高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第六节定积分的近1 间题的提出 矩形法 ◎梯形法 ◎抛物线法 Http://www.heut.edu.cn
第六节 定积分的近似计算 问题的提出 矩形法 梯形法 抛物线法
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 、同题的提出 计算定积分的方法: e求原函数; e利用牛顿一莱布尼茨公式得结果 问题: e被积函数的原函数不能用初等函数表示; e被积函数难于用公式表示,而是用图形或表 格给出的; 被积函数虽然能用公式表示,但计算其原 函数很困难 Http://www.heut.edu.cn
计算定积分的方法： 求原函数； 利用牛顿－莱布尼茨公式得结果． 问题： 被积函数的原函数不能用初等函数表示； 被积函数难于用公式表示，而是用图形或表 格给出的； 被积函数虽然能用公式表示，但计算其原 函数很困难． 一、问题的提出
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 解决办法: 建立定积分的近似计算方 法 思路: b ∫(x)ax(f(x)≥0)在数值上表示曲边梯形 的面积,只要近似地相应的曲边梯形的 面积,就得到所给定积的近似值 带 用方法:矩形法、梯形法、抛物线法 Http://www.heut.edu.cn
建立定积分的近似计算方 法． 矩形法、梯形法、抛物线法． 面积，就得到所给定积分的近似值． 的面积，只要近似地算出相应的曲边梯形的 f (x)dx ( f (x) 0) 在数值上表示曲边梯形 b a 解决办法： 常用方法： 思路：
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、矩形法 用分点a=x,x1,…,xn=b将区间a,bn等分, 取小区间左端点的函数值y;(i=0,1,…,n)作为 窄矩形的高,如图 则有 y=∫(x) b f(x)≈∑ J-1△ i=1 Vo y, b-a ∑ n Http://www.heut.edu.cn
窄矩形的高，如图 取小区间左端点的函数值 作为 用分点 将区间 等分， ( 0,1, , ) , , , [ , ] 0 1 y i n a x x x b a b n i n = = = o x y y = f (x) a = x0 1 x xn−1 x b n = 0 y 1 y n−1 y n y (1) ( ) 1 1 1 1 = − = − − = n i i n i i b a y n b a f x dx y x 则有 二、矩形法
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 取右端点的函数值y;(i=1,2,,n)作为窄矩形 的高,如图 则有 y=f(x b f(x)x≈∑y△ b-a ∑ Vo: yI n (=d n sb r (1)(2)称为矩形法公式 Http://www.heut.edu.cn
的高，如图 取右端点的函数值 yi (i = 1,2,,n)作为窄矩形 (2) ( ) 1 1 = = − = n i i n i i b a y n b a f x dx y x (1)、(2) 称为矩形法公式．o x y y = f (x) a = x0 1 x xn−1 x b n = 0 y 1 y n−1 y n y 则有
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 梯形法 y=∫(x) 梯形法就是在每个小 区间上,以窄梯形的 面积近似代替窄曲边 梯形的面积,如图 f(x)≈(y0+y1)Ax+(y1+y2)△x (yn-1+yn)△x 2 b-a (y0+yn)+y1+y2 (3) 2 Http://www.heut.edu.cn
梯形法就是在每个小 区间上，以窄梯形的 面积近似代替窄曲边 梯形的面积，如图 o x y y = f (x) a = x0 1 x xn−1 x b n = 1 y n−1 y n y 0 y ( ) ] (3) 2 1 [ ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 0 1 2 1 1 0 1 1 2 − − + + + + + − = + + + + + + n n n n b a y y y y y n b a y y x f x dx y y x y y x 三、梯形法
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1用矩形法和梯形法计算积分[ex 的近似值 解把区间十等分设分点为x,(i=0,1,…,10) 相应的函数值为y2=e(i=0,…,10)列表: i 0 2 3 5 0.10.20.3 040.5 1000000990050.96079091393085214077880 Http://www.heut.edu.cn
例１ 的近似值． 用矩形法和梯形法计算积分 − 1 0 2 e dx x 解 , , 把区间十等分设分点为xi 相应的函数值为 ( 0,1, ,10) 2 yi = e − xi i = (i = 0,1, ,10) i i x i y 0 1 2 3 4 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1.00000 0.99005 0.96079 0.91393 0.85214 0.77880 列表:
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 8 9 10 x;0.6 0.7 0.8 0.9 y|0.697680.612630527290.44848036788 利用矩形法公式(1),得 1-0 eb≈(y+y1+…+y) =0.77782 10 利用矩形法公式(2),得 1-0 e≈(y1+y2+…+y10) 0.71461。 0 10 Http://www.heut.edu.cn
i i x i y 6 7 8 9 10 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.69768 0.61263 0.52729 0.44486 0.36788 10 1 0 ( ) 0 1 9 1 0 2 − + + + − e dx y y y x = 0.77782. 10 1 0 ( ) 1 2 10 1 0 2 − + + + − e dx y y y x = 0.71461. 利用矩形法公式（１），得 利用矩形法公式（２），得
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 利用梯形法公式(3),得 1-0.1 e-dx≈ 10。(y0+)+y1+y2…+1) 实际上是前面两值的平均值, ed≈(0.77782+0.71461) 2 =0.74621. Http://www.heut.edu.cn
( ) ) 2 1 [ 10 1 0 0 10 1 2 9 1 0 2 e dx y y y y y x + + + + − − 实际上是前面两值的平均值， (0.77782 0.71461) 2 1 1 0 2 + − e dx x = 0.74621. 利用梯形法公式（３），得
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 四、抛物线法 抛物线法是将曲线分为许多小段,用对称轴平 行于y轴的二次抛物线上的一段弧来近似代替 原来的曲线弧,从而得到定积分的近似值 用分点a=x0,x1,…,xn=b 把区间分成n(偶数)等分 这些分点对应曲线上的点为 n M1(x;,y1)(y1=f(x) i=0,1,2,…Hn) 体xn=b Http://www.heut.edu.cn
原来的曲线弧，从而得到定积分的近似值． 行于 轴的二次抛物线上的一段弧来近似代替 抛物线法是将曲线分为许多小段，用对称轴平 y ( 0,1,2, ) ( , ) ( ( )). , , , 0 1 i n M x y y f x n a x x x b i i i i i n = = = = 这些分点对应曲线上的点为 把区间分成 （偶数）等分， 用分点 o x y y = f (x) a = x0 1 x n−1 x x b n = 1 y n−1 y n y 0 y 2 y 四、抛物线法