第五节功水压力和引力 巴一、变力沿直线所作的功 四二、水压力 三、引力 巴四、小结思考题
庄-、变力沿直线所作的功 由物理学知道,如果物体在作直线运动的 过程中有一个不变的分作用在这物体上,且 这力的方向与物体的运动方向一致,那么,在 铷体移动了距离时,力对物体所作的功为 工工工 如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的,就不能直接使用此公式,而采用“微元法” 思想 上页
由物理学知道，如果物体在作直线运动的 过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且 这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在 物体移动了距离s 时，力F W = F s 对物体所作的功为 . 如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法” 思 想. 一、变力沿直线所作的功
例1把一个带+q电量的点电荷放在轴上坐 标原点处,它产生一个电场.这个电场对周围的电 荷有作用力.由物理学知道,如果一个单位正电荷 放在这个电场中距离原点为的地方,那么电场 工工工 对它的作用力的大小为F=k2(是常数),当 这个单包正电荷在电场中处沿轴移动 到 处时,计算电场力对它所作的功 上页
例 1 把一个带 + q 电量的点电荷放在r 轴上坐 标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电 荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷 放在这个电场中距离原点为r 的地方，那么电场 对它的作用力的大小为 2 r q F = k （ k 是常数），当 这个单位正电荷在电场中从 r = a 处 沿 r 轴移动 到 r = b 处时，计算电场力 F 对它所作的功．
解取r为积分变量, +1 oa rr+dr r∈[a,b] 取任小区间,+,功元素h=2t, b 所求功为v= bKg 六dr=kq a b 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处 + kq dr= kai q 上页
解 取r 为积分变量， o r •+ q a b • •• • • • • + 1 r r [a,b], r + dr 取任一小区间[r,r + d r] , 功元素 , 2 dr r kq dw = 所求功为 d r r k q w b a = 2 b a r k q = − 1 . 1 1 = − a b kq 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处 d r r k q w a + = 2 + = − a r k q 1 . a kq =
例2一圆柱形蓄水池 高为5米,底半径为 3米,池内盛满了水. 问要把池内的水全部 吸出,需作多少功? 点击图片任意处播放暂停 解建立坐标系如图 取为积分变量,x∈[0,5 r+dx 取任一小区间x,x+dxl, 上页
点击图片任意处播放 \暂停 例 2 一圆柱形蓄水池 高 为 5 米，底半径为 3 米，池内盛满了水. 问要把池内的水全部 吸出，需作多少功？ 解 建立坐标系如图 xox 取 x + dx x 为积分变量，x [0,5] 取任一小区间[x, x + d x] 5
c这一薄层水的重力为 9.8·32d x+d 功元素为do=827:d w=88.2π·x·dx 工工工 0 15 =820x≈3462(千焦) 2 0 上页
x ox x + dx 5 这一薄层水的重力为 dx 2 9.8 3 功元素为 dw = 88.2 x dx , w = x d x 8 8.2 5 0 5 0 2 2 88.2 = x 3462 (千焦)．
例3用铁锤把钉子钉入木板,设木板对铁钉的阻 力与铁钉进入木板的深度成正比,铁锤在第一次 锤击时将铁钉击入1厘米,若每次锤击所作的功 相等,问第次锤击时又将铁钉击入多少? 解设木板对铁钉的阻力为f(x)=kx, 第一次锤击时所作的功为w1=f(x)h不 2 设n次击入的总深度为h厘米 n次锤击所作的总功为wn=「f(x)dx 王页下
解 设木板对铁钉的阻力为 f ( x) = kx , 第一次锤击时所作的功为 = 1 0 1 w f ( x)dx , 2 k = ( ) . 0 = h h w f x d x 例3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻 力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次 锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功 相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？ n 设 n 次击入的总深度为 h 厘米 n 次锤击所作的总功为
kh 2 krdx JO 2 依题意知,每次锤击所作的功相等 kh k h W1→ 1 =M.- 2 2 n次击入的总深度为h=√m, 第n次击入的深度为、n-√n-1 上页
= h h w kxdx 0 , 2 2 kh = 依题意知，每次锤击所作的功相等． wh = nw1 2 2 kh , 2 k = n h = n, n − n − 1. n 次击入的总深度为 第 n 次击入的深度为
二、水压力 由物理学知道,在水探为处的压强为 p=mh,这里是水的比重.如果有一面积为 的平板水平地放置在水探为处,那么,平板一 侧所受的水压力为P=p·A 工工工 如果平板垂直放置在水中,由于水深不同 的点处压强不相等,平板一侧所受的水压力 王就不能直接使用此公式,而采用“微元法”思 想 上页
由 物 理 学 知 道 ， 在 水 深 为 h 处 的 压 强 为 p = h，这里 是水的比重．如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h 处，那么，平板一 侧所受的水压力为P = p A ． 如果平板垂直放置在水中，由于水深不同 的点处压强p 不相等，平板一侧所受的水压力 就不能直接使用此公式，而采用“微元法” 思 想 ． 二、水压力
例4一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛有半桶水, 设桶的底半径为R,水的比重为,计算桶的一端面 上所受的压力 解在端面建立坐标系如图 取为积分变量,x∈[0,R 工工工 取任一小区间x,x+dx 小矩形片上各处的压强近 似相等P=x, 小矩形片的面积为2R2-x2dx. 王页下
例 4 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水， 设桶的底半径为R ，水的比重为 ，计算桶的一端面 上所受的压力． 解 在端面建立坐标系如图 x o 取x 为积分变量，x [0, R] 取任一小区间[x, x + d x] x x + dx 小矩形片上各处的压强近 似相等 小矩形片的面积为 2 . 2 2 R − x dx p = x