高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第四节定积分的法 ●换元公式 小结 Http://www.heut.edu.cn
第四节 定积分的换元法 换元公式 小结
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 换元公式 由上一讲结果知道,详算定积分。∫(x)的简便方法 是把它转化为求f(x)原函数的增量。在上章中,我们 知道用换元公式法可味出一些函数的原函数 因此,在一定条件下,可以用换元法来计算烟分,为 了说明如何用换元法来算定积分,先证明面 个定理。即换元公式 Http://www.heut.edu.cn
b a 由上一讲结果知道，计算定积分 f (x)dx的简便方法 是把它转化为求f (x)的原函数的增量。在上一章中，我们 知道用换元公式法可以求出一些函数的原函数. 因此，在一定条件下，可以用换元法来计算定积分，为 了说明如何用换元法来计算定积分，先证明下面 一个定理。即换元公式 一、换元公式
高数课程妥媒血课件 理工大理>> 丫假设 (1)f(x)在[a,b上连续; (2)函数x=q(t)在a,上是单值的且有连续 导数; (3)当在区间[a,6上变化时,x=(t)的值 在[a,b上变化,且q(a)=a、q(B)=b, 则有换元公式 f(xxx= flo(t)lo(t)dt Http://www.heut.edu.cn
假设 （1） f (x)在[a,b]上连续； （2）函数x = (t)在[, ]上是单值的且有连续 导数； （3） 当t 在区间[, ]上变化时，x = (t) 的 值 在[a,b]上变化，且() = a、( ) = b， f x dx f t t dt b a = ( ) [( )] ( ) . 则有换元公式 定理
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 证设F(x)是∫(x)的一个原函数, Cf(xx=F(b)-F(a), ①()=Fp(), df dx d() dx dt/(xo(t)=folo(e), Φ()是∫|q()p()的一个原函数 rflo(olo( dt=a(B)-QD(a), Http://www.heut.edu.cn
证 设F(x)是 f (x)的一个原函数， f (x)dx F(b) F(a), b a = − (t) = F[(t)], dt dx dx dF (t) = = f (x)(t)= f[(t)](t), [( )]( ) = () − (), f t t dt (t)是 f[(t)](t)的一个原函数
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> q(a)=a、q(B)=b, qp(B)-qp(a)=FIP(B)]- Flp(a)l F(b)-F(a), b f(x)x= F(b-F(a=q(B)-q(a) B ∫|φ(t)lp(tlt a 注 意 当a>B时,换元公式仍成立 tt p : // h
() = a、( ) = b, ( ) − ( ) = F[( )] − F[()] = F ( b ) − F ( a), f (x)dx F(b) F(a) ba = − = ( ) − () f [ (t)] (t)dt. = 当 时，换元公式仍成立. 注意
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 应用换元公式时应注意 ①用x=y()把变量x换成新变量t 时,积分限也相应的改变 2求出∫(()l()的一个原函数o(t) 后,不必象计算不定积分那样再要 把Φ()变换成原变量x的函数,而只 要把新变量t的上、下限分别代入 ①()然后相减就行了 Http://www.heut.edu.cn
应用换元公式时应注意: 求出 f [(t)](t)的一个原函数(t) 后，不必象计算不定积分那样再要 把(t)变换成原变量x的函数，而只 要把新变量t的上、下限分别代入 (t)然后相减就行了. 用 x = (t) 把变量x 换成新变量t 时，积分限也相应的改变. 1 2
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1计算[2cos5 xsin xdx. 解令t=cosx,tt=- sin xdx, x=→t=0,x=0→t=1, 2 cosxsin xdx et=6-6 6 Http://www.heut.edu.cn
计算 cos sin . 2 0 5 x xdx 解 令 t = cos x, 2 x = t = 0, x = 0 t = 1, 2 0 5 cos x sin xdx = − 0 1 5 t dt 1 0 6 6 t = . 6 1 = dt = −sin xdx, 例1
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2计算 5 sIne-sin d dx 解∵∫(x)=vsin3x- sinx=cosx(sinx)2 sin'x-sinxdx= cos xlsinx )2dx T cosxIsinx )2dx cos rising )2dx 0 [2(sinx i d sinx-[r(sinx idsinx 0 sin x)2-(sin x)2 5 Http://www.heut.edu.cn
计算 解 sin sin . 0 3 5 x − xdx f x x x 3 5 ( ) = sin − sin ( )2 3 = cos x sin x − 0 3 5 sin x sin xdx ( ) = 0 2 3 cos x sin x dx ( ) = 2 0 2 3 cos x sin x dx ( ) − 2 2 3 cos x sin x dx ( ) = 2 0 2 3 sin x d sin x ( ) − 2 2 3 sin x d sin x ( ) 2 0 2 5 sin 5 2 = x ( ) − 2 2 5 sin 5 2 x . 5 4 = 例2
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例3计算 x√nx(1-lnx) 解原式= d(ln x) √Inx(1-Inx) 3 d(In x) dinx n nx 71-(Inx arcsin(vIn x)lee Http://www.heut.edu.cn
计算 解 . ln (1 ln ) 4 3 − e e x x x dx 原式 − = 4 3 ln (1 ln ) e (ln ) e x x d x − = 4 3 ln (1 ln ) e (ln ) e x x d x − = 4 3 2 1 ( ln ) ln 2 e e x d x 4 3 2 arcsin( ln ) e e = x . 6 = 例3
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例4计算 dx.(a>0) x+√a--x 解令x= asin,dx= a cos t x=a→t x=0→t=0 原式 a cos t asin+va (1-sin*t) cos t cost-sin t dt lt 0 sin t+ cos t 2J0 sint+cos t T +-In sint + cos Http://www.heut.edu.cn
计算 解 + − a dx a x a x 0 2 2 . ( 0) 1 令 x = asint, x = a , 2 t = x = 0 t = 0, dx = acostdt, 原式 + − = 2 0 2 2 sin (1 sin ) cos dt a t a t a t + = 2 0 sin cos cos dt t t t + − = + 2 0 sin cos cos sin 1 2 1 dt t t t t 2 0 lnsin cos 2 1 2 2 1 + + = t t . 4 = 例4