高数课程妥媒血课件 理工大理>> 第六节二阶常系数查次线 ◎定义 二阶常系数齐次线性方程 二阶常系数齐次线性方程解法 小结 Http://www.heut.edu.cn
小结 第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 定义 二阶常系数齐次线性方程 二阶常系数齐次线性方程解法
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 定义 n阶常系数线性微分方程的标准形式 y+Py++Py+Py=f(r) 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y+py+ay=0 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 y+py+ qy=f(r) Http://www.heut.edu.cn
( ) 1 ( 1) 1 ( ) y P y Pn y Pn y f x n n + + + − + = − n阶常系数线性微分方程的标准形式 y + py + qy = 0 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y + py + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 一、定 义
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 三、三阶帝糸数齐次线性方程解法 阶齐次线性微分方程 y+p(xy+o(x)y=0 中如果y,y的系数均为常数即 y+py+qy=0其中pq为常数 称为二阶常系数齐次线性微分方程 求通解由上节结论只要排两个线性无关的 Http://www.heut.edu.cn
二阶齐次线性微分方程 y + p(x) y + Q(x) y = 0 中如果 y ,y的系数均为常数 即 y + py + qy = 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 求 通解由上节结论只要找出两个线性无关的 其中p,q为常数 二、二阶常系数齐次线性方程解法
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 的解即可。当为常数时,指数函数 y=e和它的各阶导数都只權一个 常数因子,由于指数数这个特点,我们来 选择适当的r使y=e满足方程 y+py+ay=0 y=rey"=r2e代入上面方程 Http://www.heut.edu.cn
的解即可。当r为常数时，指数函数 y = e r x和它的各阶导数都只相差一个 常数因子，由于指数函数这个特点，我们来 选择适当的r 使y = e rx满足方程 y + py + qy = 0 y = rer x y = r 2 e r x 代入上面方程
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> y+py+qy=0 一特征方程法 设y=e,将其代入上方程得 (r+ pr +e=0 e"≠0, 故有r2+pr+q=0 特征方程 特征根石2=~P±、p2-4N 2 Http://www.heut.edu.cn
-----特征方程法 , rx 设 y = e 将其代入上方程, 得 ( ) 0 2 + + = rx r pr q e 0, rx e 故有 0 2 r + pr + q = 特征方程 , 2 4 2 1,2 p p q r − − 特征根 = y + py + qy = 0
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 1有两个不相等的实根(△>0) 4c 2 P+√P P-√p-4q 特征根为= 2 2 两个线性无关的特解 V,=ei- 已 2 得齐次方程的通解为y=Cen+C2e2; Http://www.heut.edu.cn
, 2 4 2 1 p p q r − + − = , 2 4 2 2 p p q r − − − = , 1 1 r x y = e , 2 2 r x y = e 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 ; 1 2 1 2 r x r x y = C e + C e 特征根为 1 有两个不相等的实根 ( 0)
高数课程妥媒血课件 理工大理>> 2 有两个相等的实根(△=0) 特征根为r=r;=-P,一特解为y1=e, 2 设另一特解为y2=u(x)e1, 将y2,y2,y代入原方程并化简, n"+(2r1+p)'+(r2+pr1+q)u=0, 知u"=0,取u(x)=x,则y2=xe, 得齐次方程的通解为y=(C1+C2x)en2 Http://www.heut.edu.cn
, 1 1 r x , y = e 2 1 2 p r = r = − 一特解为 得齐次方程的通解为 ( ) ; 1 1 2 r x y = C + C x e 将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简， (2 ) ( ) 0, 1 2 u + r1 + p u + r1 + pr + q u = 知 u = 0, 取 u(x) = x, , 1 2 r x 则 y = xe ( ) , 1 2 r x 设另一特解为 y = u x e 特征根为 2 有两个相等的实根 ( = 0)
高数课程妥媒血课件 理工大理>> 3)有一对共轭复根(△<0) 特征根为r=a+j,n2=a-jB, (a+jB)x y1= ,2=e(a-i0)x 重新组合n=(n1+y2)=e“c0sA, V2= (v1-y2)=ea sin Bx, 得齐次方程的通解为 y=e(C cos Bx +C2 sin Bx). Http://www.heut.edu.cn
, r1 = + j , r2 = − j , ( ) 1 j x y e + = , ( ) 2 j x y e − = 重新组合 ( ) 2 1 1 1 2 y = y + y e cos x, x = ( ) 2 1 2 1 2 y y j y = − e sin x, x = 得齐次方程的通解为 ( cos sin ). 1 2 y e C x C x x = + 特征根为 3 有一对共轭复根 ( 0)
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法 例1求方程y"+4y+4y=0的通解 解特征方程为r2+4r+4=0, 解得r=r2=-2 故所求通解为y=(C1+C2x)e2x Http://www.heut.edu.cn
由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法. 求方程 y + 4 y + 4 y = 0的通解. 解 特征方程为 4 4 0 , 2 r + r + = 解得 2 , r1 = r2 = − 故所求通解为 ( ) . 2 1 2 x y C C x e − = + 例1 定义
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2求方程y"+2y+5y=0的通解 解特征方程为r2+2r+5=0, 解得F,2=-1±2j 故所求通解为 y=e(Ci cos 2x+C2 sin 2x). tt p : // h
求方程 y + 2 y + 5 y = 0的通解. 解 特征方程为 2 5 0 , 2 r + r + = 解得 1 2 , 1 2 r ， = − j 故所求通解为 ( cos 2 sin 2 ). y e C1 x C2 x x = + − 例2
