高数课程妥媒血课件 理工大理>> 第十章曲线积分与曲面积分 ◎对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 格林公式及其应用(1) 格林公式及其应用(2) 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 高斯公式 斯托克斯公式 Http://www.heut.edu
对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 格林公式及其应用（2） 对面积的曲面积分 第十章 曲线积分与曲面积分 格林公式及其应用（1） 对坐标的曲面积分 高斯公式 斯托克斯公式
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第 ●问题的提出 ●对瓢长曲线积分的概念 对狐长曲线积分的计算 几何意义和物理意义 Http://www.heut.edu.cn
第一节 对弧长的曲线积分 问题的提出 几何意义和物理意义 对弧长曲线积分的概念 对弧长曲线积分的计算
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 问题的提出 B L M 实例曲线形构件的质量 (5;,m)/M 匀质之质量M=p·s i-1 分割M1 29 n-1→>△s; 取(5,m)∈△s,△M≈p(5,们)、S:∠似值 求和Ms∑A(5,)△.近值 精确值 取极限M=lm∑p(5,n),△ Http://www.heut.edu.cn
曲线形构件的质量 o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) i i L 匀质之质量 M = s. 分割 , , , , 1 2 n 1 i M M M → s − ( , ) , i i i 取 s ( , ) . i i i i M s 求和 ( , ) . 1 = n i i i i M s 取极限 lim ( , ) . 1 0= → = n i i i i M s 近似值 精确值 实例 一、问题的提出
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、对狐长曲绲积分的概念 设L为xoy面内一条光滑曲线弧函数f(x,y) 在L上有界用L上的点M1,M2…,Mn把L分成n 个小段设第个小段的长度为又(2;,n)为第 i个小段上任意取定的一点,y B 作乘积(;,n)·As, H-1 (5,m)M 并作和∑f(5,n)△s, Http://www.heut.edu.cn
( , ) , ( , ) , , . , ( , ) . , , , , ( , ) 1 1 2 1 = − n i i i i i i i i i i n f s f s i i s L L M M M L n L xoy f x y 并作和 作乘积 个小段上任意取定的一点 个小段设 第 个小段的长度为 又 为 第 在 上有界用 上的点 把 分 成 设 为 面内一条光滑曲线弧函 数 o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) i i L 1 . 定义 二、对弧长曲线积分的概念
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 如果当各小弧段的长度的最大值λ→0时, 这和的极限存在则称此极限为函数f(x,y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲 线积分,记作f(x,y)ds,即 被积函数 L ∫/(x,y.=1∑/(5,n)2△(积分和式 i=1 积分弧段 曲线形构件的质量M=Jp(x,y) Http://www.heut.edu.cn
( , ) lim ( , ) . , ( , ) , , ( , ) 0 , 1 0 = → = → n i i i i L L f x y ds f s f x y ds L f x y 线积分 记 作 即 在曲线弧 上对弧长的曲线积分或第一类曲 这和的极限存在 则称此极限为函数 如果当各小弧段的长度的最大值 时 被积函数 积分弧段 积分和式 曲线形构件的质量 ( , ) . = L M x y ds
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 2.存在条件: 当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的曲线积分f(x,)d存在 3.推广 函数f(x,y,z)在空间曲线弧r上对弧长的 曲线积分为 「f(xy,2)b=m∑/(5,7,)△ Http://www.heut.edu.cn
( , ) . ( , ) , 对弧长的曲线积分 存 在 当 在光滑曲线弧 上连续时 L f x y ds f x y L 曲线积分为 函 数 f (x, y,z)在空间曲线弧上对弧长的 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i n i i i i f x y z ds = f s = → 2. 存在条件： 3. 推广
高数课程妥媒血课件 理工大理>> 注! 意 1.若L(或r)是分段光滑的,(L=L1+L2) 「.f(x,D=⊥(x,)+f(x,yh 2.函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的 曲线积分记为,f(x,y)d Http://www.heut.edu.cn
1. ( ) , ( ) 若 L 或 是分段光滑的 L = L1 + L2 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 1 2 = + L +L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( , ) . 2. ( , )L f x y ds f x y L 曲线积分记为 函 数 在闭曲线 上对弧长的 注意
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 4.性质 (1)If(x,y)±g(x,y)d=,f(x,y)d±,g(x,y)ds L (2),(x,y)d=k,f(x,y)d(k为常数) L ()(,y)d=.f(x,y)b+f(x,)d (L=L1+L2) Http://www.heut.edu.cn
(1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) . = L L L f x y g x y ds f x y ds g x y ds (2) kf (x, y)ds k f (x, y)ds (k为常数). L L = (3) ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 = + L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( ). L = L1 + L2 4. 性质
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 三、对胍长曲线积分的计犷 设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为=() (a≤t≤B)其中 y=y() q(t),v(t)在a,B止上具有一阶连续导数,且 B f(a, y) fI(t),y(tl (0)+y(t)dt (a<B) Http://www.heut.edu.cn
( ) ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ), ( ) [ , ] , ( ) ( ), ( ), ( , ) , 2 2 = + = = f x y ds f t t t t dt t t t y t x t L f x y L L 在 上具有一阶连续导数 且 的参数方程为 其中 设 在曲线弧 上有定义且连续 定 理 三、对弧长曲线积分的计算
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 「特殊情形 (1)L:y=y(x) <x<b, 「f(x,)=/x(x)1+v2(x)a<b) (2)L:x=φ( c≤y≤d ∫f(x,y)b=(m),y+q( (c<d) tt p : // h
(1) L : y =(x) a x b. ( , ) [ , ( )] 1 ( ) . 2 f x y ds f x x x dx b L a = + (a b) 特殊情形 (2) L : x = ( y) c y d. ( , ) [ ( ), ] 1 ( ) . 2 f x y ds f y y y dy d L c = + (c d )