高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 在直角坐标下计算二重积分 ●在极坐标下计算二重积分 Http://www.heut.edu.cn
第二节 二重积分的计算法 在直角坐标下计算二重积分 在极坐标下计算二重积分
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 利用直角坐标系计算二重积分 如果积分区域为:a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x) X一型] y=p2(x) q2(x) D y=p,(r) y=o,(x) 其中函数q1(x)、g2(x)在区间|a,b上连续 Http://www.heut.edu.cn
如果积分区域为： a x b, ( ) ( ). 1 x y 2 x 其中函数 ( ) 、 在区间 上连续. 1 x ( ) 2 x [a,b] ［X－型］ ( ) 2 y = x a b D ( ) 1 y = x D a b ( ) 2 y = x ( ) 1 y = x 一、利用直角坐标系计算二重积分
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> f(x,y)do的值等于以D为底,以曲面z ∫(x,y)为曲顶柱体的体积 z=f(r,y) 应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法, A(xo) y=02(x) d 得』 b 2(x) y=92(x) f(,ydo=dx f(x, y)dj q1(x) Http://www.heut.edu.cn
为曲顶柱体的体积． 的值等于以 为底，以曲面 ( , ) ( , ) f x y f x y d D z D = 应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法, a 0 x b z y x ( )0 A x z = f (x, y) ( ) 1 y = x ( ) 2 y = x ( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1 = D b a x x f x y d dx f x y dy 得
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 如果积分区域为:c≤y≤d,q1(y)sx≤卯2(y Y一型] q1(p) x=p(y) D D x=p2(y) x=2(y) 2(y) f(,y)do= dy f(, y)dx. q1(y) Http://www.heut.edu.cn
( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1 = D d c y y f x y d dy f x y dx 如果积分区域为： c y d, ( ) ( ). 1 2 y x y ［Y－型］ ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y D c d c d ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y D
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> X型区域的特点 穿过区域且平行于y轴的 直线与区域边界相交不多于两个交点 Y型区域的特点:穿过区域且平行于x轴的 直线与区域边界相交不多于两个交点 若区域如图,则必须分割 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式 十 D2 D Http://www.heut.edu.cn
若区域如图， D3 D2 在分割后的三个区域上分别 D1 使用积分公式 . 1 2 3 = + + D D D D 则必须分割. 穿过区域且平行于y轴的 直线与区域边界相交不多于两个交点. X型区域的特点： 穿过区域且平行于x轴的 直线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点： x
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1改变积分f(x,y)小的次序 0 解积分区域如图 0L20,40.60,81 原式=[f(x,y)dh 0 Http://www.heut.edu.cn
y = 1− x 例 1 改变积分 − x dx f x y dy 1 0 1 0 ( , ) 的次序. 原式 − = y dy f x y dx 1 0 1 0 ( , ) . 解 积分区域如图
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2改变积分 X-x dx f(x,y)+xf(x,y)的次序 解积分区域如图 =√2x+x 2 原式=y f(x, y)dx 0 y Http://www.heut.edu.cn
y = 2 − x 2 y = 2x − x 例 2 改变积分 − − + x x x dx f x y dy dx f x y dy 2 0 2 1 2 0 1 0 ( , ) ( , ) 2 的次序. 原式 − − − = 1 0 2 1 1 2 ( , ) y y dy f x y dx. 解 积分区域如图
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例3改变积分d=f(x,y)(a>0) 的次序 解 y=√2ax y=√2 2 x-x→x=a土y a-y 2a 原式 f(x, y)dx 2a 2a 2a +[ 3f(x,y)d+吵yf(x,y) +√a-y 2 Http://www.heut.edu.cn
例 3 改变积分 ( , ) ( 0) 2 0 2 2 2 − dx f x y dy a a a x a x x 的次序. y = 2ax 解 = a a− a − y a y dy f x y dx 0 2 2 2 原式 2 ( , ) + − + a a a a y dy f x y dx 0 2 2 2 ( , ) ( , ) . 2 2 2 2 + a a a a dy y f x y dx 2 y = 2ax − x 2 2 x = a a − y a 2a 2a a
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例4求(x2+y)d,其中D是由抛物线 D y=x2和x=y2所围平面闭区域 解两曲线的交点 2 →(0,0),(1,1) 0.40.60.8 ∫x2+y)h=上d2(x2+) 33 x2(x-x2)+(x-x)d 2 140 Http://www.heut.edu.cn
例 4 求 + D (x y)dxdy 2 ，其中D 是由抛物线 2 y = x 和 2 x = y 所围平面闭区域. 解 两曲线的交点(0,0) , (1,1), 2 2 = = x y y x + D (x y)dxdy 2 = + 1 0 2 2 ( ) x x dx x y dy x x x (x x )]dx 2 1 [ ( ) 2 4 1 0 2 = − + − . 140 33 = 2 y = x 2 x = y 2 y = x 2 x = y
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例5求x2e-d,其中D是以0.0)(1,) D (0,1)为顶点的三角形 解」e无法用初等函数表示 积分时必须考虑次序 0.40.60.81 0 2 e 0 3 6 Http://www.heut.edu.cn
例5 求 − D y x e dxdy 2 2 ，其中 D 是以(0,0),(1,1), (0,1)为顶点的三角形. − e dy y 2 解 无法用初等函数表示 积分时必须考虑次序 − D y x e dxdy 2 2 − = y y dy x e dx 0 2 1 0 2 dy y e y = − 1 0 3 3 2 2 1 0 2 6 2 dy y e y = − ). 2 (1 6 1 e = −