第五节曲面及其方程 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 巴三、柱面 四四、小结思考题
、曲面方程的概念 曲面的实例:水桶的表面、台灯的罩子面等 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹 上曲面方程的定义: 如果曲面与三元方程F(x,,x)=0有下述关系 (1)曲面上任一点的坐标都满足方程; (2)不在曲面上的点的坐标都不满足方程; Ⅻ那么,方程F(x,y,z)=0就叫做曲面的方程, 牛而曲面就叫做方程的图形 上页
水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义： 如果曲面S 与三元方程F ( x , y , z) = 0 有下述关系： （1）曲 面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F( x, y,z) = 0 就叫做曲面S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形． 曲面的实例： 一、曲面方程的概念
以下给出几例常见的曲面 例1建立球心在点M(x0,y,0)、半径 的球面方程 解设M(x,y,z)是球面上任一点, 根据题意有|MM0|=R (x-xn)2+(y-yn)2+(z-zn)2=R 王所求方程为(x-x)+(-ny+(-动)=R2 王特殊地:球心在原点时方程为x2+y2+z2=R2 上页
以下给出几例常见的曲面. 例 1 建立球心在点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 、半径为R 的球面方程. 解 设M( x, y,z)是球面上任一点， 根据题意有 | MM 0 |= R ( x − x ) + ( y − y ) + (z − z ) = R 2 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 所求方程为 x − x0 + y − y + z − z = R 特殊地：球心在原点时方程为 2 2 2 2 x + y + z = R
例2求与原点及M0(2,3,4)的距离之比为:2的 点的全体所组成的曲面方程 解设M(x,y,z)是曲面上任一点, 根据题意有 I 1 MM 2 2 2 r ty+z (x-2)2+(y-3)+(z-4)2 2 所求方程为(x+2)+(y+1)2+(z+ 116 3 3 9 上页
例 2 求与原点O 及 ( 2,3,4 ) M 0 的距离之比为1 : 2 的 点的全体所组成的曲面方程. 解 设M( x, y,z)是曲面上任一点， , 2 1 | | | | 0 = MM MO 根据题意有 ( ) ( ) ( ) , 2 1 2 3 4 2 2 2 2 2 2 = − + − + − + + x y z x y z ( ) . 9 116 3 4 1 3 2 2 2 2 = + + + + 所求方程为 x + y z
例3已知A(1,2,3),B(2,-1,4),求线段B的 垂直平分面的方程 解设M(x,y,z)是所求平面上任一点, 根据题意有|MA|=|MB|, (x-1)2+(y-2)2+(x-3) =(x-2)+(+1)+(z-4, 化简得所求方程2x-6y+2z-7=0 上页
例 3 已知A(1,2,3)，B(2,−1,4) ，求线段AB 的 垂直平分面的方程. 设M( x, y,z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA |=| MB | , ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x − 1 + y − 2 + z − 3 ( 2) ( 1) ( 4) , 2 2 2 = x − + y + + z − 化简得所求方程 2x − 6 y + 2z − 7 = 0. 解
例4方程z=(x-1)2+(y-2)-1的图形是怎样的? 解根据题意有z≥-1 用平面z=c去截图形得圆: (x-1)2+(-2)2=1+c(c≥-1) 当平面z=C上下移动时, C 得到一系列圆 J 圆心在(1,2,c),半径为1+cx 王半径建的增大而增大留形上不封顶,下封底 上页
z x o y 例4 方程 ( 1) ( 2) 1 的图形是怎样的？ 2 2 z = x − + y − − 根据题意有 z −1 用平面z = c去截图形得圆： ( 1) ( 2) 1 ( 1) 2 2 x − + y − = + c c − 当平面z = c上下移动时， 得到一系列圆 圆心在(1,2,c) ，半径为 1+ c 半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底． 解 c
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题: (1)已知曲面作为点的轨迹时,求曲面方程 (讨论旋转曲面) (2)已知坐标间的关系式,研究曲面形状 (讨论柱面、二次曲面) 上页
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论旋转曲面） （讨论柱面、二次曲面） （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
、旋转曲面 定义以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 工工工 转曲面 A这条定直线叫旋转 曲面的轴 播放‖
二、旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面 . 这条定直线叫旋转 曲面的轴． 播放
旋转过程中的特征: 如图设M(x,y,z (0 10091591 M (1)z=乙 √f(y,z)=0 (2)点M到轴的距离 工工工 d x+y =y1 王将z=,2=士x2+2代入 f(y1,z1)=0 上页
x o z y f ( y,z) = 0 (0, , ) 1 1 1 M y z M 设 M(x, y,z), 1 (1) z = z （2）点M 到z 轴的距离 | | 1 2 2 d = x + y = y 旋转过程中的特征： 如图 将 代入 2 2 1 1 z = z , y = x + y ( , ) 0 f y1 z1 = d
将z=x1,y1=土x2+y2代入f(n,z)=0 得方程/(x2+y2,z)=0 pz坐标面上的已知曲线f(y,)=0绕轴旋 转一周的旋转曲面方程 同理:y0z坐标面上的已知曲线∫(y,z)=0 绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为 ,±√x2+z2)=0. 上页
将 代入 2 2 1 1 z = z , y = x + y ( , ) 0 f y1 z1 = ( , ) 0, 2 2 f x + y z = yoz 坐标面上的已知曲线f ( y,z) = 0 z绕 轴 旋 转一周的旋转曲面方程. 得方程 同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y,z) = 0 绕y 轴旋转一周的旋转曲面方程为 ( , ) 0. 2 2 f y x + z =