高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第四节对面积的曲而积 概念的引入 ●对面积的曲面积分的定义 ●对面积的曲面积分的计算方法 小结 Http://www.heut.edu.cn
第四节 对面积的曲面积分 概念的引入 小结 对面积的曲面积分的定义 对面积的曲面积分的计算方法
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 概念的引入 实例若曲配是光滑的,它的面密度为连 续函数p(x,y,z),求它的质量 所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 20o 切平面也连续转动 ● 20 tt p : // h
若曲面 是光滑的, 它的面密度为连 续函数(x, y,z), 求它的质量. 所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 切平面也连续转动. 实例 一、概念的引入
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、对面积的曲面积分的定义 必设曲面∑是光滑的,函数f(x,y,z) 上有界,把分成小块△S;(AS;同时也表示 第i小块曲面的面积),设点(51,m,5)为AS;上 任意取定的点作乘积f(5,m,5;)△S 并作和∑f(5,n,5)AS,如果当各小块曲面 i=1 的直径的最大值九→>0时,这和式的极限存在 则称此极限为函数f(x,y,z)在曲配上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分 Http://www.heut.edu.cn
设曲面 是光滑的, 函数 f (x, y,z)在 上有界, 把 分成n 小块Si （Si 同时也表示 第i 小块曲面的面积）,设点( , , ) i i i 为Si 上 任意取定的点,作乘积 ( , , ) i i i f Si , 并作和= n i i i i f 1 ( , , ) Si , 如果当各小块曲面 的直径的最大值 → 0时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数 f ( x, y,z)在曲面 上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分. 1.定义定义1 二、对面积的曲面积分的定义
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 记为 f∫(x,y,z)dS. ∑ 即』(x,,A=im∑f(5,n,)AS 元->0 其中f(x,y,z川叫被积函数,∑叫积分曲面 对面积的曲面积分的性质 若Σ可分为分片光滑的曲面Σ及∑2,则 f(x,y,z)ds=lf(x,y, z)ds+ ∫(x,J,z)dS. ∑ ∑ Http://www.heut.edu.cn
即 f (x, y,z)dS i i i n i = f i S = → lim ( , , ) 1 0 记为 f (x, y,z)dS. f (x, y,z)dS = + 1 2 f (x, y,z)dS f (x, y,z)dS. 对面积的曲面积分的性质 若可分为分片光滑的曲面1及2 , 则 其 中 f (x, y,z)叫被积函数，叫积分曲面
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 对面积的曲面积分如何计算呢 首先让我们回忆 二重积分中曲面面积的计算公式 Http://www.heut.edu.cn
首先让我们回忆： 二重积分中曲面面积的计算公式 对面积的曲面积分如何计算呢？
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第九章重积分 二重积分 三重积分 重积分的应用 Http://www.heut.edu.cn
第九章 重积分 二重积分 三重积分 重积分的应用
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第三节二重积分的应用 ●曲面的面积 平面薄板的重心 平面薄板的转动惯量 典型例题分析 Http://www.heut.edu.cn
第三节 二重积分的应用 曲面的面积 典型例题分析 平面薄板的重心 平面薄板的转动惯量
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 曲面的面积 1.设曲面的方程为:z=f(x,y) 在xoy面上的投影区域为D, S 如图,设小区域do∈D, 点(x,y)∈lo, ∑为S上过M(x,y,f(x,y) J o 的切平面 以do边界为准线,母线平行z轴的小 柱面,截曲面s为ds;截切平面∑为dS, 有dS≈ds Http://www.heut.edu.cn
１．设曲面的方程为： z = f (x, y) 在 xoy 面上的投影区域为 D, 设小区域 d D, 点(x, y) d , . ( , , ( , )) 的切平面 为 S 上过 M x y f x y dS ds. s ds dS d z 则 有 柱面，截曲面 为 ；截切平面 为 ， 以 边界为准线，母线平行于 轴的小 如图， d (x, y) M dA x y z s o 一、曲面的面积
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> do为l4在xoy面上的投影,∴do=S·cosy, COSY= +f2+f 2 J dS=√1+f2+f2da 曲面S的面积元素 S=1+f2+f do 曲面面积公式为:S=小y1+()2+(等)a D Http://www.heut.edu.cn
d 为dA 在 xoy 面上的投影, d = dS cos , , 1 1 cos 2 2 x y + f + f = dS f x f y d 2 2 = 1+ + 1 , 2 2 = + + D S f x f y d 曲面S的面积元素 曲面面积公式为： S dxdy Dx y y z x z = + + 2 2 1 ( ) ( )
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 同理可得 2.设曲面的方程为:x=g(y,z) 曲面积公式为:S=+)+(Fh 3.设曲面的方程为:y=h(x,x) 曲面面积公式为:S=+图 D Http://www.heut.edu.cn
３．设曲面的方程为： y = h(z, x) 曲面面积公式为： 1 ( ) ( ) . 2 2 S dzdx Dz x x y z y = + + ２．设曲面的方程为： x = g( y,z) 曲面面积公式为： 1 ( ) ( ) ; 2 2 S dydz Dyz z x y x = + + 同理可得