高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> ●问题的提出 微分的定义 可微的杀件 微分的几何意义 微分的求法 ●微分形式的不变性 小结 Http://www.heut.edu.cn
第七节 函数的微分 问题的提出 微分的定义 可微的条件 微分的几何意义 微分的求法 微分形式的不变性 小结
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 问题的提出 实例正方形金属簖片受熟后面积的改变量 设边长由x变到x+△x, △r 正方形面积A=xn2 x「 △4=(x0+△x)2-x0 2 2 A 2x0·△x+(△x) 2 (2) (1):△x的线性函数且为△4的主要部分 (2):△x的高阶无穷小当△x很小时可忽略 Http://www.heut.edu.cn
2 0 A = x 0 x 0 x , 0 0 设边长由x 变到x + x , 2 0 正方形面积A= x 2 0 2 0 A= (x + x) − x 2 ( ) . 2 0 = x x + x (1) (2) x的线性函数,且为A的主要部分; x的高阶无穷小,当x很小时可忽略. (1): (2): x x 2 (x) x x 0 x x 0 实例 正方形金属薄片受热后面积的改变量. 一、问题的提出
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 再例如,设函数y=x在点x处的改变量 为Δx时,求函数的改变量△ 4y=(x0+△x)3-xa =3x2△x+3xn(△x)2+(△)3 (2) 当△x很小时,(2)是△x的高阶无穷小o(△x), △p≈3x2·△x.既容易计算又是较好的近似值 问题这个线性函数(改变量的主要部分是否所 有函数的改变量都有?它是什么?如何求? Http://www.heut.edu.cn
再例如, , . 0 3 x y y x x = 为 时 求函数的改变量 设函数 在 点 处的改变量 3 0 3 0 y = (x + x) − x 3 3 ( ) ( ) . 2 3 0 2 0 = x x + x x + x (1) (2) 当x很小时, 3 . 2 0 y x x (2)是x的高阶无穷小o(x), 既容易计算又是较好的近似值 这个线性函数(改变量的主要部分)是否所 有函数的改变量都有?它是什么?如何求? 问题:
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、微分的定义 当设函数y=f(x)在某区间内有定义 x及x+Ax在这区间内,如果 △y=f(xo+△x)-f(x0)=A·△x+O(△x) 成立(其中A是与Ax无关的常数,则称函数 y=f(x)在点x可微,并且称A△x为函数 y=f(x)在点x相应于自变量增量∧x的微分, 记作如x。或d(x),即dx=x=A△x 微分小叫做函数增量A的线性主部微分的实质) Http://www.heut.edu.cn
( ), . ( ) , ( ) , ( ), ( ) ( ) ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 dy df x dy A x y f x x x y f x x A x A x y f x x f x A x o x x x x y f x x x x x = = = = + − = + + = 记 作 = 或 即 = 在 点 相应于自变量增量 的微分 在 点 可 微 并且称 为函数 成 立 其 中 是 与 无关的常数 则称函数 及 在这区间内 如 果 设函数 在某区间内有定义 微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质) 定义 二、微分的定义
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 由定义知 (1)是自变量的改变量△x的线性函数; (2)y-dy=o(△x)是比Ax高阶无穷少 (3)当4≠0时,d与4是等价无穷小 △ =1+ 0(△x) A.△x→>1(x→0 (4)A是与△无关的常数,但与f(x)和x有关; (5)当A很小时≈(线性主部 Http://www.heut.edu.cn
(1) dy是自变量的改变量x的线性函数; (2) y − d y= o(x)是 比x高阶无穷小; (3)当A 0时,d y与y是等价无穷小; dy y A x o x = + ( ) 1 → 1 (x → 0). (4) , ( ) ; A是与x无关的常数 但与f x 和x0有关 (5)当x很小时,y dy (线性主部). 由定义知:
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 三、可微的条件 定理函数f(x)在点x可微的充要条件是函 数f(x)在点x处可导,且A=f(x0) 证(1)必要性∵f(x)在点x可微, ∴Δy=A·△x+0(△x) AryO(△x) △y 则lim马=A+lim 0(△x) A △x→0△ △x→>0△x 即函数f(x)在点x可导,且A=f(x0 Http://www.heut.edu.cn
