高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第二节 值定理 ⊙基本内容 小结 Http://www.heut.edu.cn
第二节 定积分的性质和定积分中值定理 基本内容 小结
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 基本内容 对定积分的补充规定: b (1)当a=b时,f(x)dx=0; b (2)当a>b时,Jf(x)dx=-,f(x)h 说明 在下面的性质中,假定定积分都存在,且 不考虑积分上下限的大小 Http://www.heut.edu.cn
对定积分的补充规定: （1）当a = b时， ( ) = 0 b a f x dx ； （2）当a b时， = − a b b a f (x)dx f (x)dx. 在下面的性质中，假定定积分都存在，且 不考虑积分上下限的大小． 说明 一、基 本 内 容
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 质函数和(差)的定积分等于它们 的定积分的和(差),即 广1f(x)±g(x)d=f(x)d士ng(x)d 证 ∫(x)±g(x)]dx =lim∑f(4)±g()Ax im∑f(5)x±Iim∑(5)x A0i=1 f/(x)cx+lg(x)co (此性质可以推广到有限多个函数作和的情况) Http://www.heut.edu.cn
证 b a [ f (x) g(x)]dx i i i n i = f g x = → lim [ ( ) ( )] 1 0 i i n i = f x = → lim ( ) 1 0 i i n i g x = → lim ( ) 1 0 = b a f (x)dx ( ) . b a g x dx b a [ f (x) g(x)]dx= b a f (x)dx b a g(x)dx . 函数和（差）的定积分等于它们 的定积分的和（差），即 性质1 （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 被积函数的常数因子可以提到积 分外面号,即 f(x)d=k门(x)d.为常数 证(x)k=mim∑(5)△x =Iim∑f(5)Ax=kim∑f(4)Ax i=1 kf(xdx Http://www.heut.edu.cn
= b a b a kf (x)dx k f (x)dx (k 为常数). 证 b a kf (x)dx i i n i = kf x = → lim ( ) 1 0 i i n i = k f x = → lim ( ) 1 0 i i n i = k f x = → lim ( ) 1 0 ( ) . = b a k f x dx 性质2 被积函数的常数因子可以提到积 分外面号，即
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 如果将积分区间分成部分, 则在蓬个区间上的定秘等于 这两部分区间上定积之之 Http://www.heut.edu.cn
则在整个区间上的定积分等于 如果将积分区间分成两部分， 这两部分区间上定积分之和。 性质3
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 假设a<c<b b b f(x dx=f(x)dx+f(x)dx 补充:不论a,b,C的相对位置如何,上式总成立 例若a<b<c, f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx 则/(x)=/(x)d-/(x)h b If()dx+ f(x)dx (定积分对于积分区间具有可加性) Http://www.heut.edu.cn
b a f (x)dx = + b c c a f (x)dx f (x)dx. 补充：不论 a,b,c 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 a b c, c a f (x)dx = + c b b a f (x)dx f (x)dx b a f (x)dx = − c b c a f (x)dx f (x)dx ( ) ( ) . = + b c c a f x dx f x dx 则 假设a c b （定积分对于积分区间具有可加性）
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 如果在区间ab上f(x)=1则 b b 1·dc=dx=b-a 质司如果在区间a,b1上f(x)≥0, b 则f(x)x≥0.(a<b 证∫(x)≥0,∴∫(号)≥0,(=1,2,…n) Ax≥0,∴∑∫(ξ)r≥0, =max{△x1,△x2,…,△xn (5)△=/(x)≥0 Http://www.heut.edu.cn
dx b a 1 dx b a = = b − a. 则 ( ) 0 f x dx b a . (a b) 证 f (x) 0, ( ) 0, i f (i = 1,2, ,n) 0, xi ( ) 0, 1 = i i n i f x max{ , , , } = x1 x2 xn i i n i f x = → lim ( ) 1 0 ( ) 0. = b a f x dx 如果在区间[a,b]上 f (x) 0， 性质4 如果在区间[a,b]上f (x) 1 则 性质5
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1比较积分值门c和x的大小 解令f(x)=e^-x,x∈[-2,01 f(x)>0, (e-x)dx>0, 0 e"dx >xd 2 于是「e<xh Http://www.heut.edu.cn
比较积分值 e dx x −2 0 和 xdx −2 0 的大小. 解 令 f (x) e x, x = − x[−2, 0] f (x) 0, ( ) 0, 0 2 − − e x dx x e dx x − 0 2 , 0 2 xdx − 于是 e dx x −2 0 . 2 0 xdx − 例1
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 性质5的推论: ①如果在区间a,6上f(x)≤g(x), b b 则f(x)d g(r)dx.(a<b 证 f(x)≤g(x),∴g(x)-f(x)≥0, b Ig(x)-f(x)x≥0, b b g(x)x-f(x)dx≥0 于是f(x)dxsg(x)t tt p : // h
性质5的推论： 证 f (x) g(x), g(x) − f (x) 0, [ ( ) − ( )] 0, g x f x dx b a ( ) − ( ) 0, b a b a g x dx f x dx 于是 f x dx b a ( ) g x dx b a ( ) . 则 f x dx b a ( ) g x dx b a ( ) . (a b) 1 如果在区间[a,b]上 f (x) g(x)
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> b 2) Jof(( 'f()dx.(a< b) 证-f(x)≤f(x)≤f(x), Cf(x)dsf(x)dx sif(xk f(x]xsf(x)dx 说明:∫(x)在区间[4,b上的可积性是显然的 Http://www.heut.edu.cn
f x dx b a ( ) f x dx b a ( ) . (a b) 证 − f (x) f (x) f (x), f (x)dx f (x)dx f (x)dx, b a b a b a − 即 f x dx b a ( ) f x dx b a ( ) . 说明： | f (x)|在区间[a,b]上的 可积性是显然的. 2