高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 第7节极限帝在法 极限存在法则 两个重要极限 H tt p /www.heut.edu
第7节 极限存在法则 两个重要极限 极限存在法则 两个重要极限
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 、极限存在准则 1夹逼准则 准则|如果数列xn,yn及n满足下列条件: (1) nsx≤zn(n=1,2,3…) (2)lim y=a, lim zn=a, n→0 n→0 那末数列xn的极限存在,且 lim x= n→ 证∵yn→>a,zn→>a, VE>0,彐N1>0,N2>0,使得 H tt p /www.heut.edu
准则Ⅰ 如果数列 n n x , y 及 n z 满足下列条件: (2) lim , lim , (1) ( 1,2,3 ) y a z a y x z n n n n n n n n = = = → → 那末数列xn 的极限存在, 且 xn a n = → lim . 证 y a, z a, n → n → 0, N1 0, N2 0, 使得 1.夹逼准则 一、极限存在准则
高数学课趕媒课件 文工大罗理罗即> 当n>N时恒有yn-aN2时恒有zn-aN时,恒有a-E<yn≤xn≤zn<a+e, 即xn-a<E成立,:imxn=a n→ 说明:上述数列极限存在的准则可以推广到函数的 极限。即有 H tt p: //
, 1 n N y − a 当 时恒有 n max{ , }, 取 N = N1 N2 当n N时, 恒有 a − y a + , 即 n , 2 n N z − a 当 时恒有 n a − z a + , n 上两式同时成立, a − y x z a + , n n n 即 x − a 成立, n lim x a. n n = → 说明：上述数列极限存在的准则可以推广到函数的 极限。即有：
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 准则|′如果当x∈U2(x)(或x>M)时有 (1)g(x)≤f(x)≤h(x), (2)lim g(x)=4, lim h()=A, (x->∞) 那末Ⅲm∫(x)存在,且等于A x→X (x→>0) 准则I和准则r称为夹逼准则 注!利用夹逼准则求极限关键是构造出,与x 意并且y与z的板限是容易求的 H tt p /www.heut.edu
准则Ⅰ′ 如果当 ( ) 0 0 x U x (或 x M )时,有 (2) lim ( ) , lim ( ) , (1) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 0 0 g x A h x A g x f x h x x x x x x x = = → → → → 那末 lim ( ) ( ) 0 f x x x x → → 存在, 且等于A. . , 并且 与 的极限是容易求的 利用夹逼准则求极限关键是构造出 与 n n n n y z y z 准则 I和准则 I'称为夹逼准则. 注 意
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 例1求lm( n-+ +2 n 解 十∴十 下下 n2+n√n2+1 √n+n n 又lm n→0√n2+nn→ 1+ n In =lim n2+1 1,由夹逼定理得 十 m 十 n2+1√n2+2 n+n H tt p: //
例1 ). 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 n n n n + n + + + + → + 求 解 , 1 1 1 1 2 2 2 2 + + + + + + n n n n n n n n n n n n n n 1 1 1 lim 2 lim + = → + → 又 = 1, 2 2 1 1 1 lim 1 lim n n n n n + = → + → = 1, 由夹逼定理得 ) 1. 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 = + + + + + n→ n + n n n
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 2 例2求极限:limn 解0 2n222222 < n!123n 而lir 0 n→0 2 所以lim==0 n→0 H tt p /www.heut.edu
求极限： ! 2 lim n n n→ n n n n n 2 4 1 2 2 3 2 2 2 1 2 ! 2 〈0 = = 0 4 lim = n→ n 而 0 ! 2 lim = → n n n 所 以 解 例2
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 例3 n→00 n(m+2×…… 解:令 十…+ n n+ (2n) n+1 则有: n+1 <x <- n十 1+n n+1 n(n+m)2=0 2 0 。limx,=0 H tt p /www.heut.edu
] (2 ) 1 ( 1) 1 1 lim [ 2 2 2 n n n n ++ + + → 而 0 ( ) 1 lim 2 = + + → n n n n 2 2 2 (2 ) 1 ( 1) 1 1 n n n xn + + + 解：令 = + 2 2 1 ( ) 1 n n x n n n n + + + 则有： 0 1 lim 2 = + → n n n lim = 0 → n n x 例3
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 2单调有界准则(1)单调数列定义 如果数列x,满足条件 !x3…x又叶 单调增加 x1≥x2…≥xn≥xn≥…,单调减少 (2)准则Ⅱ单调有界数列必有极限 几何解释: 2 xinxin+ H tt p: //
x x1 x2 x3 xn xn+1 如果数列 满足条件 （ ）单调数列定义 xn 1 , x1 x2 xn xn+1 单调增加 , x1 x2 xn xn+1 单调减少 （2）准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. A M 2.单调有界准则 几何解释:
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 易知: 单增有上界的数列必有限 单减有下界的数列必有限 H tt p /www.heut.edu
单减有下界的数列必有极 限 单增有上界的数列必有极 限 易知：
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 例4证明数列 =y3+V3+V…+ (n重根式的极限存在 证显然xn1>xn,∴{xn}是单调递增的; 又∵x1=√3<3,假定xk<3, k+1 3+xk<√3+3<3, {x}是有界的; imx,存在 n→0 H tt p /www.heut.edu
例 4 ( ) . 3 3 3 重根式的极限存在 证明数列 n x n = + + + 证 , 显然 xn+1 xn 是单调递增的 ; xn 3 3, 又 x1 = 3, 假定 xk xk+1 = 3 + xk 3 + 3 3, 是有界的; xn lim 存在. n n x →
