河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第九章 重积分（9.4）三重积分的概念与计算（1）

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第四节三重积分的概念与算 预备知识空间的三个坐标系 三重积分的概念 ●在直角坐标系下计算三量积分 小结 Http://www.heut.edu.cn

第四节 三重积分的概念与计算 预备知识 空间的三个坐标系 小结 三重积分的概念 在直角坐标系下计算三重积分

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 、预备知识空间的三个坐标系 (1)直角坐标系 直角坐标系中的坐标平面: x=常数一组平行于YOZ的平面 y=常数一组平行于XOZ的平面 z常数一组平行于XOY的平面 直角坐标系中的体积元素:dV= dxdydz Http://www.heut.edu.cn

直角坐标系中的坐标平面： y=常数 一组平行于XOZ的平面 x=常数 一组平行于YOZ的平面 z=常数 一组平行于XOY的平面 直角坐标系中的体积元素：dV=dxdydz （1）直角坐标系 一、预备知识 空间的三个坐标系

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 一、预备知识空间的三个坐标系 ( (1)直角坐标系 z竖轴 直角坐标系中的坐标平面: x=常数一组平行于YOZ的平面定点 纵轴 y=常数一组平行于XOZ的平面 横轴 z常数一组平行于XOY的平面 Http://www.heut.edu.cn

横轴 x y 纵轴 z 竖轴 定点 o • 直角坐标系中的坐标平面： y=常数 一组平行于XOZ的平面 x=常数 一组平行于YOZ的平面 z=常数 一组平行于XOY的平面 （1）直角坐标系 一、预备知识 空间的三个坐标系

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> Ⅲ zOx面 y0z面 Ⅱ roy 面 ⅶx Ⅵ V 血间直角坐标系失有八个卦限 直角坐标系中的体积元素:dV= dxdydz Http://www.heut.edu.cn

Ⅶ x o y z xoy 面 yoz 面 zox 面 空间直角坐标系共有八个卦限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ 直角坐标系中的体积元素：dV=dxdydz

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> (2)柱坐标系 设M(x,y,z)为空间内一点,并设点M在 xoy面上的投影P的极坐标为r,,则这样的三 个数r,0,z就叫点M的柱面坐标. 规定:0≤r<+∞ M(x,y, 3) 0≤e≤2π, 0<<+0。 P(r,6) Http://www.heut.edu.cn

0  r  +, 0    2, −   z  +. 个数 就叫点 的柱面坐标． 面上的投影 的极坐标为 ，则这样的三 设 为空间内一点，并设点 在 r z M xoy P r M x y z M , , , ( , , )   规定： x y z o M(x, y,z) P(r, )  r • • （2）柱坐标系

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 如图,三組坐标曲面分别为 z r为常数→圆柱面 6为常数→半平面; M(x,y,=) z为常数→平面 柱面坐标与直角坐 标的关系为 6P(r,e x=rcos 6, y=rsin 6, Http://www.heut.edu.cn

     = = = . sin , cos , z z y r x r   柱面坐标与直角坐 标的关系为 r 为常数 z 为常数  为常数 如图，三組坐标曲面分别为 圆柱面； 半平面； 平 面． • M (x, y,z) P(r, ) •  r z x y z o

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 如图,柱面坐标系 中的体积元素为 rde 小hv= rare, ∫(x,ydyz de f(rcos 6, rsin 6, rdrd ec Http://www.heut.edu.cn

   f (x, y,z)dxdydz ( cos , sin , ) .   = f r  r  z rdrddz d r x y z o dz dr rd 如图，柱面坐标系 中的体积元素为 dv = rdrddz

高数课程妥媒血课件 理工大理>> 柱坐标系要点 1.平面上的极坐标系+Z轴 2.柱坐标系中的坐标:6,P,z M(x,y,2) 3柱坐标与直角坐标的关系: x=rcos e r ty=r b·P(r,6 y=rsin 8 tg0 Z=Z 4.柱坐标的取值范围 0≤≤2兀,0≤r<∞,-0<z<+0 Http://www.heut.edu.cn

2. 柱坐标系中的坐标： 1. 平面上的极坐标系+Z轴 3. 柱坐标与直角坐标的关系： 4. 柱坐标的取值范围：      = = = z z y r x r   sin cos 2 2 2 x + y = r x y tg = 0   2 , 0  r  , −   z  +   ,r,z 柱坐标系要点 • M (x, y,z) P(r, ) •  r z x y z o

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 5柱坐标系下的体积元: 理论推导: dH=dd=1到aht rsin cos0 0 rose sine odedrdz =rdxdydz Http://www.heut.edu.cn

d drdz z z z y y y x x x dV dxdydz r z r z r z              = = r d drdz r      0 0 1 cos sin 0 − sin cos 0 = = rdxdydz 理论推导： 5. 柱坐标系下的体积元：

高数课程妥媒血课件 理工大理>> 几何解释 请观察柱坐标系下的坐标曲面: Mx,y, z) ∠ e=常数过Z轴的半平面 r=常数以Z轴为中心轴的柱面 P(r, 0 2 z常数平行于XOY面的平面 所以在柱坐标下的体积元素是曲立方体,1 其体积为: dv= rdedrdz 2 Http://www.heut.edu.cn 2

请观察柱坐标系下的坐标曲面： =常数 过Z轴的半平面 z=常数 平行于XOY面的平面 r=常数 以Z轴为中心轴的柱面 所以在柱坐标下的体积元素是曲立方体， 其体积为： dv = rddrdz 几何解释 • M (x, y,z) P(r, ) •  r z x y z o