高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第三节换元积分法 第一换元积分法 第二换元积分法 小结 Http://www.heut.edu.cn
第二节 换元积分法 第一换元积分法 小结 第二换元积分法
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第一类换元法 问题Jcos2x:sin2x+C, 解决方法利用复合函数,设置中间变量 过程令t=2x→=t, ∫2x=m2i+c=2m2x+ Http://www.heut.edu.cn
cos2xdx= sin2x + C, 利用复合函数，设置中间变量. 令 t = 2x , 2 1 dx = dt cos2xdx tdt = cos 2 1 = sint + C 2 1 sin2 . 2 1 = x + C 问题 解决方法 过程 一、第一类换元法
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 在一般情况下: 设F'()=f(a,则f(u)d=F(u)+C 如果=p(x)(可微) dFi(x=fl(x)lo(x)de ∫f(x)p(x)d=Flo(x)+C f(udu =q(x) 由此可得换元法定理 Http://www.heut.edu.cn
在一般情况下： 设 F(u) = f (u), 则 ( ) ( ) . f u du = F u + C 如果 u = (x) （可微） dF[(x)] = f[(x)](x)dx f[(x)](x)dx = F[(x)]+ C = = ( ) [ ( ) ] u du u x f 由此可得换元法定理
高数课程妥媒血课件 理工大理>> 理设f(u)具有原函数,u=q(x)可导, 则有换元公式 SSlo(x)lo'(x)dx=[f(u)dulueptxy 第一类换元公式(凑微分法) 说明使用此公式的关键在于将 ∫8(x)化为∫q(x)p(x) 观察重点不同,所得结论不同. Http://www.heut.edu.cn
设 f (u)具有原函数， f[(x)](x)dx = = ( ) [ ( ) ] u du u x f 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 g(x)dx 化为 [ ( )] ( ) . f x x dx 观察重点不同，所得结论不同. u = (x)可导， 则有换元公式 定理1
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1求sin2xx 解(一)Jsin2xc=,Jsin2xl(2x) 2 cos 2x+c: 解(二)「sin2xx=2| sinxcos xdx 2]sin xd(sinx)(sin x)+C; 解(三)m2xx=2 in x cos xe -2]cos xd(cos x)-(cos x)+c Http://www.heut.edu.cn
例1 求 sin2 . xdx 解（一） sin2xdx = sin2 (2 ) 2 1 xd x cos 2 ; 2 1 = − x + C 解（二） sin2xdx = 2 sin xcos xdx = 2 sin xd(sin x) (sin ) ; 2 = x + C 解（三） sin2xdx = 2 sin xcos xdx = − 2 cos xd(cos x) (cos ) . 2 = − x + C
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2求 dx 3+2x 解 (3+2x), 3+2x23+2x 3+2x2J3+2x (3+2x)dx du =Inu+C=In(3+2x)+C 2 般地「f(ax+b)d f(udu x+b Http://www.heut.edu.cn
例2 求 . 3 2 1 dx x + 解 (3 2 ) , 3 2 1 2 1 3 2 1 + + = + x x x dx x 3 + 2 1 x dx x (3 2 ) 3 2 1 2 1 + + = du u = 1 2 1 = lnu + C 2 1 ln(3 2 ) . 2 1 = + x + C f (ax + b)dx = u du u=ax+b f a [ ( ) ] 1 一般地
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例3求 dx x(1+2Inx) 解 x(1+2nx) 1+2Inx d(n x d(+2In x) 2 1+2Inx u=1+2Inx Inu+C=-In(1+2Inx)+C 2 Http://www.heut.edu.cn
例3 求 . (1 2ln ) 1 dx x x + 解 dx x x (1+ 2ln ) 1 (ln ) 1 2ln 1 d x x + = (1 2ln ) 1 2ln 1 2 1 d x x + + = u = 1+ 2ln x = du u 1 2 1 = lnu + C 2 1 ln(1 2ln ) . 2 1 = + x + C
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例4求 dx (1+x)3 x+1-1 解 dx (1+x 1+x) 3 (1+x)2(1+)3(1+x) +C;+ 2(1+x)2C 1+x2(1+)2C. Http://www.heut.edu.cn
例4 求 . (1 ) 3 dx x x + 解 dx x x + 3 (1 ) dx x x + + − = 3 (1 ) 1 1 ] (1 ) (1 ) 1 (1 ) 1 [ 2 3 d x x x + + − + = 1 2 2 2(1 ) 1 1 1 C x C x + + + + + = − . 2(1 ) 1 1 1 2 C x x + + + + = −
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例5求 ax 解 d x adx 2 -arctan -+C Http://www.heut.edu.cn
例5 求 . 1 2 2 dx a x + 解 dx a x + 2 2 1 dx a a x + = 2 2 2 1 1 1 + = a x d a a x 2 1 1 1 arctan . 1 C a x a = +
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例6求 x2-8x+25 解 x2-8x+25 (x-4)2+9 dx 2 2 3 十 +1 3 3 =-arctan 3 3+C Http://www.heut.edu.cn
例6 求 . 8 25 1 2 dx x x − + 解 dx x x − 8 + 25 1 2 dx x − + = ( 4) 9 1 2 dx x + − = 1 3 4 1 3 1 2 2 − + − = 3 4 1 3 4 1 3 1 2 x d x . 3 4 arctan 3 1 C x + − =