高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 主要内容 ◎典型例题 Http://www.heut.edu.cn
第十一章 无穷级数习题课 主 要 内 容 典 型 例 题
数导课望丝 理工大理>> u为常数 ∑ un,为函数un(x) H=1 常数项级数 取x=xn 函数项级数 敷正∥压 收 幂级数 三角级数 项 敛 級趿∥∥项 项 半泰勒展开式傅氏展开式 级 数∥数 数 径1Rx)→0满足狄氏条件 R|泰勒级教氏级教 在收敛级数与数 条件下相互转化 数 数或函数 函数 Http://www.heut.edu.cn
常数项级数 函数项级数 一 般 项 级 数 正 项 级 数 收 幂级数 三角级数 敛 半 径 R 泰勒展开式 数 数或函数 函 数 任 意 项 级 数 傅氏展开式 泰勒级数 傅氏级数 R(x) → 0 un为常数 u u (x) n为函数 n 满足狄 氏条件 取 x = x0 在收敛 级数与数 条件下 相互转化 n=1 un 一、主要内容
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 常数项级数 ∑4n=4+n1+2+…+n+ 级数的部分和Sn=1+2+…+n=∑4 级数的收敛与发散 常数项级数收敛(发散)lmsn存在(不存在) n→0 Http://www.heut.edu.cn
= + + ++ + = n n un u1 u2 u3 u 1 常数项级数收敛(发散) n n s → lim 存在(不存在). = = + + + = n i n u u un ui s 1 级数的部分和 1 2 级数的收敛与发散 定义 一、常数项级数
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 级数的其水 ①级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 2收敛级数可以逐项相加与逐项相减 在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性 3收敛级数加括弧后所成的级数 仍然收敛于原来的和 Q4级数收敛的必要条件: limu=0 Http://www.heut.edu.cn
收敛级数的基本性质 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 1 收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性. 2 收敛级数加括弧后所成的级数 仍然收敛于原来的和. 3 lim = 0. → n n 4 级数收敛的必要条件: u
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 勤的审 般项级数正项级数任意项级数 1.若Sn→S,则级数收敛; 2.当n→>,1→0,则级数发散; 3按基本性质 4绝对收敛4充要条件 4绝对收敛 5比较法 5交错级数 6比值法 (菜布尼茨定理) 7根值法 Http://www.heut.edu.cn
正 项 级 数 任意项级数 1. 2. 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理) 3.按基本性质; 若 S S ,则级数收敛; n → 当 → , → 0,则级数发散; n u n 一般项级数 4.绝对收敛 常数项级数的审敛法
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、正项级数及其审敛法 o n,Ln≥0 H-=1 漫正项级数收敛分部分和所成的数列s有界 ①比较审敛法 若∑n收敛(发散)且vn≤Ln(un≤vn) n= 则∑v收敛(发散 Http://www.heut.edu.cn
, 0 1 = n n un u 正项级数收敛 部分和所成的数列 有界. n s 若 n=1 un 收敛(发散)且 ( ) n n n n v u u v , 则 n=1 n v 收敛(发散). 定义 审敛法 1 比较审敛法 二、正项级数及其审敛法
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 2比较审敛法的极限形式 设∑un与∑n都是正项级数如果 ao oo n = H=1 n→>0 n 则(1)当0<1<+时,级数有相同的敛散性; (2)当=0时,若∑vn收敛则∑un收敛; H=1 n: (3)当=+时,若∑发散则∑n发散; Http://www.heut.edu.cn
设 n=1 un 与 n=1 n v 都是正项级数,如果 l v u n n n = → lim , 则(1) 当0 l +时,二级数有相同的敛散性; (2) 当l = 0时，若 n=1 n v 收敛,则 n=1 un 收敛; (3) 当l = +时, 若 n=1 n v 发散,则 n=1 un 发散; 2 比较审敛法的极限形式
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 3极限审敛法 设∑un为正项级数 如果 Alim nu=l>0(或 ilim nu=), n→0 n→0 则级数∑n发散; 如果有p>1,使得imn"un存在, 则级数∑un收敛 Http://www.heut.edu.cn
设 n=1 un 为正项级数, 如果lim = 0 → nu l n n (或 = → n n lim nu ), 则级数 n=1 un 发散; 如果有p 1, 使得 n p n n u → lim 存在, 则级数 n=1 un 收敛. 3 极限审敛法
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 4比值审敛法达朗贝尔DA| ember判别法 设∑un是正项级数如果im“1=p(p数或+a) n->0L 则p1时级数发散;p=1时失效 5)根值审敛法(柯西判别法) 设∑un是正项级数, n=1 如果imLn=p(p为数或+∞, 则p1时级数发散;p=1时失效 Http://www.heut.edu.cn
设n=1 un 是正项级数,如果lim ( ) 1 = + + → 数或 nn n uu 则 1时级数收敛; 1时级数发散; = 1 时失效. 设n=1un 是正项级数, 如果 = → n n n lim u (为数或+ ), 则 1时级数收敛; 1时级数发散; = 1时失效. 4 比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法) 5 根值审敛法 (柯西判别法)
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 三、交错级齦及其审敛法 正、负项相间的级数称为交错级数 ∑(-1)u或∑(-1)"an(其中 Ln>0) H=1 行 如果交错级数满足条件: n+1 (n=1,2,3,);(i)lin 0,则 n→0 级数收敛,且其和s≤1,其余项n的绝对值 n Http://www.heut.edu.cn
正 、负项相间的级数称为交错级数. n n n n n n u u = = − − − 1 1 1 ( 1) 或 ( 1) 如果交错级数满足条件: (ⅰ) ( 1,2,3, ) un un+1 n = ;(ⅱ)lim = 0 → n n u ,则 级数收敛 , 且其和 u1 s , 其余项 n r 的绝对值 n un+1 r . ( 0) 其中un 定义 莱布尼茈定理 三、交错级数及其审敛法