高数课程妥媒血课件 理工大理>> 第四节函数单性的到 单调性的判别法 单调区间求法 小结 Http://www.heut.edu.cn
第四节 函数单调性的判定法 单调性的判别法 单调区间求法 小结
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 一、单调性的剃别法 y=f(r) y=f(x) B b 0a b f(x)≥0 f(x)≤0 定理设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b内可 导.(1)如果在(a,b内∫(x)>0,那末函数y=∫(x) 在[a,b上单调增加;(2)如果在(a,b)内∫(x)<0, 那末函数y=f(x)在[a,b上单调减少 Http://www.heut.edu.cn
x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 0 f (x) 0 定理 ( ) [ , ] . [ , ] (2) ( , ) ( ) 0 . 1 ( , ) ( ) 0 ( ) ( ) [ , ] ( , ) 那末函数 在 上单调减少 在 上单调增加； 如果在 内 ， 导（ ）如果在 内 ，那末函数 设函数 在 上连续，在 内 可 y f x a b a b a b f x a b f x y f x y f x a b a b = = = a b B A 一、单调性的判别法
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 证x1,x2∈(a,b且x 若在(a,b内,f(x)>0,则∫()>0, ∫(x2)>∫(x1∴y=f(x)在a,b上单调增力 若在a,b)内,f(x)<0,则f(5)<0, f(x2)<f(x1)∴y=f(x)在ab上单调减少 tt p : // h
证 , ( , ), 1 2 x x a b , 1 2 且 x x 应用拉氏定理,得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 f x − f x = f x − x x x 0, x2 − x1 若 在(a,b)内 ，f(x) 0, 则 f() 0, ( ) ( ). 2 1 f x f x y = f (x)在[a,b]上单调增加. 若 在(a,b)内 ，f(x) 0, 则 f() 0, ( ) ( ). 2 1 f x f x y = f (x)在[a,b]上单调减少
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1讨论函数y=e-x-1的单调性 解∵y'=e2-1.又:D:(-∞,+0) 在(-∞0内, J0,∴函数单调增加 注意:函数的单调性是一个区间上的性质,要用 导数在这一区间上的符号来判定,而不能用 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性 Http://www.heut.edu.cn
例1 解 讨论函数y = e − x − 1的单调性. x = − 1. x y e 在(− ,0)内, y 0, 函数单调减少； 在(0,+ )内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 又 D : (− ,+ )
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、单调区间求法 问题如上例,函数在定义区间上不是单调的, 但在各个部分区间上单调 定义若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则该区间称为函数的单调区间 导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间 的分界点 方法用方程∫(x)=0的根及(x)不存在的点 来划分函数f(x)的定义区间,然后判断区间内导 数的符号 Http://www.heut.edu.cn
如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调． 若函数在其定义域的某个区间内是单调的， 则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． . ( ) , ( ) 0 ( ) 数 的 符 号 来 划 分 函 数 的 定 义 区 间 然 后 判 断 区 间 内 导 用 方 程 的 根 及 不 存 在 的 点 f x f x = f x 问题 定义 方法 二、单调区间求法
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2确定函数f(x)=2x-9277 +12x-3的单调区间 解D:(-∞,+0 ∫"(x)=6x-18x+12=6(x-1)(x-2) 解方穆'(x)=0得,x=1,x2=2 当-∞0,∴在(-单调增加 当10,在2,+)上单调增加 单调区间为(-∞,1[1,2[2,+∞) Http://www.heut.edu.cn
例2 解 12 3 . ( ) 2 9 3 2 的单调区间 确定函数 + − = − x f x x x D :(−,+). ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x − 1)( x − 2) 解方程f(x) = 0得 ， 1, 2. x1 = x2 = 当− x 1时，f ( x) 0, 在(− ,1]上单调增加； 当1 x 2时， f ( x) 0, 在[1,2]上单调减少； 当2 x + 时， f ( x) 0, 在[2,+ )上单调增加； 单调区间为 (−,1]， [1,2]，[2,+)
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例3确定函数f(x)=3x2的单调区间 解∵D:(-∞,+∞) 2 (x≠0) 3 当x=0时,导数不存在 当-∞0,∴在0,+∞上单调增加 单调区间为(-∞,0,0,+∞) Http://www.heut.edu.cn
例3 解 ( ) . 确定函数 f x = 3 x 2 的单调区间 D :(−,+). , ( 0) 3 2 ( ) 3 = x x f x 当x = 0时,导数不存在 . 当− x 0时， 当0 x + 时，f ( x) 0, 在[0,+ )上单调增加； f ( x) 0, 在(− ,0]上单调减少； 单调区间为 (−,0]， [0,+). 3 2 y = x
高数课程妥媒血课件 理工大理>> 注意:间内个别点导数为不影响区间的单调性 例如,=x3,yx-0=0,但在-a+∞上单调增加 例4当x>0时,试证x>mn(1+x)成立 证设f(x)=x-mn(1+x),则∫(x) 1+x f(x)在0,+∞上连续且(0,+∞可导,f(x)>0, 在0,+∞上单调增加∵∫(0)=0 当x>0时,x-l(1+x)>0,即x>ln(1+x) tt p : // h
例4 证 当x 0时,试证x ln(1 + x)成立. 设f (x) = x − ln(1+ x), . 1 ( ) x x f x + 则 = f (x)在[0,+ )上连续,且(0,+ )可导，f(x) 0, 在[0,+ )上单调增加； f (0) = 0, 当x 0时，x − ln(1 + x) 0, 即x ln(1+ x). 例如, , 3 y = x 0, y x = 0 = 但 在(− ,+ )上单调增加. 注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 小结 单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的 重要应用 定理中的区间换成其它有限或无限区间, 结论仍然成立 应用:利用函数的单调性可以确定某些方 程实根的个数和证明不等式 Http://www.heut.edu.cn
单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的 重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间， 结论仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方 程实根的个数和证明不等式. 小 结
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> ? 题 若∫'(0)>0,是否能断定f(x)在原点的 充分小的邻域内单调递增? Http://www.heut.edu.cn
若 f (0) 0 ，是否能断定f ( x) 在原点的 充分小的邻域内单调递增？ 思考题