高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第七节广义分 ◎元穷限的广义积分 ◎元界函数的广义积分 小结 Http://www.heut.edu.cn
第七节 广义积分 无穷限的广义积分 无界函数的广义积分 小结
高数课程妥媒血课件 镭理工大理隙>> 解决许多实际问题要求我们将函数f(x)在区间 ab上的。f(x)x从不同方面予以推广。 例如将区勵,b推广到无限区 (∞la∞(吵 就有无限区间的广分常积分)简称无 将区「2b的有界函推广到无界函 就有无界函数的厂分秋常积分)简 分。将被积函数函蜘推广到多元函 含参变量的积分, Http://www.heut.edu.cn
b a [a,b]上 的 f ( x)d x 例 如,将区间[a,b]推广到无限区间 ((− ,b],[a,+ ),(− ,+ )), 就有无限区间的广义积 分(反常积分）简称无穷积 分 ； 将区间[a,b]上的有界函数f(x)推广到无界函数， 就有无界函数的广义积 分（反常积分）简称瑕 积 分。将被积函数由一元 函数推广到多元函数就 有 含参变量的积分，等等 。 解决许多实际问题要求我们将函数f(x)在区间 从不同方面予以推广
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 无穷限的广义积分 设函数f(x)在区间a+∞)上连续,取b>a,如 果极限 limf(x)存在,则称此极限为函数 b→+∞a ∫(x)在无穷区间a+)上的广义积分,记作 + 0o f∫(x)dx f(r)dx= lim f(x)dx b→ 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 时,称广义积分发散 Http://www.heut.edu.cn
设函数 f ( x) 在区间[a,+ ) 上连续，取b a ， 如 果极限 → + b b a lim f ( x )dx 存在，则称此极限为函数 f ( x) 在 无 穷 区 间[a,+ ) 上 的 广 义 积 分 ， 记 作 + a f ( x )dx . + a f (x)dx →+ = b b a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散. 定义1 一、无穷限的广义积分
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 类似地,设函数f(x)在区间(-∞,b上连续,取 a<b,如果极限lm「f(x)存在,则称此极 a→-a 限为函数∫(x)在无穷区间(∞,b上的广义积 分,记作」f(x)d ∫f(x)x=lim∫f(x)d 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 时,称广义积分发散 Http://www.heut.edu.cn
类似地，设函数 f (x) 在区间(−,b]上连续，取 a b，如果极限 →− b a a lim f (x)dx存在，则称此极 限为函数 f (x) 在无穷区间(−,b] 上的广义积 分，记作− b f (x)dx. − b f (x)dx →− = b a a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 设函数f(x)在区间(-∞,+)上连续,如果 oO 广义积分f(x)x和「∫(x)x都收敛,则 0 称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间 (-∞,+)上的广义积分,记作f(x)dx Sm f(x)dx=l f(xdx+lf(x)dx lim f(x)dx+ lim f(dx b→》+ 极限存在称广义积分收敛;否则称广义积分发散 Http://www.heut.edu.cn
设函数 f (x) 在区间(−,+) 上连续,如 果 广义积分− 0 f (x)dx 和 + 0 f (x)dx 都收敛，则 称上述两广义积分之和为函数 f (x) 在无穷区间 (−,+)上的广义积分，记作 + − f (x)dx . + − f ( x)dx − = 0 f ( x)dx + + 0 f (x)dx →− = 0 lim ( ) a a f x dx →+ + b b f x dx 0 lim ( ) 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> + dx 例1计算广义积分 1+x 2 dx + 解 十 ∞1+x 01+x2501+x 0 b m dx+ lim a→-aa1+x 2 b→+∞001+x 2ar lim arctan x+ lim arctan b→+∞ 兀兀 lim arctan lim arctan a→-0 b→>+o Http://www.heut.edu.cn
计算广义积分 . 1 2 + − + x dx 解 + − + 2 1 x d x − + = 0 2 1 x d x + + + 0 2 1 x d x + = →− 0 2 1 1 lim a a d x x + + →+ b b d x x 0 2 1 1 lim 0 lim arctan a a x →− = b b x 0 lim arctan →+ + a a lim arctan →− = − b b lim arctan →+ + . 2 2 = + = − − 例1
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 1 例2计算广义积分」2 解 十Q sin-dx sin-d rr b b lim sind lim i cos xx b→ x|2 lim i cos--cOS b→+ b Http://www.heut.edu.cn
计算广义积分 解 . 1 sin 1 2 2 + dx x x + 2 1 sin 1 2 dx x x + = − 2 1 1 sin x d x = − →+ b b x d x 2 1 1 lim sin b b x = →+ 2 1 lim cos = − →+ 2 cos 1 lim cos b b =1. 例2
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例3证明广义积分当P>1时收敛, 当P≤1时发散 证(1 +oo dx=[nxt=+ P +∞,P1时广义积分收敛,其值为 当p≤1时广义积分发散 Http://www.heut.edu.cn
证明广义积分+ 1 1 dx x p 当 p 1时收敛， 当 p 1时发散. 证 (1) p = 1, + 1 1 d x x p + = 1 1 d x x + = 1 ln x = + , ( 2 ) p 1 , + 1 1 d x x p + − − = 1 1 1 p x p − + = , 1 1 1 , 1 p p p 因此当 p 1 时广义积分收敛，其值为 1 1 p − ； 当 p 1时广义积分发散. 例 3
高数课程妥媒血课件 理工大理>> 例4证明广义积分厂c当P>0时收敛, 当p0时收敛,当<0时发散 Http://www.heut.edu.cn
证明广义积分 + − a p x e dx当 p 0时收敛， 当 p 0时发散. 证 + − a px e dx − →+ = b a px b lim e dx b a px b p e = − − →+ lim = − − − →+ p e p e pa pb b lim = − , 0 , 0 p p p e ap 即 当 p 0 时收敛，当p 0 时发散. 例4
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、无界函数的广义积分 设函数f(x)在区间(a,b上连续,而在点m的 右邻域内无界·取ε>0,如果极限 im[f(x)d存在,则称此极限为函数f(x) E→+0a+E 在区间(a,b上的广义积分,记作∫f(x)dc b b f(x)dx= lim f(x) +0a+E 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 时,称广义积分发散 Http://www.heut.edu.cn
设函数 f (x)在区间(a,b]上连续，而在点a的 右 邻 域 内 无 界 ． 取 0 ， 如 果 极 限 →+ + b a f x dx lim ( ) 0 存在，则称此极限为函数 f (x) 在区间(a,b]上的广义积分，记作 b a f (x)dx. b a f (x)dx →+ + = b a f x dx lim ( ) 0 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散. 定义2 二、无界函数的广义积分