高数课程妥媒血课件 理工大理>> 第五节函数幂级数展式的 近似计算 计算定积分 求数项級数的和 ○欧批公式 小结 Http://www.heut.edu.cn
第五节 函数幂级数展开式的应用 计算定积分 小结 求数项级数的和 欧拉公式 近似计算
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> ∽、近似计算 =a1+a2+…+n+ ca1+a2+…+ 误差rn=an1+an+2+ 两问题 ①给定项数求近似值并估计精度; 2)给出精度确定项数 关健:通过估计余项,确定精度或项数 Http://www.heut.edu.cn
, A = a1 + a2 ++ an + , A a1 + a2 ++ an . 误差 rn = an+1 + an+2 + 给定项数,求近似值并估计精度; 给出精度,确定项数. 关健: 通过估计余项,确定精度或项数. 两类问题 依 据 1 2 一、近似计算
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 常用方法 ①①若余项是交错级数则可用余和的首项来解决; Q若不是交错级数则放大余和中的各项使之成为 等比级数或其它易求和的级数从而求出其和 例1计算e的近似值,使其误差不超过10 解 ex=1+x+-x2+…+-x"+ 2! 令 x=1, 得e≈1+1++…+ Http://www.heut.edu.cn
若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为 等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和. , 10 . 计算 的近似值 使其误差不超过 −5 e 解 , ! 1 2! 1 1 x = + + 2 ++ x n + n e x x 令 x = 1, , ! 1 2! 1 1 1 n 得 e + + ++ 常用方法 1 2 例 1
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 余和: 十 1+ (n+1)!(n+2)! (n+1)!n+2 ≤ 十 (n+1) n+1(n+刀)× n 欲使r≤10-,只要,≤105 n·n! 即n·m≥105,而88!=322560>105 e≈1+1+++…+,≈2.71828 2!3! 8! Http://www.heut.edu.cn
余和: + + + + ( 2)! 1 ( 1)! 1 n n rn ) 2 1 (1 ( 1)! 1 + + + + = n n ) ( 1) 1 1 1 (1 ( 1)! 1 2 + + + + + + n n n ! 1 n n = 10 , −5 欲使 rn 10 , ! 1 −5 n n 只要 ! 10 , 5 即n n 8 8! 322560 10 , 5 而 = 8! 1 3! 1 2! 1 e 1+ 1+ + ++ 2.71828
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2利用inx≈x-,计算sin9的近似值, 3 并估计误差 解 sin g 0 兀兀1丌3 SIn 2020620 1(兀)5< (0.2)5< <105 5!20120 300000 .sin9"≈0.157079-0.000646≈0.156433 其误差不超过10-5 Http://www.heut.edu.cn
. sin9 , 3! sin 0 3 并估计误差 利用 计算 的近似值 x x x − 解 20 sin9 sin 0 = ) , 20 ( 6 1 20 3 − 5 2 ) 20 ( 5! 1 r 5 (0.2) 120 1 300000 1 10 , −5 sin9 0.157079 0.000646 0 − 0.156433 其误差不超过 . 5 10− 例 2
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、计算定积分 例如函数e sInd ,原函数不能用初等 n 函数表示,难以计算其定积分 被积函数定积分的近似值 展开成幂级数 逐项积分 Http://www.heut.edu.cn
, . , ln 1 , sin , 2 函数表示 难以计算其定积分 例如函数 原函数不能用初等 x x x e − x 展开成幂级数 逐项积分 被积函数 定积分的近似值 解法： 二、计算定积分
高数课程妥媒血课件 理工大理>> 例3计算门inx的近似值,精确到10 0 解 SInx x+—X x6+…x∈(-∞,+0) 3! 5 7! Sinx dx=l 1O X 3·3!5·5!7.7! 收敛的交错级数 第四项 <10 7.7!3000 取前三项作为积分的近似值得 SInd ≈ 十 ≈0.9461 3·3!5·5 Http://www.heut.edu.cn
第四项 3000 1 7 7! 1 10 , −4 取前三项作为积分的近似值,得 5 5! 1 3 3! 1 1 1 sin 0 + − dx x x 0.9461 , 10 . sin 4 1 0 − 计算 dx的近似值 精确到 x x = − 2 + 4 − 6 + 7! 1 5! 1 3! 1 1 sin x x x x x 解 x(−,+) + − + = − 7 7! 1 5 5! 1 3 3! 1 1 1 sin 0 dx x x 收敛的交错级数 例 3
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 三、求数顶级数的和 利用级数和的定义 直接法;(拆项法;(3)递推法 例4求∑ arctan 2的和 H-=1 解 1=arctan s, arctan -+arctan-= arctan 8 arctan 8 3 28 Http://www.heut.edu.cn
直接法; 拆项法; 递推法. . 2 1 arctan 1 求 2 的和 n= n 解 , 2 1 s1 = arctan 8 1 arctan 2 1 s2 = arctan + 8 1 2 1 1 8 1 2 1 arctan − + = , 3 2 = arctan 1、利用级数和的定义 1 2 3 例 4 三、求数项级数的和
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 3 3=S2tarctan-=arctan+ arctan = arctan 18 18 假设s -1 k-1=arctan -1 Sk = arctan +arctan - arctan 2k2 k+1 n arctan → arctan1 n (n→>∞) n+1 故∑ arctan 2n24 Http://www.heut.edu.cn
18 1 arctan 3 2 = arctan + 18 1 s3 = s2 + arctan , 4 3 = arctan arctan1 1 arctan → + = n n sn ( ) 4 → = n . 2 4 1 arctan 1 2 = n= n 故 , 1 1 arctan k k sk − 假设 − = 2 2 1 arctan 1 arctan k k k sk + − = , 1 arctan + = k k
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 2阿见尔法(构造幂级数法 ∑an=lim∑anx",求得(x)=∑anx, n-=0 n-=0 ∑an=lims(x).(逐项积分、逐项求导) x→ 例5求∑2的和 n-=1 s2n-1 解令(x)=∑ 2n-2 2 Http://www.heut.edu.cn
lim , 0 1 0 n n n x n an a x → = = − = ( ) , 0 n n s x an x = 求得 = lim ( ). 1 0 a s x x n n → − = = (逐项积分、逐项求导) . 2 2 1 1 求 的和 = − n n n 解 , 2 2 1 ( ) 2 2 1 − = − = n n n x n 令 s x (− 2, 2) 2.阿贝尔法（构造幂级数法） 例 5 依据