高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第三节”分部积分法 基本内容 小结 Http://www.heut.edu.cn
第三节 分部积分法 基本内容 小结
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 、基本内容 问题xex= 解决思路利用两个函数乘积的求导法则 设函数=(x)和v=v(x)具有连续导数, (uv)=u'v+uv, uv=uv)-u'v uvtx=u-awhx,「aby=y-「wl 分部积分公式 Http://www.heut.edu.cn
xe dx = ? x 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u = u(x)和v = v(x)具有连续导数, (uv) = uv + uv , uv (uv) − uv, = uv dx uv u vdx, = − udv uv vdu. = − 问题 解决思路 分部积分公式 一、基本内容
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 部积分法适用于以下几种类型 ①「P(x) sin xd或「P(x) cos xdx (xe dx ③3)」9(x) mn xdx ④∫(x) arcsin xo或(x)acnt ∫ e sin bxdx或∫e" cos bxdx Http://www.heut.edu.cn
1、分部积分法适用于以下几种类型： 1 P(x)sin xdx 或 P(x) cos xdx P x e dx x 2 ( ) Q(x)ln xdx 3 Q(x) arcsin xdx 或 Q(x) arctan dx 4 e bxdx e bxdx a x a x 5 sin 或 cos
高数课程妥媒血课件 理工大理>> 以及一些特殊类型如 「exk∫ rc arcsin 其中P(x),Q(x)均为的多项式 2、应用分部积分法计算不定积分的 学四个步骤 ①选择与b把被积函数中的一部媚成,另一部分 视为(或另一部分与的乘积)使待积式 f(x)d转化为u(x)h(x) Http://www.heut.edu.cn
以及一些特殊类型如 其中P(x),Q(x)均为x的多项式 视 为dv（或另一部分与dx的乘积）使待积式 f (x)dx 转化为 u(x)dv(x) − dx x x x xdx 2 3 1 arcsin 6 sec 2、应用分部积分法计算不定积分的 过程可分为四个步骤： 1 选择u与dv,把被积函数中的一部分看成u,另一部分
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 7?代公式即M(x=()()Jx)x 8求微分m=tlx 9计算积分把v积分出来 指导思想 分部积分法的作用是除难点,变较难的函数 v积分为较易的函数u的积分,因此此法的 关键在于如何分配和如 选强和dv的一般原 ①先选择使之求得v(这实际上也是一个积 过程因此选取h可用凑微分法,这样便求 Http://www.heut.edu.cn
分部积分法的作用是解除难点，变较难的函数 uv积分为较易的函数vu的积分，因此此法的 关键在于如何分配u和dv 因此选取dv可用凑微分法，这样便于求v) 7 代公式 即 u(x)dv(x) = u(x)v(x) − v(x)du(x) 8 求微分 du = u dx 9 计算积分 把 vu dx积分出来 指导思想 过 程. 1 先选择dv使之求得v（这实际上也是一个积分 3、选择u和dv的一般原则
高数课程妥媒血课件 理工大理>> Q要使∫vM比原来的不定积分o容易计算 4、由于在实际应用中,将被积表达式f(x)d 效的式一般不是5 ∫w∫dh:容易计算’开始试探时含有相当 主观愿望和经验的成分,并不定可靠,弄得不 好,还有可能越转化趋难,因此,往往要删过一个 建立在经验、视察、俳基础上的试探性的選 过程,有了把握后,再式确定/与dhv的选择并 进行计算。 Http://www.heut.edu.cn
vdu比 udv‘容易计算’，开始试探时含有相当的‘ 主观愿望’和经验的成分，并不一定可靠，弄得不 好，还有可能越转化越困难，因此，往往要通过一个 建立在经验、视察、估计基础上的试探性的选择 进行计算。 过程，有了把握后，再正式确定u与dv的选择并 2 要 使 vdu比原来的不定积分 udv容易计算 4、由于在实际应用中，将被积表达式 转化为Udv的方式一般不是唯一的。 f (x)dx
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 如何选捅与ν并无一定之规,要具题具体分析 并注意积累经验,而賄时往往多种选择方笨都能 得到最终结果,在这穑精青况下,就自然应争联选择较 简单,明快的方案,媊选捅u与的问题还是 有规律可循的,为了佣记忆,有人把它简称 LIATE法。其中 L-对数函数 -反三角函数 A-代数函数 T-三角函数 E-指数函数 Http://www.heut.edu.cn
如何选择u与dv并无一定之规，要具体问题具体分析 并注意积累经验，而且有时往往多种选择方案都 能 得到最终结果，在这种情况下，就自然应争取选择较 有规律可循的，为了便于记忆，有人把它简称为 简单，明快的方案，如何选择u与dv的问题还是 LIATE 法。其中L − 对数函数 I −反三角函数 A− 代数函数 T − 三角函数 E −指数函数
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> LIATE 选择法的意思是说,我所要计算的 积分中当被积函数是压述五种中任何两 种乘积时,可以选择知现在 LIATE 中的那种函数为剩下的作为′ Http://www.heut.edu.cn
选择法的意思是说，我们所要计算的 积分中当被积函数是上述五种中任何两 种乘积时，可以选择先出现在 LIATE 中的那种函数为u剩下的作为v LIATE
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1求积分[ r cosx xc0sxts+,th、1 解(一)令u=cos 2 2 cOSx+ sIn ra 2 2 显然,L,v选择不当,积分更难进行 解(二)令u=x,cosx= d sinx=hv xcos xdx=lxdsinx=xsinx-sinxdx xsinx+cosx +C Http://www.heut.edu.cn
求积分 cos . x xdx 解（一） 令 u = cos x, xdx = dx = dv 2 2 1 xcos xdx = + xdx x x x sin 2 cos 2 2 2 显然， u,v 选择不当，积分更难进行. 解（二） 令 u = x, cos xdx = d sin x = dv xcos xdx = xd sin x = xsin x − sin xdx = xsin x + cos x +C. 例1
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2求积分「x2ed 解 u= e xdedxsxdet2l xe dx (再次使用分部积分法)u=x,edx=lv =xe-2(ce-e)+C 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函 数为,使其降幂一次(假定幂指数是正整数) Http://www.heut.edu.cn
求积分 . 2 x e dx x 解 , 2 u = x e dx de dv, x x = = x e dx 2 x = x e − xe dx x x 2 2 2( ) . 2 x e xe e C x x x = − − + （再次使用分部积分法） u = x, e dx dv x = 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 u , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数) 例2 结论