高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第十二章微分方程 微分方程的基本概念 一阶微分方程及其解法 可降阶的高阶微分方程及其解法 二阶常系教齐次、非齐次线性微分 方程及其解法 Http://www.heut.edu.cn
微分方程的基本概念 一阶微分方程及其解法 可降阶的高阶微分方程及其解法 二阶常系数齐次、非齐次线性微分 方程 及其解法 第十二章 微分方程
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 与题 基本概念 典型例题 Http://www.heut.edu.cn
习题课 基本概念 典型例题
高数课程妥媒血课件 理工大理原>> 一阶方程 本概念 高阶方程 可降阶方程 类型 二阶常系数线性 1.直接积分法 方程解的结构 2可分离变量 3.齐次方程 特征方程法性方程 4.可化为齐次 解的结构 方程 待特征方程的根 定及其对应项 5全微分方程系 定理1;定理2 6.线性方程 数 定理3;定理4 法f(x)的形式及其 特解形式 7.伯努利方程 欧批方程 Http://www.heut.edu.cn
一阶方程 基本概念 类 型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程 7.伯努利方程 可降阶方程 线性方程 解的结构 定理1;定理2 定理3;定理4 欧拉方程 二阶常系数线性 方程解的结构 特征方程的根 及其对应项 f(x)的形式及其 特解形式 高阶方程 待 定 系 数 法 特征方程法 一、主要内容
高数课程妥媒血课件 理工大理>> 微分方程解题思路 作变换 分离变量法 非非 变全 阶方程 全微分方程 量微 积分因子 作降 可分 变阶 常数变易法 分方 换 高程 高阶方程 特征方程法 幂级数解法 待定系数法 Http://www.heut.edu.cn
微分方程解题思路 一阶方程 高阶方程 分离变量法 全微分方程 常数变易法 特征方程法 待定系数法 非 全 微 分 方 程 非 变 量 可 分 离 幂级数解法 降 阶 作 变 换 作变换 积分因子
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 蒸本概念 微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程 微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶 微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解 Http://www.heut.edu.cn
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶． 微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解． 1、基本概念
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 通解如果微分方程的解中含有任意常数,并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的 解叫做微分方程的通解 特解确定了通解中的任意常数以后得到的解, 叫做微分方程的特解 初始条件用来确定任意常数的条件 初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题 叫初值问题 Http://www.heut.edu.cn
通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解． 特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解． 初始条件 用来确定任意常数的条件. 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
高数课程妥媒血课件 理工大理>> 阶微分方程的解法 (1)可分离变量的微分方程 形如g(y)小y=f(x)d 分离变量法 解法(y)=∫f(x)t (2)次方程形如=f( dx 解法作变量代换 J Http://www.heut.edu.cn
形如 g( y)dy = f (x)dx (1) 可分离变量的微分方程 解法 g( y)dy = f (x)dx 分离变量法 ( ) x y f dx dy (2) 齐次方程 形如 = 解法 x y 作变量代换 u = 2、一阶微分方程的解法
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> (3)可化为齐次的方程 形如=∫ ax+ by+c 1x+b,y+Cu 当c=c1=0时,齐次方程,否则为非齐次方程 解法令x=X+h, y=Y+k,化为齐次方程 (其中h和k是待定的常数) Http://www.heut.edu.cn
( ) 1 1 1 a x b y c ax by c f dx dy + + + + 形如 = 当c = c1 = 0时, 齐次方程． ， 令 y Y k x X h = + = + , （其中h和k是待定的常数） 否则为非齐次方程． (3) 可化为齐次的方程 解法 化为齐次方程．
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> (4)一阶线性微分方程 形如 +P(x)=Q(x) 当Q(x)≡0,上方程称为齐次的 当Q(x)年0, 上方程称为非齐次的 解法齐次方程的通解为y=C∫Pmh (使用分离变量法) Http://www.heut.edu.cn
P(x) y Q(x) dx dy 形如 + = (4) 一阶线性微分方程 当Q(x) 0, 上方程称为齐次的． 当Q(x) 0, 上方程称为非齐次的. 齐次方程的通解为 . ( ) = − P x dx y Ce （使用分离变量法） 解法
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 非齐次微分方程的通解为 P(x)dx P(x)de y=ll 2(x)e dx+cle (常数变易法) (5)伯努利( Bernoulli)方程 形如+P(x)y=Q(x)y(n≠0,1 当n=0,时,方程为线性微分方程 当n≠0,时,方程为非线性微分方程 Http://www.heut.edu.cn
非齐次微分方程的通解为 + = − P x dx P x dx y Q x e dx C e ( ) ( ) [ ( ) ] （常数变易法） (5) 伯努利(Bernoulli)方程 n P x y Q x y dx dy 形如 + ( ) = ( ) (n 0,1) 当n = 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时， 方程为非线性微分方程