高数课程妥媒血课件 理工大理>> 第十章曲绲积分与曲面积分习题课 基本内容 典型例题 Http://www.heut.edu.cn
基本内容 典型例题 第十章 曲线积分与曲面积分习题课
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 主要内容 ①曲线积分与曲面积分 Q2各种积分之间的联系 3场论初步 Http://www.heut.edu.cn
1 曲线积分与曲面积分 2 各种积分之间的联系 3 场论初步 一、主要内容
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> (一)曲线积分与曲面积分 对长的 对面积的 由线积分 曲面积分 曲线积分 曲 定联计定‖联计》面 义系∥算 义系∥算 分 对坐标的 对坐标的 由线积分 曲面积分 Http://www.heut.edu.cn
曲 线 积 分 曲 面 积 分 对面积的 曲面积分 对坐标的 曲面积分 对弧长的 曲线积分 对坐标的 曲线积分 计 算 计 算 联 系 联 系 （一）曲线积分与曲面积分
高数课程妥媒血课件 冒理工本字理心> 曲线积分 对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分 定 P(x,y)x+Q(x,y)小y 义(x,=m>,m=m∑75,mA+Q(,ny 联 系 Pax+edy= (Pcos a+2cos B)ds 计Jf(x,y)ds Pdx +ody rSIo,No2+Y LIP(, v)'+e(, v)y'ldt 算三代一定(a<B三代一定(与方向有关) Http://www.heut.edu.cn
曲 线 积 分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 定 义 = → = n i i i i L f x y ds f s 1 0 ( , ) lim ( , ) + L P(x, y)dx Q(x, y)dy lim [ ( , ) ( , ) ] 1 0 i i i n i i i i = P x +Q y = → 联 系 Pdx Qdy P Q ds L L ( cos cos ) + = + 计 算 = f + dt f x y ds L 2 2 [ , ] ( , ) 三代一定 ( ) = + + P Q dt Pdx Qdy L [ ( , ) ( , ) ] 二代一定 (与方向有关)
高数课程妥媒血课件 理工大理擘原>> 与路径无关的四个等价命题 条在单连通开区城D上P(x,)Q(x,)具有 件连续的一阶偏导数则以下四个命题成立 等()在D内P2+Q小与路径无关 价(2)Pxg!=0曲线CcD 命(3)在D内存在U(x,y)使dm=Pd+g 题|(4)在D内 oP 00 ay ax Http://www.heut.edu.cn
与路径无关的四个等价命题 条 件 在单连通开区域D上P(x, y),Q(x, y)具 有 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立. + L (1) 在D内 Pdx Qdy与路径无关 + = C (2) Pdx Qdy 0,闭曲线C D (3) 在D内存在U(x, y)使du = Pdx + Qdy x Q y P D = (4) 在 内, 等 价 命 题
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 曲面积分 对面积的曲面积分对坐标的曲面积分 定∫2M2第订取3的 m∑R(5,1,5)△S) 义 λ→0 i=1 ∑ 联|』P+Q在+R=Pa++css 系 计 ∫(x,2 R(x, y, z)dxdy ∫nxx+之+=x, 代,二换,三投(与侧无关一代,二投,三定向(与侧有关 Http://www.heut.edu.cn
曲 面 积 分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 定 义 = → = n i i i i i f x y z ds f s 1 0 ( , , ) lim ( , , ) i x y n i R(x, y,z)dxdy lim R( i , i , i)( S ) 1 0 = = → 联 系 Pdydz + Qdzdx + Rdxdy 计 算 一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关) = (Pcos + Qcos + Rcos )dS f (x, y,z)ds = + + Dxy x y f x y z x y z z dxdy 2 2 [ , , ( , )] 1 R(x, y,z)dxdy = Dxy R[x, y,z(x, y)]dxdy
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> (二)、各种积分之间的联系 计算 曲线积分 定积分 Stokes公式 计算 计算 曲面积分 重积分 Guas公式 Http://www.heut.edu.cn
曲线积分 定积分 曲面积分 重积分 计算 计算 计算 Stokes公式 Guass公式 (二)、各种积分之间的联系
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> ①积分概掩的联系 f(M=im∑f(MAG,(M)点函数 定积分当→R上区间a,b时, f(Mnd=∫,f(x)dx 二重积分当Σ→R2上区域D时, f(M)do=l f(,y)do Http://www.heut.edu.cn
( ) lim ( ) , ( )点函数 1 0 f M d f M f M n i i = → = ( ) ( ) . [ , ] , 1 = → b a f M d f x dx R a b 当 上区间 时 ( ) ( , ) . , 2 = → D f M d f x y d R D 当 上区域 时 定积分 二重积分 1 积分概念的联系
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 曲线积分当Σ→R,上平面曲线L时, f(M)do=L f(x, y)ds 三重积分当Σ→>R上区域Q时, [(MO=』(x,, 曲线积分当Σ→R3上空间曲线时, ∫(M)du=,f(x,y,)d 曲面积分当Σ→>R3上曲面S时, f(M)dσ=f(x,y,x)dS Http://www.heut.edu.cn
= → f M d f x y z dV R ( ) ( , , ) , 3 当 上区域 时 ( ) ( , , ) . , 3 = → f M d f x y z ds R 当 上空间曲线 时 ( ) ( , , ) . , 3 = → S f M d f x y z dS R S 曲面积分 当 上曲面 时 曲线积分 三重积分 ( ) ( , ) . , 2 = → L f M d f x y ds R L 曲线积分 当 上平面曲线 时
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> Q2计上的联系 b ∫(x,y)do= ∫(x,y)lx,(lo面元素) a vI(x) ∫ 2(x),Pz2(x,y) f(x, y, z)dv L y1(x) (x,,z),(d体元素) b f(x,y)=Jx,y(x)小1+y2d,(线元素曲) /(,y)dx=1x,yx)(线元素投影) Http://www.heut.edu.cn
( , ) [ ( , ) ] ,( ) ( ) ( ) 2 1 f x y d = f x y dy dx d面元素 b a y x y x D ( , , ) ( , , ) ,( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 1 2 1 f x y z dV dx dy f x y z dz dV体元素 b a y x y x z x y z x y = = + b L a f (x, y)ds f[x, y(x)] 1 y dx,(ds ( )) 2 线元素 曲 = b L a f (x, y)dx f[x, y(x)]dx,(dx线元素(投影)) 2 计算上的联系