高数课程妥媒血课件 理工大理>> 第三节级数 ●函数项级数的一般概念 ◎冪级数及其收敛性 幂级数的运算 常用已知和函数的票级数 结 Http://www.heut.edu.cn
第三节 幂级数 函数项级数的一般概念 常用已知和函数的幂级数 幂级数及其收敛性 幂级数的运算 小 结
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 函数项级数的概念 设u1(x),u2(x),,un(x),是定义在IcR上的 函数则∑un(x)=a1(x)+u2(x)+…+un(x)+ n=l 称为定义在区间上的(函数项无穷级数 例如级数∑x"=1+x+x2+ =0 Http://www.heut.edu.cn
设u1 ( x),u2 ( x),,un ( x),是定义在I R 上 的 函数,则 = + ++ + = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 u x u x u x un x n n 称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数. 1 , 2 0 = + + + = x x x n 例如级数 n 定义1 一、函数项级数的概念
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 收敛点与收敛域 如果x∈,数项级数∑un(x0)收敛 1= 则称x为级数∑u1(x)的收敛点否则称为发散点 n=1 函数项级数∑un(x)的所有收敛点的全体称为收敛域, 所有发散点的全体称为发散域 Http://www.heut.edu.cn
收敛点与收敛域: 如果x I 0 ,数项级数 =1 0 ( ) n n u x 收敛, 则称x0为级数 ( ) 1 u x n n = 的收敛点, 否则称为发散点. 所有发散点的全体称为发散域. 函数项级数 ( ) 1 u x n n = 的所有收敛点的全体称为收敛域, 定义2
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 3和函数: 在收敛域上,函数项级数的和是的函数s(x), 称(x)为函数项级数的和函数 s(x)=a1(x)+2(x)+…+u2(x)+…(定义域是?) 函数项级数的部分和Sn(x), lim s(x)=s(x) n 余项rn(x)=s(x)-Sn(x) imrn(x)=0(x在收敛域上) 注 函数项级数在某点x的收敛问题实质上 意是数项级数的收敛间题 Http://www.heut.edu.cn
lim s (x) s(x) n n = 函数项级数的部分和 → 余项 r (x) s(x) s (x) n = − n lim ( ) = 0 (x在收敛域上) → rn x n 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是数项级数的收敛问题. 和函数: s(x) = u1 (x) + u2 (x) ++ un (x) + 在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数s(x), 称s(x)为函数项级数的和函数. (定义域是?) s (x), n 定义3 注 意
高数课程妥媒血课件 理工大理>> 例1求级数∑ (-1)"1 (,)”的收敛域 n1+x = 解由达朗贝尔判别法 n+1 un(x)=n+11+x1 n→ x (1)当,1, 1+x 即x>0或x<-2时,原级数绝对收敛 Http://www.heut.edu.cn
求级数 n n n n x ) 1 1 ( ( 1) 1 + − = 的收敛域. 解 由达朗贝尔判别法 ( ) ( ) 1 u x u x n n+ n x n + + = 1 1 1 ( ) 1 1 → + → n x 1, 1 1 (1) + x 当 即 x 0或x −2时, 原级数绝对收敛. 1+ x 1, 例 1
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> (2)当 1+x >1,→1+x<1, 即-2<x<0时,原级数发散 (3)当1+x=1,→x=0或x=-2, 当x=0时,级数∑(收敛; =1 oo 当x=-2时,级数∑发散 n 故级数的收敛域为(-∞,-2)∪[0,+∞) Http://www.heut.edu.cn
1, 1 1 (2) + x 当 1+ x 1, 即− 2 x 0时, 原级数发散. 当 x = 0时, = − 1 ( 1) n n n 级数 收敛; 当 x = −2时, =1 1 n n 级数 发散; 故级数的收敛域为(−,−2)[0,+). (3) 当|1+ x |= 1, x = 0或x = −2
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、幂级数及其收敛性 形如∑q(x-x)的级数称为幂级数 0 当xn=0时,∑anx”,其中an为.幂级数系数 H-=0 幂级数收敛性: 例如级数∑x"=1+x+x2+…, 0 当x<时,收敛;当x≥时,发散; 收敛域(-1,);发散域(-∞,-11,+); Http://www.heut.edu.cn
形如 n n an (x x ) 0 0 = − 的级数称为幂级数. 0 , , 0 0 n n x an x = 当 = 时 其中an为幂级数系数. 幂级数收敛性: 1 , 2 0 = + + + = x x x n 例如级数 n 当x 1时,收敛; 当x 1时,发散; 收敛域(−1,1); 发散域(−,−1][1,+); 定义1 定义2 二、幂级数及其收敛性
高数课程妥媒血课件 镭理工大理隙>> 阿尔定到 如果级数∑anx"在x=x0(x0≠0)处收敛则 n=0 它在满足不等式xx0的一切处发散 证明(1):∑ax收敛,: lima x”=0, n-=0 Http://www.heut.edu.cn
如果级数 n=0 n an x 在 ( 0) x = x0 x0 处收敛,则 它在满足不等式 x x0 的一切x 处绝对收敛; 如果级数 n=0 n an x 在x = x0处发散,则它在满足 不等式 x x0 的一切x 处发散. 证明 lim 0, 0 = → n n n (1) , a x 0 0 收敛 n= n an x 定理1（阿贝尔定理）
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 彐M,使得lnx"≤M(m=0,2,) n n ≤M n 0 0 0 当<时,等比级数∑M收敛, 0 n=0 0 oo ∑ax"收敛,即级数∑anx"收敛 =0 H=0 Http://www.heut.edu.cn
( 0,1,2, ) a x0 M n = n 使得 n M, n n n n n n x x a x a x 0 0 = n n n x x a x 0 0 = n x x M 0 1 , 0 当 时 x x , 0 0 等比级数 收敛 n n x x M = , 0 收敛 = n n an x ; 0 即级数 收敛 n= n an x
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> (2)假设当x=x时发散, 而有一点x1适合x1|>x0使级数收敛, 由(1)结论则级数当x=x0时应收敛, 这与所设矛盾 说明 收敛区域 发散区域_R0R发散区域 Http://www.heut.edu.cn
(2) , 假设当x = x0时发散 而有一点x1适合 x1 x0 使级数收敛, 则级数当x = x0时应收敛, 这与所设矛盾. 由(1)结论 x o • • • • • • • • • • • − R R 收敛区域 发散区域 发散区域 说明