高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第三节向的示 向量的投影与投影定理 ●向量的坐标 ◎向量的模、向量的方向余弦 小结 Http://www.heut.edu.cn
第三节 向量的坐标 向量的投影与投影定理 小结 向量的坐标 向量的模、向量的方向余弦
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 向量在轴上的投影与投影定理 设有一轴u,AB是轴u上的有向线段 B 如果数九满足4=AB,且当AB与轴同 向时A是正的,当AB与u轴反向时x是负的, 那末数元叫做轴u上有向线段AB的值,记作 AB,即A=AB Http://www.heut.edu.cn
设有一轴 u，AB 是轴 u 上的有向线段. u A B AB AB. u AB AB u AB AB u = = ，即 那末数 叫做轴 上有向线段 的值，记作 向时 是正的，当 与 轴反向时 是负的， 如果数 满足 ，且当 与 轴同 一、向量在轴上的投影与投影定理
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 设e是与u轴同方向的单位向量, 已A B AB=(AB)e 0 设A,B,C是u轴上任意三点,不论这三点 的相互位置如何, AC=AB+BC Bp(AC)e=(AB)e+(BC)e=(AB+bc)e, AC=AB+Bc Http://www.heut.edu.cn
o u A B 1 设 e 是与 u 轴同方向的单位向量， AB (AB)e. = 的相互位置如何， 设 A, B,C 是 u 轴上任意三点，不论这三点 AC e AB e BC e 即 ( ) = ( ) + ( ) (AB BC)e, = + AC = AB+ BC. AC = AB+ BC, e
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1在轴上取定一点作为坐标原点.设A,B, 是u轴上坐标依次为1,u2的两个点,是轴 同方向的单位向量,证明AB=(2-1) 证∵O4=u1, B 0 L 故O4=2,同理,OB=l2e,于是 AB=0B-OA=u2e-ue=(u2-uie Http://www.heut.edu.cn
证 , OA = u 1 例 1 在u 轴上取定一点o 作为坐标原点．设A, B , 是u轴上坐标依次为u1 , u2 的两个点，e 是与u 轴 同方向的单位向量，证明AB u u e ( ) = 2 − 1 . , 1 OA u e 故 = u e u e = 2 − 1 ( ) . 2 1 u u e = − o u A B 1 e u1 u2 , 2 OB u e 同理， = AB = OB −OA 于是
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 空间两向量的夹角的概念 a≠0,b≠0, 向量与向量b的夹角 q=(a,b)=(b,a)(0≤q≤π) 类似地,可定义向量与一轴或空间两轴的夹角 特殊地,当两个向量中有一个零向量时,规定 它们的夹角可在0与π之间任意取值 Http://www.heut.edu.cn
空间两向量的夹角的概念： 0, a 0, b a b 向量a 与向量b 的夹角 (a,b) = (b,a) = 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值. (0 )
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 空间一点在轴上的投影 过点A作轴u的垂直 平面,交点A即为点 A在轴u上的投影 Http://www.heut.edu.cn
空间一点在轴上的投影 u •A A 过点A作轴u的垂直 平面，交点A即为点 A在轴u上的投影
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 空间一向量在轴上的投影 B B 已知向量的起点4和终点B在 轴u上的投影分别为4,B那 么轴u上的有向线段4B的 值,称为向量在轴!上的投影 Http://www.heut.edu.cn
空间一向量在轴上的投影 u A A B B 已知向量的起点A 和终点B 在 轴u上的投影分别为A , B那 么轴u上的有向线段AB的 值，称为向量在轴u 上的投影
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 向量AB在轴上的投影记为PrAB=AB 关于向量的投影定理(1) 向量AB在轴L上的投影等于向量的模乘以 轴与向量的夹角的余弦: Pranab=AB|cosq 证 PrAb=prj,ab B = AB cos P Http://www.heut.edu.cn
向量AB在轴u上的投影记为 Pr j uAB = AB . 关于向量的投影定理（1） 向量AB在轴u上的投影等于向量的模乘以 轴与向量的夹角的余弦：Pr j uAB =| AB| cos 证 u A B A B B Pr j uAB= Pr j uAB =| AB| cos u
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 定理1的说明: (1)0≤q< π2 投影为正 ()2≤仉,投影为负; L (3)q= 投影为零; (4)相等向量在同一轴上投影相等; Http://www.heut.edu.cn
定理1的说明： 投影为正； 投影为负； 投影为零； u a b c (4) 相等向量在同一轴上投影相等； (1) 0 , 2 2 (2) , (3) = , 2
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 关于向量的投影定理(2) 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量 在该轴上的投影之和,(可推广到有限多个) Prj(a+a2)=Prja+Prja2 C 1 1B L B Http://www.heut.edu.cn
关于向量的投影定理（2） 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量 在该轴上的投影之和. Pr ( ) Pr Pr . 1 2 1 a2 j a a ja j + = + A A B B C C （可推广到有限多个） u 1 a 2 a