河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十一章 无穷级数（11.2）常数项级数的审敛法

言等数课租妥媒课 北理工大理等>> 第二节 正项级数及其审放法 交错级数及其审敛法 绝对收敛与条件收敛 小结 H tt p:// www,heut.edu.cn

第二节 常数项级数的审敛法 正项级数及其审敛法 小结 交错级数及其审敛法 绝对收敛与条件收敛

言等数课租妥媒课 北理工大理等>> 正项级数 N如果级数∑中各项均有mn≥0 n=1 这种级数称为正项级数 易知: 对正项级数的部分和序列有: S1≤S,≤…≤S,≤ 即:部分和数列sn为单调增加数列.则有 正项级数收的充现 正项级数收敛分部分和所成的数列s有界. H tt p:// www,heut.edu.cn

如果级数 中各项均有 0， 1     n n un u 这种级数称为正项级数. s1  s2   sn   正项级数收敛 部分和所成的数列 有界. n  s 即：部分和数列{ 为} 单调增加数列. n s 定义1 对正项级数的部分和序列有： 易知： 定理（正项级数收敛的充要条件） 则有 一 、正项级数

言等数课租妥媒课 北理工大理等>> 测设∑和∑"均为正项级数, n=1 oo 且un≤vn(n=12,),若∑v收敛则∑u1收敛; n= 反之,若∑un发散,则∑发散 H-=1 oo = 证明(1)设σ=∑v∵nsv n=1 且Sn=1+2+…+Ln≤v+v2+…+vn≤0, 部分和数列有界 ∑u收敛 H-=1 H tt p:// www,heut.edu.cn

且u  v (n  1,2,) n n ,若  n1 n v 收敛,则  n1 un 收敛； 反之，若  n1 un 发散，则  n1 n v 发散. 证明 n u u un 且s  1  2       1 (1) n n 设 v , n n u  v  , 即部分和数列有界 . 1  收敛    n un 设 和 均为正项级数，    1 n 1 n n n u v n  v  v  v 1 2 比较审敛法

言等数课租妥媒课 北理工大理等>> (2)设Sn→∞(n→∞)且un≤vn, 则a,≥sn>0不是有界数列 ∑vn发散 定理证毕 推论 若∑1收敛(发散 H=1 且vn≤kan(n≥Nkn≤v),则∑v收敛(发散 n=l 启示)比较审敛法的不便:须有参考级数 H tt p:// www,heut.edu.cn

若  n1 un 收敛(发散) 且 ( )( ) n n n n v  ku n  N ku  v , 则  n1 n v 收敛(发散). n n 则  s (2) s   (n  ) 设 n , n n 且 u  v   不是有界数列 . 1  发散    n n v 定理证毕. 比较审敛法的不便: 须有参考级数. 推论： 启示

言等数课租妥媒课 北理工大理等>> 例1讨论P级数 1 2 P +n++…+n+…的收敛性(p>0) 34 n 解设p≤1, ≥-,则P-级数发散 n 设p>1,由图可知 d x (P>1) 1+—+-+… 23 n dx x <1+ 234 vp H tt p:// www,heut.edu.cn

讨论 P-级数  p  p  p  p  n 1 4 1 3 1 2 1 1 的收敛性.( p  0) 解 设 p  1, , 1 1 n n p   则P  级数发散. 设 p  1, o y x ( 1) 1  p  x y p 1 2 3 4 由图可知    n n p p x dx n 1 1 n p p p n s 1 3 1 2 1  1          n n p p x dx x dx 1 2 1 1  例1

言等数课租妥媒课 北理工大理等>> 1 1+ )时,收敛 当p≤1时,发散 重要参考级数:几何级数,P级数,调和级数 H tt p:// www,heut.edu.cn

   n p x dx 1 1 ) 1 (1 1 1 1 1     p p n 1 1 1    p 即 有界, n s 则P  级数收敛.       当 时 发散 当 时 收敛 级数 1 , 1 , p p P 重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数. 结论

言等数课租妥媒课 北理工大理等>> 例2证明级数∑ 是发散的 n√n(n+1) 证明 > (n+1)n+ 而级数∑,发散, n 级数∑发散 H tt p:// www,heut.edu.cn

证明级数  1 (  1) 1 n n n 是发散的. 证明 , 1 1 ( 1) 1   n n  n  , 1 1 1   n n  而级数 发散 . ( 1) 1 1      n n n 级数 发散 例2

言等数课租妥媒课 北理工大理等>> 审做法的极限 设∑un与∑n都是正项级数如果lim"=l, n=1 H=1 则(1)当0<l<+时二级数有相同的敛散性; co oo (2)当1=0时,若∑v收敛则∑un收敛; n=1 ()当1=+∞时若∑”发散则∑un发散; n=1 n H tt p:// www,heut.edu.cn

设  n1 un 与  n1 n v 都是正项级数,如果 则(1) 当 时,二级数有相同的敛散性; (2) 当 时，若 收敛,则 收敛; (3) 当 时, 若  n1 n v 发散,则  n1 un 发散; lim l, v u n n n   0  l   l  0 l     n1 n v   n1 un 比较审敛法的极限形式

言等数课租妥媒课 北理工大理等>> 证明(1)由im=l对于E=>0, n→0 日N,当n>N时,-4N) 2 由比较审敛法的推论,得证 H tt p:// www,heut.edu.cn

证明 l v u n n n   (1)由lim 0, 2   l 对于  N , 当n  N时, 2 2 l l v l u l n n     ( ) 2 3 2 v n N l v u l 即 n  n  n  由比较审敛法的推论, 得证

言等数课租妥媒课 北理工大理等>> 设∑n为正项级数 H=1 如果 clim nu=l>0(或 Elim nu=∞), n→0 n→0 则级数∑n发散; n=1 如果有p>1,使得limn"un存在 则级数∑un收敛 n=1 H tt p:// www,heut.edu.cn

设  n1 un 为正项级数, 如果lim   0  nu l n n (或    n n lim nu ), 则级数  n1 un 发散; 如果有 p  1, 使得 n p n n u  lim 存在, 则级数  n1 un 收敛. 极限审敛法