河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十章 曲线积分与曲面积分（10.6）高斯（Gauss）公式通量与散度

高数课程妥媒血课件 理工大理>> 第六节高斯(Gass个= 高斯公式 简单应用 通量与散度 小结 Http://www.heut.edu.cn

第六节 高斯（Gauss）公式 通量与散度 高斯公式 小结 简单应用 通量与散度

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 高斯公式 设空间闭区域Q由分片光滑的闭曲面Σ围成 函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在9上具有 阶连续偏导数,则有公式 OP 00 OR 十 dv=f Pdydz +odzdx+rdxdy ax ay az 或 aP 00 OR ax ay az (P cos a+ocos B+Rcos yds tt p : // h

设空间闭区域由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函数P( x, y,z)、Q( x, y,z)、R( x, y,z)在 上具有 一阶连续偏导数, 则有公式     = + +   +   +   dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) P Q R dS dv z R y Q x P ( cos cos cos ) ( )     =  +  +    +   +   或 一、高斯公式

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 这里∑是?的整个边界曲面的外侧, c0sa,cosB,cosy是∑上点(x,y,z)处的法向 量的方向余弦 证明设闭区域Ω在面xOy 上的投影区域为D ry ∑由∑,∑,和∑,三部分组成, Σ1 1(x,y) ∑ 2 Http://www.heut.edu.cn

这里是的整个边界曲面的外侧， cos,cos  ,cos 是上点(x, y,z)处的法向 量的方向余弦. 证明 设闭区域在面xoy 上的投影区域为Dxy. x y z o 由1 ,2和3三部分组成, ( , ) 1 : 1  z = z x y ( , ) 2 : 2  z = z x y 3  1 2 3 Dxy

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 根据三重积分的计算法 OR = Z2(,aR z1(x,y)a dzjdxdy z D ∫x,y,a(x,y)-Rlx,r,(x,y)dd小 根据曲面积分的计算法 (Σ取下侧,Σ2取上侧,Σ3取外侧) ∫ R(x,y,孔)dy R[x,y,x1(x,y)hd小, Http://www.heut.edu.cn

根据三重积分的计算法 dz dxdy z R dy z R Dxy z x y   z x y    =   { } ( , ) ( , ) 2 1 { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} . =  2 − 1 Dxy R x y z x y R x y z x y dxdy 根据曲面积分的计算法 ( , , ) [ , , ( , )] , 1 1   = −  Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy (1取下侧, 2取上侧, 3 取外侧)

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> R(x, y, z) dxdy=R[x,y,2(x, y)ldxdys 2 R(x,y,孔)d小y=0 于是∫R(x,y,)dxd I(RIx, y, a2(x, y)][x, y, ,(x,y)1)dxdy, xy z tt p : // h

( , , ) [ , , ( , )] , 2 2   =  Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} , =  2 − 1 Dxy R x y z x y R x y z x y dxdy   于是 R(x, y,z)dxdy ( , , ) 0. 3 =   R x y z dxdy ( , , ) .     =    dv R x y z dxdy z R

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 同理∫2=P(x,y2) Q ∑ dv=p e(x,y,z)dzdx, 和并以上三式得: +4+B=2的++R 高斯公式 Http://www.heut.edu.cn

( , , ) ,     =   dv P x y z dydz x P 同理 ( , , ) ,     =   dv Q x y z dzdx y Q     = + +   +   +   dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) ------------------高斯公式 和并以上三式得：

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 由两类曲面积分之间的关系知 oP 00 OR 2 O.x ay az (Pcos a+o cos B+Rcos r )ds. ∑ Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系 Http://www.heut.edu.cn

Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系. ( cos cos cos ) . ( )     = + +   +   +   P Q R dS dv z R y Q x P    由两类曲面积分之间的关系知

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、f单的疝用 例1计算曲面积分 x-y)dxdy +(y-z)xdydz ∑ 其中∑为柱面x2+y=1及平 面3=0,=3所围成的空间闭 区域Ω2的整个边界曲面的外侧 解P=(Jy-z)x,Q=0,x R=x-y, Http://www.heut.edu.cn

例1 计算曲面积分 (x − y)dxdy + ( y − z)xdydz   其中Σ为柱面 1 2 2 x + y = 及平 面z = 0,z = 3所围成的空间闭 区域的整个边界曲面的外侧. x o z y 1 1 3 解 , ( ) , 0, R x y P y z x Q = − = − = 二、简单的应用

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> aP av=0,OR 00 =y=2, 0 ax z 原式=∫(-a)dk (利用柱面坐标得) ∫ S(rsin-a) rdrdedz 9丌 Http://www.heut.edu.cn

, 0, = 0,   =   = −   z R y Q y z x P   原式 = ( y − z)dxdydz   = (rsin − z)rdrddz . 2 9 = − (利用柱面坐标得) x o z y 1 1 3

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 使用Gms公式时应注意:注 意 1.P,Q,R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.∑是取闭曲面的外侧. Http://www.heut.edu.cn

使用Guass公式时应注意 : 1.P,Q,R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ是取闭曲面的外侧. 注意