表示怎样的曲线? 解x2+y2=1表示圆柱面,%A 2x+3y+3z=6 0.5 1 2x+3y+3z=6表示平面, ∫x2+y2=1 2x+3y+3z=6 交线为椭圆 上页

例1 方程组 表示怎样的曲线？    + + = + = 2 3 3 6 1 2 2 x y z x y 解 1 2 2 x + y = 表示圆柱面， 2x + 3 y + 3z = 6 表示平面，    + + = + = 2 3 3 6 1 2 2 x y z x y 交线为椭圆

--y 例2方程组 n2表示怎样的曲线? (x-2)2+y2= 2 4 解z=a2-x2-y2 上半球面, 2 t y 圆柱面, 2 交线如图. 上页

例2 方程组 表示怎样的曲线？      − + = = − − 4 ) 2 ( 2 2 2 2 2 2 a y a x z a x y 解 2 2 2 z = a − x − y 上半球面, 4 ) 2 ( 2 2 2 a y a x − + = 圆柱面, 交线如图

二、空间曲线的参数方程 x=x(t) y=y()空间曲线的参数方程 z=z(t) 当给定t=1时,就得到曲线上的一个点 (x1,y1,z1),随着参数的变化可得到曲线上的全 部点 上页

     = = = ( ) ( ) ( ) z z t y y t x x t 当给定 1 t = t 时 ， 就 得到 曲 线 上 的 一 个 点 ( , , ) 1 1 1 x y z ，随着参数的变化可得到曲线上的全 部 点. 空间曲线的参数方程 二、空间曲线的参数方程

例3如果空间一点在圆柱面x2+y2=a2上以 角速度绕轴旋转,同时又以线速度沿平行于 M构成的图形叫做螺旋线.试建立其参数方程 轴的正方向上升(其申、都是常数),那么点 解 取时间为参数,动点从A点出 发,经过(时间,运动到M点 M在xoy面的投影M'(x,y,0) x=acosot y=asin at ot Z=v 螺旋线的参数方程 上页

动点从A点出 发，经过t时间，运动到M点 例 3 如果空间一点M 在圆柱面 2 2 2 x + y = a 上 以 角速度 绕z 轴旋转，同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升（其中 、v 都是常数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程． A •MM M 在xoy面的投影M ( x, y,0) x =acost y = a sint z = vt t 螺旋线的参数方程 取时间t为参数， 解 x y z o

螺旋线的参数方程还可以写为 x= acos y= asin 6 z=60 (0=ot. b v 螺旋线的重要性质: 上升的高度与转过的角度成正比 即6:6→+a,z:b→bb+ba, a=2π,上升的高度h=2b兀螺距 上页

螺旋线的参数方程还可以写为      = = =    z b y a x a sin cos ( , )    v = t b = 螺旋线的重要性质： : ,   0 → 0 + : , z b 0 →b0 + b 上升的高度与转过的角度成正比． 即  = 2, 上升的高度 h = 2b 螺距

生三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线的一般方程:F(x,P,)=0 G(x,y,z)=0 消去变量后得:H(x,y)=0 曲线关于xOy的投影柱面 投影柱面的特征 以此空间曲线为准线,垂直于所投影的坐标面 上页

   = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 消去变量z后得： H ( x, y) = 0 曲线关于 xoy 的投影柱面 设空间曲线的一般方程： 以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面. 投影柱面的特征： 三、空间曲线在坐标面上的投影

如图:投影曲线的研究过程 空间曲线 投影柱面 投影曲线 上页

如图:投影曲线的研究过程. 空间曲线 投影柱面 投影曲线

空间曲线在xoy面上的投影曲线 ∫H(x,y)=0 z=0 类似地:可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 y0面上的投影曲线,xO乙面上的投影曲线, R(y,z)=0 ∫T(x,x)=0 =0 y=0 上页

类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影    = = 0 ( , ) 0 x R y z    = = 0 ( , ) 0 y T x z yoz 面上的投影曲线, xoz 面上的投影曲线,    = = 0 ( , ) 0 z H x y 空间曲线在 xoy 面上的投影曲线