( ) , ( ). ( ) 0 0 0 f x x A f x f x x 数 在 点 处可导 且 = 函 数 在 点 可微的充要条件是函 证 (1) 必要性 ( ) , f x 在点x0可微 y = A x + o(x), , ( ) x o x A x y = + x o x A x y x x = + → → ( ) lim lim 0 0 则 = A. ( ) , ( ). 0 0 即函数 f x 在点 x 可导 且A = f x 定理 三、可微的条件
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> (2)充分性∵函数f(x)在点x可导, △ ∴Im f"(x0),即 △ △x→0△r ∫(x0)+α △x 从而△=f(x0)△x+α(△x):a→>0(△x>0) f(x0)·△x+o(△x) 函数f(x)在点x可微,且f(xn)=A 可导可微.A=f(x0) 函数y=f(x)在任意点x的微分,称为函数的 微分,记作小或f(x),即=f(x)△x Http://www.heut.edu.cn
(2) 充分性 ( ) ( ), 0 从 而y = f x x + x ( ) , = 0 + f x x y 即 ( ) , 函数f x 在点x0可导 lim ( ), 0 0 f x x y x = → → 0 (x → 0), ( ) ( ), 0 = f x x + o x ( ) , ( ) . 函数 f x 在点 x0可微 且 f x0 = A . ( ). 0 可导 可微 A = f x , ( ), ( ) . ( ) , dy df x dy f x x y f x x = = 微 分 记 作 或 即 函 数 在任意点 的微分 称为函数的
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1求函数y=x3当x=2,△x=0.02时的微分 解∵=(x3)△x=3x2△x ∴dyx2=3x2△xx =0.24 △x=0.02 △x=0.02 通常把自变量x的增量△x称为自变量的微分 记作x,即dx=△x 小=f(x)d =∫f'(x) dx 即函数的微分小与自变量的微分d之商等于 该函数的导数.导数也叫"微商 Http://www.heut.edu.cn
例 1 解 2, 0.02 . 求函数 y = x3 当 x = x = 时的微分 d y = ( x )x 3 3 . 2 = x x0.0 2 2 2 0.0 2 2 3 == = = = xx xx d y x x = 0.24. , . , dx dx x x x = 记 作 即 通常把自变量 的增量 称为自变量的微分 dy = f ( x)dx . f ( x). d x d y = 该函数的导数. 导数也叫"微商". 即函数的微分d y与自变量的微分d x之商等于
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 微分的几何意义 几何意义如图 当△y是曲线的纵 o(△x) 坐标增量时,d y=f(x) △x 就是切线纵坐标 对应的增量 o+△x 当△x很小时,在点M的附近, 切线段MP可近似代替曲线段MN Http://www.heut.edu.cn
y = f (x) 0 x M N T dy y o(x) ） x y o x . , 对应的增量 就是切线纵坐标 坐标增量时 当 是曲线的纵 d y y x + x 0 P . , , MP MN x M 切线段 可近似代替曲线段 当 很小时 在 点 的附近 几何意义 如图 四、微分的几何意义
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 五、微分的求法 小y=f'(x)bx 求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分 1.基本初等函数的微分公式 d(C)=0 d(x)=ux de d(sin x)=cos xdx d(cos x)=-sin xd d(tan x)=sec xd d(cot x)=-csc xdx d (sec x)=sec x tan xd d(csc x)=-csc x cot xd Http://www.heut.edu.cn
dy = f (x)dx 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. d x x xdx d x x xdx d x xdx d x xdx d x xdx d x xdx d C d x x dx (sec ) sec tan (csc ) csc cot (tan ) sec (cot ) csc (sin ) cos (cos ) sin ( ) 0 ( ) 2 2 1 = = − = = − = = − = = − 求法: 1.基本初等函数的微分公式 五、微分的求法
