河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 定积分的应用（6.2）体积

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 旋转体的体积 平行截面面积为已知的 立体的体积 Http://www.heut.edu.cn

第 2 节 体 积 旋转体的体积 平行截面面积为已知的 立体的体积

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内 条直线旋转一周而成的立体。这直线叫做 旋转轴 圆柱 圆锥 圆台 Http://www.heut.edu.cn

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 一、旋转体的体积

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 一般地,如果旋转体是由连续曲线y=f(x) 直线x=、x=b及x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体,体积为多少? y=∫(x) 取积分变量为x, x∈Ia b 在a,b上任取小区 b 间x,x+dx], 取以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素,=mf(x)2x b 旋转体的体积为 nff(rdx Http://www.heut.edu.cn

一般地，如果旋转体是由连续曲线y = f (x)、 直线x = a、x = b及x 轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？ 取积分变量为x ， x[a,b] 在[a,b]上任取小区 间[x, x + dx]， 取以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素，dV f x dx 2 = [ ( )] x x + dx x y o 旋转体的体积为 V f x dx b a 2 [ ( )]  =  y = f (x)

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线 x=h及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴 旋转构成一个底半径为、高为h的圆锥体,计 算圆锥体的体积 解直线OP方程为 =-X 取积分变量为,x∈[0,h 在[0,b上任取小区间x,x+d], Http://www.heut.edu.cn

y 例 1 连接坐标原点O 及点P(h,r)的直线、直线 x = h及x 轴围成一个直角三角形．将它绕 x 轴 旋转构成一个底半径为r 、高为 h 的圆锥体，计 算圆锥体的体积． 解 r h P x h r y = 取积分变量为x ， x[0,h] 在[0,h]上任取小区间[x, x + dx]， x o 直线 OP 方程为

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 以d为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄片的 体积为 T-X 圆锥体的体积 2 h h gr X πhr gt-x dx h h23 3 0 Http://www.heut.edu.cn

以dx为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄片的 体积为 x dx h r dV 2       =  圆锥体的体积x dx h r V h 2 0       =   h x h r 0 3 2 2 3        = . 3 2 hr = y r h P x o

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 2 2 2 例2求星形线x3+y3=a3(a>0)绕x轴旋转 构成旋转体的体积 2 2 解 = 2 3 ∈|-,a 旋转体的体积 3 V=n a-x3 dx= 32 T 105 Http://www.heut.edu.cn

− a a o y x 例 2 求星形线 3 2 3 2 3 2 x + y = a (a  0)绕 x 轴旋转 构成旋转体的体积. 解 , 3 2 3 2 3 2  y = a − x 3 3 2 3 2 2          y = a − x x[−a, a] 旋转体的体积 V a x dx a a 3 3 2 3 2         =  − − . 105 32 3 = a

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 类似地,如果旋转体是由连续曲线 x=q(y)、直线y=c、y=d轴所围成 的曲边梯形绕V轴旋转一周而成的立体,体积 为 d 兀|q(y)y P(y) Http://www.heut.edu.cn

类 似 地 ， 如 果 旋 转 体 是 由 连 续 曲 线 x = ( y)、直线y = c 、y = d 及y 轴所围成 的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体，体积 为 x y o x = ( y) c d y dy 2 [( )]  =  d c V

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例3求摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的 拱与y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋 转构成旋转体的体积 y(r) 解绕x轴旋转的旋转体体积 2 Ta 兀y(x 2兀 n a(1-cost)2.a(1-cost)dt 0 na o (l-3cos t +3cos2t-cos t)dt=5t2a3 Http://www.heut.edu.cn

例 3 求摆线x = a(t − sin t)，y = a(1 − cos t)的 一拱与 y = 0所围成的图形分别绕 x 轴、y 轴旋 转构成旋转体的体积. 解 绕x轴旋转的旋转体体积 V y x dx a x ( ) 2 2 0  =    =  −  − 2 0 2 2 a (1 cost) a(1 cost)dt   =  − + − 2 0 3 2 3 a (1 3cost 3cos t cos t)dt 5 . 2 3 =  a a 2a y(x)

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 绕y轴旋转的旋转体积24C-Bx=x() 可看作平面图OABC与OBC|=x()A 分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差. 2na x 2a 2 V=L Tx2(y)dy 兀x(y)d 0 πa2(t-sint)2.asin tdt 2兀 a(t-sint). asin tdt 2兀 =优 t-sint2 sin tdt=6兀3a3 Http://www.heut.edu.cn

绕y轴旋转的旋转体体积 可看作平面图OABC 与OBC 分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差. V x y dy a y ( ) 2 2 0 2  =  x y dy a ( ) 2 2 0 1  −  o y 2a x A 2a C B ( ) 2 x = x y ( ) 1 x = x y    =  −  2 2 2 a (t sin t) asin tdt   −  −  0 2 2 a (t sin t) asin tdt   =  − 2 0 3 2 a (t sin t) sin tdt 6 . 3 3 =  a

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 补充」如果旋转体是由连续曲线y=/(x) 直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形绕 y轴旋转一周而成的立体,体积为 b y=f(r) V=2T f(x)Idx 证明:根据所要证结果只需得 出以x作为积分变量时的体积 元素dV=(?)dx a xx+dxb 使用元素法可知: d≈△≈z(x+dx)2-x2lf(x) =2n f(x)xdx +r f(x(dx)- Http://www.heut.edu.cn

如果旋转体是由连续曲线 y = f ( x)、 直线x = a、x = b及x轴所围成的曲边梯形绕 y轴旋转一周而成的立体，体积为 V x f x dx b a y 2 | ( ) |  =  证明：根据所要证结果只需得 出以x作为积分变量时的体积 元素dV=(?)dx 使用元素法可知： [( ) ] ( ) 2 2 dV  V   x + dx − x f x 2 = 2 f (x)xdx + f (x)(dx) 补充 o a b y = f (x) x x+dx x y