河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第八章 多元函数微分法及其应用（8.2）偏导数

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第二节 信 ◎偏导数的定义 儋导数的计算 ●高阶导数 小结 Http://www.heut.edu.cn

第二节 偏导数 偏导数的定义 小结 偏导数的计算 高阶导数

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 偏导数的定义及其计算法 山设函数z=f(x,y)在点(x0,y)的某一 邻域内有定义,当y固定在而x在x处有 增量Δx时,相应地函数有增量 4.==f(x0+△x,y0)-f(x 090)9 如果 lim f(o+ Ax,yo)-f(o,yo) △x→>0 △x 存在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点 (x0,y)处对x的偏导数 Http://www.heut.edu.cn

定 义 设函数z = f ( x, y)在 点( , ) 0 0 x y 的某一 邻域内有定义，当 y固定在 0 y 而 x在 x0处 有 增量x时，相应地函数有增量 x z = ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + x y − f x y ， 如果 x f x x y f x y x  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在，则称此极限为函数z = f ( x, y)在点 ( , ) 0 0 x y 处对x的偏导数. 定义1 一、偏导数的定义及其计算法

高数课程妥媒血课件 理工大理>> 记作:z ,zxx=x或f2(x0,y x=xo =ro y=yo y=yo 同理可定义函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 的偏导数,为 f(x0,y+△y)-f(x0,y) m △ oz 记为 af O x=x或(x,y) 少x=xOy y=o y=J y=yo Http://www.heut.edu.cn

同理可定义函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 处对y 的偏导数， 为 y f x y y f x y y  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 记为 0 0 y y y x x z =  =  ， 0 0 y y y x x f =  =  ， 0 0 y y x x y z = = 或 ( , ) 0 0 f x y y . 0 0 y y x x x z =  =  ， 0 0 y y x x x f =  =  ， 0 0 y y x x x z = = 或 ( , ) 0 0 f x y x . 记作：

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 如果函数z=f(x,y)在区域D内任一点 (x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数 就是x、y的函数,它就称为函数z=∫(X,y)对 自变量x的偏导数, 记作 azOf,z,或∫( x,v). ax ax 同理可以定义函数z=∫(x,y)对自变量y的偏 导数,记作 f,z,或f y Oy Http://www.heut.edu.cn

如果函数z = f ( x, y)在区域D 内任一点 (x, y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是x、y的函数，它就称为函数z = f ( x, y)对 自变量x的偏导数， 记作 x z   ， x f   ， x z 或 f (x, y) x . 同理可以定义函数z = f ( x, y)对自变量y 的偏 导数，记作 y z   ， y f   ， y z 或 f (x, y) y

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 象偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如=f(x,y,z)在(x,y,x)处 f∫(x,y,z)=li f(x+△x,y,z)-∫(x,y,z) △x→>0 △y f(x,y,)=lim f(x,y+Δy,z)-∫(x,y,x △y->0 △ ∫(x,y,z)=lim∫(x,y,z+△x)-f(x,yx) △z→0 △ tt p : // h

如 u = f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处 , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 x f x x y z f x y z f x y z x x  +  − =  → , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 y f x y y z f x y z f x y z y y  +  − =  → . ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 z f x y z z f x y z f x y z z z  +  − =  → 偏导数的概念可以推广到二元以上函数

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1求z=x2+3+y2在点(1,2)处的偏导数 解a =2x+3y ax 0=3x+2y a/r=2×1+3×2=8, 2 J=4 z =3×1+2×2=7 2 Http://www.heut.edu.cn

例 1 求 2 2 z = x + 3xy + y 在点(1,2) 处的偏导数． 解 =   x z 2x + 3y ; =   y z 3x + 2y . =    = = 2 1 y x x z 21+ 3 2 = 8 , =   = = 2 1 y x y z 31+ 22 = 7

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2设z=x"(x>0,x≠1) 求证xaz 1 a 十 z y ax In x ay 证 z oz =xInx Ox ay x az 1 az x .rEal 十 xinx y ax In x ay y Inx =x+y=2 原结论成立 tt p : // h

例 2 设 y z = x (x  0, x  1)， 求证 z y z x x z y x 2 ln 1 =   +   . 证 =   x z , y−1 yx =   y z x ln x, y y z x x z y x   +   ln 1 x x x yx y x y y ln ln 1 1 = + − y y = x + x = 2z. 原结论成立．

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例3设z= arcsin Ozoz ,求 x ax ay 解 z ax 2 y t y 2 2 r t y y2=|y|) yl、(x2+y2)3 xt y Http://www.heut.edu.cn

例 3 设 2 2 arcsin x y x z + = ，求 x z   ， y z   . 解 =   x z          +  + − x x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 2 | | (x y ) y y x y +  + = . | | 2 2 x y y + = ( | |) 2 y = y

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> ay 2 2 x2+y ) 2 2 r t y N√x2千 2 2 x t y sgn (y≠0 x t y 不存在 ay x≠0 0 Http://www.heut.edu.cn

=   y z          +  + − y x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 ( ) ( ) | | x y xy y x y + −  + = x y y x 1 sgn 2 2 + = − ( y  0) 0 0 =    y y x z 不存在．

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例4已知理想气体的状态方程pW=RT (R为常数),求证:VaT-1 Ov aa 证p RT、apRT → 2 DRTⅣR → P OT →) T= pv aT V R dp R Op O OT RT R RT oy ot ap PR Pv Http://www.heut.edu.cn

例 4 已知理想气体的状态方程pV = RT （R为常数），求证： = −1         p T T V V p . 证 =  V RT p ; 2 V RT V p = −   =  p RT V ; p R T V =   =  R pV T ; R V p T =   =         p T T V V p 2 V RT − p R  R V  = −1. pV RT = −